第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算復(fù)習(xí)回顧

可重復(fù)性可預(yù)知性隨機(jī)性

注意：“先后”“依次”“放回”“不放回”等．復(fù)習(xí)回顧

1.理解事件的關(guān)系和運(yùn)算.2.通過(guò)事件之間的運(yùn)算，理解互斥事件和對(duì)立事件的概念．3.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義.4.能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算．學(xué)習(xí)目標(biāo)新知講解從前面的學(xué)習(xí)中可以看到，我們?cè)谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)事件．這些事件有的簡(jiǎn)單，有的復(fù)雜．我們希望從簡(jiǎn)單事件的概率推算出復(fù)雜的概率，所以需要研究事件之間的關(guān)系和運(yùn)算．新知講解探究：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”,i=1,2,3,4,5,6；D1

=“點(diǎn)數(shù)不大于3”,D2

=“點(diǎn)數(shù)大于3”；E1

=“點(diǎn)數(shù)為1或2”,E2

=“點(diǎn)數(shù)為2或3”；F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；……C1={1}；C2={2}；C3={3}；C4={4}；C5={5}；C6={6}；D1={1,2,3}；D2={4,5,6}；E1={1,2}；E2={2,3};F={2,4,6};G={1,3,5};你還能寫出這個(gè)試驗(yàn)中其他一些事件嗎？請(qǐng)用集合的形式表示這些事件.借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？事實(shí)上,利用樣本空間的子集表示事件,使我們可以利用集合的知識(shí)研究隨機(jī)事件,從而為研究概率的性質(zhì)和計(jì)算等提供有效而簡(jiǎn)便的方法,下面我們按照這一思路展開(kāi)研究.新知講解探究1

用集合的形式表示事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，這些事件之間的關(guān)系如何？C1={1}和G={1,3,5}如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生.集合表示：

即事件G包含事件C1.新知講解——包含關(guān)系、相等關(guān)系

Ω新知講解探究2

用集合的形式表示事件D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”、事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，這些事件之間的聯(lián)系如何？D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}.事件E1和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件D1發(fā)生.集合表示：這時(shí)我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件.探究3用集合的形式表示事件C2=“點(diǎn)數(shù)為2”，事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，這些事件之間的聯(lián)系如何？C1={2},E1={1,2},E2={2,3}.事件E1和事件E2同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于事件C2發(fā)生，集合表示:這時(shí)我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件.新知講解——并事件、交事件

新知講解探究4

用集合的形式表示事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3”和事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，這些事件之間的聯(lián)系是什么？C3={3}，C4={4}事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生.集合表示：這時(shí)我們稱事件C3與事件C4互斥.探究5

用集合的形式表示事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，這兩個(gè)事件之間的聯(lián)系如何？F={2,4,6}，G={1,3,5}在任何一次試驗(yàn)中,事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必然發(fā)生其中之一.集合表示：F∩G=

且F∪G=Ω稱事件F與事件G互為對(duì)立事件新知講解——互斥（互不相容）、互為對(duì)立

追問(wèn)：互斥和互為對(duì)立之間有何關(guān)系？

互斥事件不一定互為對(duì)立.歸納總結(jié)事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含相等并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對(duì)立

類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件，例如，對(duì)于三個(gè)事件A,B,C，A∪B∪C(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生，A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生，等等.鞏固練習(xí)1、在拋擲一枚骰子,觀察其向上面的點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)中,事件A表示“不大于4的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”,事件B表示“小于4的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則A∪B包含的樣本點(diǎn)為_(kāi)_______.2、從2,4,6,8,10中任取1個(gè)數(shù),事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},則事件A與事件B的交事件是()A.{2,4}B.{4,6}C.{4,8}D.{2,8}3、現(xiàn)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理和化學(xué)共5本書(shū)，從中任取1本，記取到語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)書(shū)分別為事件A、B、C、D、E，則事件“取出的是理科書(shū)”可記為_(kāi)_______.4、同時(shí)擲兩枚硬幣，向上面都是正面的事件為A，向上面至少有一枚是正面為事件B，則有（

）A.A?BB.A?B

C.A=BD.A<BAB∪D∪E1,2,3,4A={2,4}，B={1,2,3}C鞏固練習(xí)P2351、某人打靶時(shí)連續(xù)射擊2次，下列事件中與“至少有一次中靶”的互為對(duì)立的是().A.至多一次中靶

B.兩次都中靶

C.只有一次中靶

D.兩次都不中靶[變式]某人連續(xù)射擊3次，則事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是()A．恰有一次擊中

B．三次都沒(méi)擊中

C．三次都擊中

D．至多擊中一次DD2、拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci=

“點(diǎn)數(shù)為i

”，其中i=1,2,3,4,5,6；D1=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2=

“點(diǎn)數(shù)大于2”,

D3=

“點(diǎn)數(shù)大于4”；

E=

“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=

“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.(1)

C1與C2互斥；

(2)

C2,

C3為對(duì)立事件；

(3)

C3?D2；

(4)

D3?D2；

(5)D1∪D2=Ω,D1D2=?；(6)D3=C5∪C6；

(7)E=

C1∪C3

∪C5；

(8)

E,F為對(duì)立事件；

(9)D2∪D3=D2；(10)

D2∩D3=D3.√╳√√√√√√√√典例分析例5

如圖示，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正?！?，B=“乙元件正?！?

(1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；

(2)用集合的形式表示事件A、B以及它們的對(duì)立事件；

(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件，并說(shuō)明它們的含義及關(guān)系.乙甲解：

(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用(x1,

x2)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài).用1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為Ω

={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)根據(jù)題意,可得A={(1,0),(1,1)},

B={(0,1),(1,1)}，={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}.典例分析例5

如圖示，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效.設(shè)事件A=“甲元件正?！?，B=“乙元件正?！?

(1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；

(2)用集合的形式表示事件A、B以及它們的對(duì)立事件；

(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件，并說(shuō)明它們的含義及關(guān)系.乙甲∴A∪B

和

互為對(duì)立事件.

(3)A∪B={(0,1),

(1,0),(1,1)},={(0,0)};A∪B表示電路工作正常，

表示電路工作不正常.典例分析解：(1)所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖所示.用數(shù)組(x1,x2)表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)的樣本空間為Ω

={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3)},R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)},R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}，N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.例6

一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2)，2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N=“兩個(gè)球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？

事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？典例分析例6

一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2)，2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N=“兩個(gè)球顏色不同”.(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？

事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？解：(2)∵R?R1,∴R1包含事件R；∵R∩G=

,∴事件R與事件G互斥；∵M(jìn)∪N=Ω,M∩N=

，∴事件M與事件N互為對(duì)立事件.(3)∵R∪G=M，

∴事件M是事件R與事件G的并事件.∵R1∩R2=R，∴事件R是事件R1與事件R2的交事件.鞏固練習(xí)1、從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個(gè)球，用集合的形式分別寫出下列事件：(1)“至少有1個(gè)白球”與“都是白球”；(2)“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”；(3)“至少有1個(gè)白球”與“都是紅球”.

鞏固練習(xí)2、把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(

)A.對(duì)立事件B.互斥