/2.2軸對稱的性質(zhì)教材知識總結(jié)教材知識總結(jié)軸對稱的性質(zhì)

【點撥】軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連被對稱軸垂直平分；成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱；成軸對稱的兩個圖形全等.線段的垂直平分線定義：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，在Rt△ABC中，，AB＝8cm，AC＝5cm，將△ABC折疊，使A、B兩點重合，得到折痕DE，再沿BE折疊，點C恰好落到點D上，(1)求∠A的度數(shù)；(2)求△ADE的周長．【例題2】如圖，已知四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于直線MN對稱，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，AD＝4cm，EF＝5cm．（1）求出AB，EH的長度以及∠G的度數(shù)；（2）連接AE，DH，AE與DH平行嗎？為什么？【例題3】如圖，與關(guān)于直線對稱．與的交點F在直線上．（1）指出兩個三角形中的對稱點；（2）指出兩個三角形中相等的對應(yīng)線段和對應(yīng)角（各寫三對即可）；（3）圖中還有對稱的三角形嗎？課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．如圖是一只停放在平靜水面上的小船，則它在水中的倒影表示正確的是（

）A． B．C． D．2．如圖，△ABC與關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．是等腰三角形 B．垂直平分，C．△ABC與面積相等 D．直線AB、的交點不一定在MN上3．下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最多的是（

）A．等邊三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．圓4．下面的軸對稱圖形中，對稱軸數(shù)量最多的是（

）A． B．C． D．5．如圖，在中，，垂足為D，與關(guān)于直線對稱，點B的對稱點是點E，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，則∠BCD的大小為（）A．150° B．140° C．130° D．120°二、填空題7．如圖，和關(guān)于直線AB對稱，和關(guān)于直線AC對稱，CD與AE交于點F，若，，則的度數(shù)為______．8．如圖，點D為的邊AC上一點，點B，C關(guān)于DE對稱，若，，則線段BD的長度為______．9．如圖，點關(guān)于，的對稱點分別是，，分別交，于點，，，則的周長為_____．10．如圖，把一張三角形紙片（△ABC）進行折疊，使點A落在BC上的點F處，折痕為DE，點D，點E分別在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝70°，則∠BDF的度數(shù)為____．三、解答題11．（1）如圖1，直線兩側(cè)有兩點A，B，在直線上求一點C，使它到A、B兩點的距離之和最?。ㄗ鞣ú幌?，保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）知識拓展：如圖2，直線同側(cè)有兩點A，B，在直線上求一點C，使它到A，B兩點的距離之和最小（作法不限，保留作圖痕跡，不寫作法）．12．如圖，與關(guān)于直線對稱，與的交點在直線上．若，，，．（1）求出的長度；（2）求的度數(shù)．13．如圖，點P在∠AOB的內(nèi)部，點C和點P關(guān)于OA對稱，點P關(guān)于OB對稱點是D，連接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝70°，則∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度數(shù)．（2）若CD＝8，則求△PMN的周長．14．如圖，中，，將其折疊，使點落在邊上處，折痕為，求的度數(shù)．/

2.2軸對稱的性質(zhì)教材知識總結(jié)教材知識總結(jié)軸對稱的性質(zhì)

【點撥】軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連被對稱軸垂直平分；成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱；成軸對稱的兩個圖形全等.線段的垂直平分線定義：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】如圖，在Rt△ABC中，，AB＝8cm，AC＝5cm，將△ABC折疊，使A、B兩點重合，得到折痕DE，再沿BE折疊，點C恰好落到點D上，(1)求∠A的度數(shù)；(2)求△ADE的周長．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）將折疊后，由軸對稱的性質(zhì)可得，，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，繼而可得出；（2）由（1）中的三角形全等可得，，根據(jù)的周長進行等量代換即可求解．【解析】(1)將折疊后，、兩點重合同理即(2)由（1）得，，，又的周長．【點撥】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、全等三角形的性質(zhì)知識點，熟練的掌握和運用這些知識是解題的關(guān)鍵．【例題2】如圖，已知四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于直線MN對稱，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，AD＝4cm，EF＝5cm．（1）求出AB，EH的長度以及∠G的度數(shù)；（2）連接AE，DH，AE與DH平行嗎？為什么？【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°和已知條件求得的度數(shù)，進而根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得AB，EH的長度以及∠G的度數(shù)；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)可知，對稱軸垂直平分對應(yīng)的兩點連成的線段，則，進而根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行即可進行判斷．【解析】解：（1）四邊形ABCD中，∠D＝130°，∠A+∠B＝155°，∵四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于直線MN對稱，AD＝4cm，EF＝5cm．，，（2）連接AE，DH，則已知四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于直線MN對稱，的對稱點分別為,則．【點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例題3】如圖，與關(guān)于直線對稱．與的交點F在直線上．（1）指出兩個三角形中的對稱點；（2）指出兩個三角形中相等的對應(yīng)線段和對應(yīng)角（各寫三對即可）；（3）圖中還有對稱的三角形嗎？【答案】（1）A→A，B→D，C→E，F(xiàn)→F；（2）AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；（3）不另加字母和線段的情況下：△AFC與△AFE，△ABF與△ADF，也都關(guān)于直線MN成軸對稱．【分析】根據(jù)△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對稱確定對稱點，從而確定對稱線段、對稱角和對稱三角形．【解析】解：①A→A，B→D，C→E，F(xiàn)→F；②AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；③不另加字母和線段的情況下：△AFC與△AFE，△ABF與△ADF，也都關(guān)于直線MN成軸對稱．【點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解軸對稱的圖形的性質(zhì)．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．如圖是一只停放在平靜水面上的小船，則它在水中的倒影表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解析】解：這兩個圖應(yīng)關(guān)于水面對稱，旗子的方向應(yīng)該朝左，船頭應(yīng)該向左．A選項符合題意；故選：A．【點撥】此題主要考查了鏡面對稱的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給圖形的特征利用軸對稱得到相應(yīng)圖形．2．如圖，△ABC與關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．是等腰三角形 B．垂直平分，C．△ABC與面積相等 D．直線AB、的交點不一定在MN上【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可解答．【解析】解：由題意△ABC與關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任意一點，∵對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，∴，∴是等腰三角形，選項A正確，不符合題意；∵軸對稱圖形對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，∴垂直平分，，選項B正確，不符合題意；∵軸對稱圖形對應(yīng)的角、線段都相等，∴△ABC與是全等三角形，面積也必然相等，選項C選項正確，不符合題意；∵直線AB、關(guān)于直線MN對稱，因此交點一定在MN上．∴選項D錯誤，符合題意．故選D．【點撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運用，軸對稱圖形對應(yīng)的角、線段都相等，對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等．3．下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最多的是（

）A．等邊三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．圓【答案】D【分析】分別求出各個圖形的對稱軸的條數(shù)，再進行比較即可．【解析】解：A、等邊三角形有3條對稱軸；B、正方形有4條對稱軸；C、正六邊形有6條對稱軸；D、圓有無數(shù)條對稱軸．故選：D．【點撥】此題考查了軸對稱圖形對稱軸條數(shù)的問題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形對稱軸的定義以及性質(zhì)．4．下面的軸對稱圖形中，對稱軸數(shù)量最多的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念分別得出對稱軸的條數(shù)進而求解．【解析】解：A、有2條對稱軸，B、有2條對稱軸，C、有3條對稱軸，D、有1條對稱軸，故對稱軸最多的是選項C．故選：C．【點撥】此題主要考查了軸對稱的概念．軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象折疊后可重合．5．如圖，在中，，垂足為D，與關(guān)于直線對稱，點B的對稱點是點E，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出∠C，∠AED，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵∠B=50°，∠ABC=90°，∴∠C=90°-50°=40°，∵AD⊥BC，△ADB與△ADE關(guān)于直線AD對稱，∴∠AED=∠B=50°，∵∠AED=∠C+∠CAE，∴∠CAE=50°-40°=10°，故選：A．【點撥】本題考查軸對稱，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．6．如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，則∠BCD的大小為（）A．150° B．140° C．130° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可求得，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，即可求解．【解析】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可求得由軸對稱圖形的性質(zhì)可得，∴故選：B【點撥】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并利用相關(guān)基本性質(zhì)進行求解．二、填空題7．如圖，和關(guān)于直線AB對稱，和關(guān)于直線AC對稱，CD與AE交于點F，若，，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出角的度數(shù)，進而利用三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解析】解：∵△ABC和△ABE關(guān)于直線AB對稱，△ABC和△ADC關(guān)于直線AC對稱，∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，∵∠ABC＝32°，∴∠BAC＝180°-18°-32°＝130°＝∠BAE，∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，故答案為：118°．【點撥】此題考查軸對稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出相關(guān)角的度數(shù)．8．如圖，點D為的邊AC上一點，點B，C關(guān)于DE對稱，若，，則線段BD的長度為______．【答案】4【分析】證明，可得結(jié)論．【解析】解：，，，，關(guān)于對稱，，故答案為：4．【點撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)，線段的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．9．如圖，點關(guān)于，的對稱點分別是，，分別交，于點，，，則的周長為_____．【答案】6【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得，，結(jié)合三角形周長的性質(zhì)計算，即可得到答案．【解析】∵點關(guān)于，的對稱點分別是，∴，∴的周長故答案為：6．【點撥】本題考查了軸對稱的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，從而完成求解．10．如圖，把一張三角形紙片（△ABC）進行折疊，使點A落在BC上的點F處，折痕為DE，點D，點E分別在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝70°，則∠BDF的度數(shù)為____．【答案】40°【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠ADE＝70°，再由折疊的性質(zhì)推出∠ADE＝∠EDF＝70°即可解決問題．【解析】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝70°，由折疊的性質(zhì)可得∠ADE＝∠EDF＝70°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADE-∠EDF＝40°，故答案為：40°．【點撥】本題綜合考查了平行線以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握兩性質(zhì)定理是解答關(guān)鍵．三、解答題11．（1）如圖1，直線兩側(cè)有兩點A，B，在直線上求一點C，使它到A、B兩點的距離之和最?。ㄗ鞣ú幌?，保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）知識拓展：如圖2，直線同側(cè)有兩點A，B，在直線上求一點C，使它到A，B兩點的距離之和最?。ㄗ鞣ú幌?，保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)兩點之間線段最短，連接AB，交已知直線于點C即可；（2）根據(jù)兩點之間線段最短，作A關(guān)于已知直線的對稱點E，連接BE交已知直線于C，由此即可得出答案．【解析】解：（1）連接AB，交已知直線于點C，則該點C即為所求；（2）作點A關(guān)于已知直線的對稱點E，連接BE交已知直線于點C，連接AC，BC，則此時C點符合要求．【點撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法，熟練掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖，與關(guān)于直線對稱，與的交點在直線上．若，，，．（1）求出的長度；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）＝3cm；（2）＝18°【分析】（1）根據(jù)△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對稱確定對稱點，從而確定對稱線段相等即BC＝ED，即可求出的值；（2）根據(jù)△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對稱，利用軸對稱的性質(zhì)得出對稱角∠EAD＝∠BAC，即可解決問題；【解析】解：（1）∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對稱，ED＝4cm，F(xiàn)C＝1cm，∴BC＝ED＝4cm，∴BF＝BC?FC＝3cm．（2）∵△ABC與△ADE關(guān)于直線MN對稱，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，∴∠EAD＝∠BAC＝76°，∴∠CAD＝∠EAD?∠EAC＝76°?58°＝18°．【點撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．13．如圖，點P在∠AOB的內(nèi)部，點C和點P關(guān)于OA對稱，點P關(guān)于OB對稱點是D，連接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝70°，則∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度數(shù)．（2）若CD＝8，則求△PMN的周長．【答案】（1）①140°；②∠COD＝2α；（2）△PMN的周長為8．【分析】（1）①