/4.3實(shí)數(shù)教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).【點(diǎn)撥】（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡。（3）注意是一個(gè)有理數(shù)，因?yàn)樗且粋€(gè)分?jǐn)?shù)，所有的分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).=3.1428571428571……，切不可因?yàn)樗闹到咏驼f它是無理數(shù).實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類①按定義分：實(shí)數(shù)②按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.無理線段的作法無理線段可以在數(shù)軸上表示出來，一般是把被開方數(shù)拆成m2+n2的形式，例如：①，特點(diǎn)是被開方數(shù)可化為一個(gè)完全平方數(shù)+1的形式；②，特點(diǎn)是被開方數(shù)可以化成兩個(gè)平方數(shù)的和的形式；③，特點(diǎn)是被開方數(shù)可以化成幾個(gè)平方數(shù)的和的形式.實(shí)數(shù)大小的比較對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總是比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)同樣適用.看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里．π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．(1)整數(shù)集：{…}；(2)有理數(shù)集：{…}；(3)無理數(shù)集：{…}．【例題2】計(jì)算：(1)；(2)求的值：．【例題3】已知：的立方根是，的算術(shù)平方根是3，是的整數(shù)部分．求的值．【例題4】一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，如圖所示：(1)當(dāng)輸入的x為9時(shí)，輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請(qǐng)寫出所有滿足要求的x的值，并說明你的理由；(3)若輸出的y是，請(qǐng)寫出兩個(gè)滿足要求的x值：．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．下列各數(shù)中，比2大比3小的無理數(shù)是（

）A． B． C． D．2．在四個(gè)實(shí)數(shù)，0，，中，最小的實(shí)數(shù)是（

）A． B．0 C． D．3．在實(shí)數(shù)：3.14159，，1.010010001，，，中，無理數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．比較和的大小，下面結(jié)論正確的是A． B． C． D．無法比較5．已知實(shí)數(shù)的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則7a＋5b的值為（

）A． B．0.504 C．2﹣ D．6．已知x滿足條件，若x為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)二、填空題7．比較大小：__．8．若，且a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，c為這四個(gè)數(shù)，，，中的唯一有理數(shù)，則__________．9．對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[]＝1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72[72]＝8[]＝2[2]＝1，類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是__________．10．將1、、、按如圖方式排列．若規(guī)定（m，n）表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù)，則（5，4）與（12，3）表示的兩數(shù)之和是_____．三、解答題11．計(jì)算：（1）．（2）＋（）2﹣12．計(jì)算下列各題．(1)；(2)﹣16﹣4；(3)|﹣|﹣；(4)×﹣2（﹣π）013．已知5a-2的立方根是-3，2a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，求3a+b+c的平方根．14．因?yàn)椋?，所以的整?shù)部分為1，小數(shù)部分為．類比以上推理解答下列問題：（1）求的整數(shù)部分和小數(shù)部分．（2）若m是的小數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，且，求x的值．15．閱讀下面的文字后回答問題：我們知道無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，例如，的小數(shù)部分我們無法全部出來，但可以用來表示．請(qǐng)解答下列問題：(1)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；(2)若的小數(shù)部分是，的整數(shù)部分是，求的值．16．（1）已知與互為相反數(shù)，求的立方根．（2）已知，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的算術(shù)平方根．17．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較與的大?。∪A的方法是：因?yàn)椋?，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：﹣＝，因?yàn)?9＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．（1）根據(jù)上述材料填空；（2）請(qǐng)從小華和小英的方法中選擇一種比較與的大?。?8．?dāng)?shù)學(xué)閱讀是學(xué)生個(gè)體根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過閱讀數(shù)學(xué)材料建構(gòu)數(shù)學(xué)意義和方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生主動(dòng)獲取信息，汲取知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的途徑之一．請(qǐng)你先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問題：?jiǎn)栴}情境：設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿足，求的值．解：由題意得，∵a，b都是有理數(shù)，∴也是有理數(shù)，∵是無理數(shù)，∴，∴，∴解決問題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿足，求的值．/

4.3實(shí)數(shù)教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).【點(diǎn)撥】（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡。（3）注意是一個(gè)有理數(shù)，因?yàn)樗且粋€(gè)分?jǐn)?shù)，所有的分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).=3.1428571428571……，切不可因?yàn)樗闹到咏?，就說它是無理數(shù).實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類①按定義分：實(shí)數(shù)②按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.無理線段的作法無理線段可以在數(shù)軸上表示出來，一般是把被開方數(shù)拆成m2+n2的形式，例如：①，特點(diǎn)是被開方數(shù)可化為一個(gè)完全平方數(shù)+1的形式；②，特點(diǎn)是被開方數(shù)可以化成兩個(gè)平方數(shù)的和的形式；③，特點(diǎn)是被開方數(shù)可以化成幾個(gè)平方數(shù)的和的形式.實(shí)數(shù)大小的比較對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)總是比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大.正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)同樣適用.看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里．π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．(1)整數(shù)集：{…}；(2)有理數(shù)集：{…}；(3)無理數(shù)集：{…}．【答案】(1)2，，(2)2，﹣，2.3，30%，，(3)π，||【分析】根據(jù)有理數(shù)與無理數(shù)概念，運(yùn)用實(shí)數(shù)的分類求解即可．【解析】(1)解：∵||＝，＝2，＝﹣2，∴整數(shù)集：{2，，，…}故答案為：2，，；(2)解：有理數(shù)集：{2，﹣，2.3，30%，，，…}；故答案為：2，﹣，2.3，30%，，；(3)解：無理數(shù)集：{π，||，…}；故答案為：π，||．【例題2】計(jì)算：(1)；(2)求的值：．【答案】(1)3；(2)或【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和求一個(gè)數(shù)的立方根求解即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義解方程即可．【解析】(1)原式；(2)根據(jù)題意得：，或．【例題3】已知：的立方根是，的算術(shù)平方根是3，是的整數(shù)部分．求的值．【答案】1【分析】利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，求出a、b、c的值，再代入中，求值即可．【解析】∵a+1的立方根是?2，2b?1的算術(shù)平方根是3，∴，解得：．∵，∴的整數(shù)部分為5，即c=5．∴．【例題4】一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，如圖所示：(1)當(dāng)輸入的x為9時(shí)，輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，請(qǐng)寫出所有滿足要求的x的值，并說明你的理由；(3)若輸出的y是，請(qǐng)寫出兩個(gè)滿足要求的x值：．【答案】(1)(2)0或1，理由見解析(3)7或49【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)0或1的算術(shù)平方根的特殊性得出答案；（3）可以考慮1次運(yùn)算輸出結(jié)果，2次運(yùn)算輸出結(jié)果，進(jìn)而得出答案．【解析】(1)解：當(dāng)x＝9時(shí)，9的算術(shù)平方根為，而3是有理數(shù)，3的算術(shù)平方根為，故答案為：；(2)0或1，理由如下：因?yàn)?的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，無論進(jìn)行多少次運(yùn)算都不可能是無理數(shù)；(3)若1次運(yùn)算就是無理數(shù)，則輸入的數(shù)為7，若2次運(yùn)算輸出的數(shù)是無理數(shù)，則輸入的數(shù)是49，故答案為：7或49．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．下列各數(shù)中，比2大比3小的無理數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把2和3化為根號(hào)的形式再進(jìn)行比較即可得出答案．【解析】解：，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)正確；不是無理數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．2．在四個(gè)實(shí)數(shù)，0，，中，最小的實(shí)數(shù)是（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法直接求解即可．【解析】解：，四個(gè)實(shí)數(shù)，0，，中，最小的實(shí)數(shù)是，故選：A．3．在實(shí)數(shù)：3.14159，，1.010010001，，，中，無理數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【解析】解：，∴在實(shí)數(shù)：3.14159，，1.010010001…，π，中，無理數(shù)有1.010010001…，π，共2個(gè)．故選：B．4．比較和的大小，下面結(jié)論正確的是A． B． C． D．無法比較【答案】A【分析】先求出這兩個(gè)數(shù)的平方，然后再進(jìn)行比較即可．【解析】解：，，∵12<18，，故選：．5．已知實(shí)數(shù)的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則7a＋5b的值為（

）A． B．0.504 C．2﹣ D．【答案】D【分析】根據(jù)題意確定的范圍，進(jìn)而確定確定和的范圍，求得的值，即可求解．【解析】解：2＜＜3，∴7＜5+＜8，∴1＜＜，∴的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是a＝﹣1＝，同理求出的小數(shù)部分是b＝﹣1＝，∴7a+5b＝7×+5×＝，故選：D．6．已知x滿足條件，若x為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)已知不等式，利用算術(shù)平方根定義判斷即可．【解析】解：∵∴∵x是整數(shù)∴x=4，5，6，7，8，9，10，共7個(gè)故選：C．二、填空題7．比較大小：__．【答案】【分析】首先求出、的平方，比較出它們的大小關(guān)系；然后根據(jù)：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這個(gè)數(shù)也大，判斷出、的大小關(guān)系即可．【解析】解：，，，，故答案為：．8．若，且a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，c為這四個(gè)數(shù)，，，中的唯一有理數(shù)，則__________．【答案】4【分析】根據(jù)題意分別求出a，b，c的值，再代入求值即可．【解析】解：∵，且a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，∴a=3，b=4，∵，，，中有理數(shù)是，∴c=，則3×4×=4，故答案為：4．9．對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[]＝1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72[72]＝8[]＝2[2]＝1，類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是__________．【答案】【分析】根據(jù)可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，反推回去每次求最大整數(shù)可得答案．【解析】∵表示不超過a的最大整數(shù)∴設(shè)，則a的最大值為∵第三次結(jié)果為1，∴此時(shí)最大∴第二次結(jié)果為3∵∴第一次最大結(jié)果為15∵，∴只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255；故答案為：255．10．將1、、、按如圖方式排列．若規(guī)定（m，n）表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù)，則（5，4）與（12，3）表示的兩數(shù)之和是_____．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)的排列方法可知，第一排：1個(gè)數(shù)，第二排2個(gè)數(shù)．第三排3個(gè)數(shù)，第四排4個(gè)數(shù)，…第m﹣1排有（m﹣1）個(gè)數(shù)，從第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）個(gè)數(shù)，根據(jù)數(shù)的排列方法，每四個(gè)數(shù)一個(gè)輪回，根據(jù)題目意思找出第m排第n個(gè)數(shù)到底是哪個(gè)數(shù)后再計(jì)算．【解析】解：由圖中數(shù)的排列規(guī)律知，第一排：1個(gè)數(shù)，第二排2個(gè)數(shù)．第三排3個(gè)數(shù)，第四排4個(gè)數(shù)，…第（m﹣1）排有（m﹣1）個(gè)數(shù)，從第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）個(gè)數(shù)，且每四個(gè)數(shù)一個(gè)輪回，（5，4）表示第5排從左向右第4個(gè)數(shù)是，∵前11排共有11×（11+1）＝66（個(gè)）．∴（12，3）表示第12排從左向右第3個(gè)數(shù)是第69個(gè)數(shù)，每4個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的數(shù)是1，∴兩數(shù)之和是1．故答案為：1．三、解答題11．計(jì)算：（1）．（2）＋（）2﹣【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)立方根、算術(shù)平方根和零指數(shù)冪的意義化簡(jiǎn)，再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）先根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的意義化簡(jiǎn)，再根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．【解析】（1）原式，；（2）原式，．12．計(jì)算下列各題．(1)；(2)﹣16﹣4；(3)|﹣|﹣；(4)×﹣2（﹣π）0【答案】(1)0.2；(2)8；(3)；(4)1【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)算術(shù)平方根與立方根進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)算術(shù)平方根與立方根進(jìn)行計(jì)算；（4）根據(jù)算術(shù)平方根與立方根，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算；【解析】(1)原式＝0.4+0.7﹣0.9＝0.2；(2)原式＝﹣16×0.5﹣4×（﹣4）＝﹣8+16＝8；(3)原式＝＝；(4)原式＝0.3×10﹣2＝3﹣2＝1．13．已知5a-2的立方根是-3，2a+b﹣1的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，求3a+b+c的平方根．【答案】±．【分析】利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、組成二元一次方程組，無理數(shù)的估算方法，求出a、b、c的值，代入代數(shù)式求出值后，進(jìn)一步求得平方根即可．【解析】解：∵5a-2的立方根是-3，2a＋b－1的算術(shù)平方根是4，∴，∴，∵32＜13＜42，∴3＜＜4，∵c是的整數(shù)部分，∴c＝3，∴3a+b＋c＝（-5）×3+27+3=-15+30=15，∴3a+b＋c的平方根是±．14．因?yàn)?，即，所以的整?shù)部分為1，小數(shù)部分為．類比以上推理解答下列問題：（1）求的整數(shù)部分和小數(shù)部分．（2）若m是的小數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，且，求x的值．【答案】（1）的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為；（2）-2或0【分析】（1）根據(jù)的大概范圍，得出的整數(shù)部分，整體減去整數(shù)部分，即為的小數(shù)部分；（2）根據(jù)是在3和4之間，所以，可得出的小數(shù)部分m；同理得出可得出的小數(shù)部分n，將mn代入方程求解即可．【解析】（1）∵，即，∴的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為．

（2）∵，∴，，∴整數(shù)部分是7，整數(shù)部分是14，∴m＝，n＝．

∵（x+1）2＝m+n＝1，∴x+1=±1．

解得x＝﹣2或x＝0．15．閱讀下面的文字后回答問題：我們知道無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，例如，的小數(shù)部分我們無法全部出來，但可以用來表示．請(qǐng)解答下列問題：(1)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是；(2)若的小數(shù)部分是，的整數(shù)部分是，求的值．【答案】(1)4，；(2)1【分析】（1）用夾逼法估算無理數(shù)的大小即可得出答案；（2）用夾逼法估算無理數(shù)的大小得出，的值，代入代數(shù)式求值即可；【解析】(1)解：，，的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是，故答案為：4，；(2)，，，，，，．16．（1）已知與互為相反數(shù)，求的立方根．（2）已知，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的算術(shù)平方根．【答案】（