/專題11勾股定理的應(yīng)用重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【八大題型】【題型目錄】題型一勾股定理之梯子滑落問題題型二勾股定理之旗桿高度問題題型三勾股定理之風(fēng)吹樹折問題題型四勾股定理之航海問題題型五勾股定理之臺階地毯長度問題題型六勾股定理之是否超速問題題型七勾股定理之是否受臺風(fēng)影響問題題型八勾股定理之最短路徑問題注：本講義含有實數(shù)的相關(guān)知識，可先了解平方根的相關(guān)概念再做本專題；【知識梳理】【經(jīng)典例題一勾股定理之梯子滑落問題】【例1】（2023春·四川德陽·八年級四川省德陽市第二中學(xué)校校考期中）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里記載了這樣一個問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊，引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈，將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上，問木桿長多少尺？”（說明：1丈尺），此木桿的長度為（

）A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．12．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．

3．（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期中）如圖，梯子靠在墻上，梯子的底端到墻根的距離為米，梯子的頂端到地面的距離為米．現(xiàn)將梯子的底端向外移動到，使梯子的底端到墻根的距離等于米，同時梯子的頂端下降至，那么的值：①等于米；②大于米；③小于米．其中正確結(jié)論的序號是．4（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖梯子斜靠在豎直的墻，長為，為．(1)求梯子的長．(2)梯子的頂端A沿墻下滑到點(diǎn)C，梯子底端B外移到點(diǎn)D，求的長．5．（2022秋·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一根長的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端到地面的距離AO為，為中點(diǎn)．(1)當(dāng)梯子的頂端下滑時，求梯子底端向外滑行的距離？(2)請判斷在木棍滑動的過程中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是否變化，若不變，則求出的長度，若變化，請說明理由；(3)直接寫出木棍滑動的過程中面積的最大值___________．【經(jīng)典例題二勾股定理之旗桿高度問題】【例2】（2023春·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）

A．m B．m C．6m D．m【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）為預(yù)防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離AB＝2.4米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫.當(dāng)身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC＝0.8米），測溫儀自動顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離AD等于（）A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米2．（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┦幥锴侵袊糯狈缴贁?shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動．小亮想利用所學(xué)的勾股定理的知識測算公園里一架秋千的繩索AB的長度．如圖．他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度，將踏板往前推送，使秋千繩索到達(dá)D的位置，測得推送的水平距離為6m，即．此時秋千踏板離地面的垂直高度．那么，繩索的長度為m．3．（2022秋·八年級單元測試）在繼承和發(fā)揚(yáng)紅色學(xué)校光榮傳統(tǒng)，與時俱進(jìn)，把育英學(xué)校建成一所文明的、受社會尊敬的學(xué)校升旗儀式上，如圖所示，一根旗桿的升旗的繩垂直落地后還剩余1米，若將繩子拉直，則繩端離旗桿底端的距離有5米．則旗桿的高度．4．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，同學(xué)們想測量旗桿的高度．他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余米，如圖；②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部米，如圖．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到點(diǎn)處，如圖3．

(1)請你按小明的方案求出旗桿的高度；(2)已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿米遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面多高？5．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖1是一臺多功能手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，為地面，支架垂直地面，可分別繞點(diǎn)B，C轉(zhuǎn)動，測量知．當(dāng)轉(zhuǎn)動到，且A、C、D三點(diǎn)共線時，求點(diǎn)A到地面的距離．【經(jīng)典例題三勾股定理之風(fēng)吹樹折問題】【例3】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，已知樹（垂直于地面）上的點(diǎn)處（米）有兩只松鼠，為搶到處（點(diǎn)，在同一水平地面上，米）的堅果，一只松鼠沿到達(dá)點(diǎn)處，另一只松鼠沿到達(dá)點(diǎn)處．若兩只松鼠經(jīng)過的路程相等，則樹的高為（

）A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米2．（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時，繩索用盡．問繩索長為多少．繩索長為尺．3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，山坡上，樹甲從點(diǎn)A處折斷，其樹頂恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4m，BC＝10m，已知兩棵樹的水平距離為6m，則樹甲原來高．4．（2023春·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在傾斜角為（即）的山坡上有一棵樹，由于大風(fēng)，該樹從點(diǎn)E處折斷，其樹頂B恰好落在另一棵樹的根部C處，已知，．(1)求這兩棵樹的水平距離；(2)求樹的高度．5．（2022春·貴州遵義·八年級校考階段練習(xí)）如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機(jī)器人行走的路程相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？【經(jīng)典例題四勾股定理之航海問題】【例4】（2023春·八年級課時練習(xí)）已知，一輪船以16海里時的速度從港口A出發(fā)向北偏東方向航行，另一輪船以8海里時的速度同時從港口A出發(fā)向南偏東方向航行，則離開港口1小時后，兩船相距（

）A．海里 B．海里 C．16海里 D．24海里【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，一般客輪從小島A沿東北方向航行，同時一艘補(bǔ)給船從小島A正東方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，與客輪同時到達(dá)C處給客輪進(jìn)行補(bǔ)給，則客輪與補(bǔ)給船的速度之比為（）A．：2 B．：1 C．：2 D．：12．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東方向，在B島的北偏西方向．A，B之間的距離為海里，則C島到航線的最短距離是海里．3．（2023·湖北黃岡·三模）如圖，海中有一個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)處測得小島A在它的北偏東方向上，航行12海里到達(dá)點(diǎn)處，測得小島A在它的北偏東方向上，那么小島A到航線的距離等于海里．4．（2021春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，甲以16海里/小時的速度從港口O出發(fā)沿北偏東的方向航行，同時乙輪船以12海里/小時的速度從港口O出發(fā)，2小時后甲船到達(dá)A點(diǎn)，乙船到達(dá)B點(diǎn)，且兩船相距40海里，求乙船的航行方向．

5．（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）在海平面上有A，B，C三個標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）．【經(jīng)典例題五勾股定理之臺階地毯長度問題】【例5】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（

）A． B．3 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西銅川·八年級銅川市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）

A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在一個長AB為18m，寬AD為7m的長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊，已知木塊的較長邊與AD平行，橫截是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是

米．3．（2022秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖：一個三級臺階，它的每一級的長，寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到B點(diǎn)，最短路線的長是cm.4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，要修建一個育苗棚，棚高，棚寬，棚的長為，現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜？5．（2018秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，長方體的底面是邊長為2cm的正方形，高是6cm．（1）如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面圍繞一圈到達(dá)點(diǎn)B．那么所用的細(xì)線最短長度是多少厘米？（2）如果從A點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短長度是多少厘米？【經(jīng)典例題六勾股定理之是否超速問題】【例6】（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了后，小汽車到達(dá)B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為，這輛小汽車超速了嗎？【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·陜西榆林·八年級?？茧A段練習(xí)）某市規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛的速度不得超過（約為）．如圖，一輛小汽車在該市一條城市道路上由東向西行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A正前方的C處，后到達(dá)B處（），此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為，問這輛小汽車是否超速？請說明理由．

2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A中學(xué)位于南北向公路l的一側(cè)，門前有兩條長度均為100米的小路通往公路l，與公路l交于B，C兩點(diǎn)，且B，C相距120米．

(1)現(xiàn)在想修一條從公路l到A中學(xué)的新路（點(diǎn)D在l上），使得學(xué)生從公路l走到學(xué)校路程最短，應(yīng)該如何修路（請在圖中畫出）？新路長度是多少？(2)為了行車安全，在公路l上的點(diǎn)B和點(diǎn)E處設(shè)置了一組區(qū)間測速裝置，其中點(diǎn)E在點(diǎn)B的北側(cè)，且距A中學(xué)170米．一輛車經(jīng)過區(qū)間用時5秒，若公路l限速為（約），請判斷該車是否超速，并說明理由．3．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速．如圖，觀測點(diǎn)設(shè)在到迎澤大街（直線AO）的距離（線段PO）為120米的點(diǎn)P處.這時，一輛小轎車由點(diǎn)A向點(diǎn)O勻速行駛，測得此車從點(diǎn)A處行駛到點(diǎn)B處所用的時間為5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）(1)求點(diǎn)A，B之間的距離；（精確到0.1米）(2)請判斷此車是否超過了迎澤大街每小時60千米的限制速度，并說明理由．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？5．（2021秋·四川達(dá)州·八年級四川省渠縣中學(xué)?？计谥校靶鹿诜窝住币咔闋縿又?4億中華兒女的心，渠縣人民政府積極響應(yīng)國家號召，及時對廣大人民群眾進(jìn)行疫情防控宣傳．如圖，一筆直公路MN，村莊A到公路MN的距離為600m，若在宣傳車P方圓1000m以內(nèi)能聽到廣播宣傳，那么宣傳車P在公路MN上沿MN方向行駛時：（1）村莊能否聽到宣傳？請說明理由．（2）如果能聽到，已知宣傳車的速度是200m/min，那么村莊總共能聽到多長時間的宣傳？【經(jīng)典例題七勾股定理之是否受臺風(fēng)影響問題】【例7】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交會，公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時，周圍以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點(diǎn)處受噪音影響的時間是（

）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）M城氣象中心測得臺風(fēng)中心在M城正北方向240km的P處，以每小時45km的速度向南偏東30°的PB方向移動，距臺風(fēng)中心150km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域，則M城受臺風(fēng)影響的時間為（

）小時．A．4 B．5 C．6 D．72．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在筆直的公路旁有一個城市書房C，C到公路的距離為80米，為100米，為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車鳴笛聲會使以公交車為中心170米范圍內(nèi)受到噪音影響，那么公交車至少秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．3．（2022秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）某地產(chǎn)開發(fā)商在筆直的公路旁有一塊山地正在施工，現(xiàn)有工地一處需要小型爆破，經(jīng)測量，已知點(diǎn)與公路上的停靠站的距離為30米，與公路上的另一?？空镜木嚯x為40米．且．為了安全起見，已知進(jìn)入爆破點(diǎn)周圍半徑25米范圍內(nèi)有危險．問在進(jìn)行爆破時，公路段是否因有危險而需要暫時封鎖？答：．4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．如圖所示，據(jù)氣象預(yù)測，距沿海某城市A的正南方向千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心千米，風(fēng)力會減弱一級．該臺風(fēng)中心正以千米/時的速度沿北偏東方向往移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過四級就會受臺風(fēng)影響．

(1)該城市是否受到臺風(fēng)的影響？請說明理由．(2)若受臺風(fēng)影響，臺風(fēng)影響該城市持續(xù)的時間有多長？(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？5．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向的B處，以的速度向北偏西的方向移動，距臺風(fēng)中心范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．

(1)A市是否會受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并說明理由；(2)如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間約為幾小時？【經(jīng)典例題八勾股定理之最短路徑問題】【例8】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn)，已知知圓柱底面周長是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川德陽·八年級四川省德陽市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，長方體的長，寬，高，點(diǎn)M在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·陜西西安·七年級高新一中?？计谀┤鐖D，圓柱形玻璃容器高13cm，底面周長為24cm．在容器外壁距下底1cm的點(diǎn)A處有一只螞蟻，在螞蟻正對面容器外壁距上底3cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為cm．

3．（2023春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，斜邊，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、點(diǎn)D，連接，點(diǎn)M，N分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值是．

4．（2022秋·重慶南岸·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，一只螞蟻要從圓柱的下底面的點(diǎn)A爬到上底面的點(diǎn)B處，求它爬行的最短距離.已知圓柱底面半徑為R，高度為h.小明同學(xué)在研究這個問題時，提出了兩種可供選擇的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圓柱側(cè)面展開圖的線段AB爬行，如圖2.（取3）

(1)當(dāng)，時，哪種方式的爬行距離更近？(2)當(dāng)，時，哪種方式的爬行距離更近？(3)當(dāng)與滿足什么條件時，兩種方式的爬行距離同樣遠(yuǎn)？5．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個圓柱體，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；②若圓柱體的底面圓的周長為，高為，螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程；③若圓柱體的底面圓的半徑為，高為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)，求最短路程．

專題11勾股定理的應(yīng)用重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【八大題型】【題型目錄】題型一勾股定理之梯子滑落問題題型二勾股定理之旗桿高度問題題型三勾股定理之風(fēng)吹樹折問題題型四勾股定理之航海問題題型五勾股定理之臺階地毯長度問題題型六勾股定理之是否超速問題題型七勾股定理之是否受臺風(fēng)影響問題題型八勾股定理之最短路徑問題注：本講義含有實數(shù)的相關(guān)知識，可先了解平方根的相關(guān)概念再做本專題；【知識梳理】【經(jīng)典例題一勾股定理之梯子滑落問題】【例1】（2023春·四川德陽·八年級四川省德陽市第二中學(xué)校?？计谥校┪覈糯鷶?shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里記載了這樣一個問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊，引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈，將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上，問木桿長多少尺？”（說明：1丈尺），此木桿的長度為（

）A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺【答案】D【分析】當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端離墻有尺，根據(jù)勾股定理可列出方程，解方程即可【詳解】如圖，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端B離墻的距離即的長有尺，在中，∵，∴，解得：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得DB的長0.5米，則梯子頂端A下落了（

）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．1【答案】A【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的長度不變，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的頂端下滑了0.5米．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，∴，∵AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC===2米．∵Rt△ECD中，CE⊥CD，∴，∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，∴EC===1.5米，∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題時注意梯子的長度不變，分別運(yùn)用勾股定理求得AC和CE的長是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．

【答案】2.7【分析】在中，根據(jù)勾股定理求出的長，再在中，求出的長，最后由進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，

，根據(jù)題意得：，在中，米，米，米，在中，米，米，米，米，小巷的寬度為2.7米，故答案為：2.7．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型．3．（2023春·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期中）如圖，梯子靠在墻上，梯子的底端到墻根的距離為米，梯子的頂端到地面的距離為米．現(xiàn)將梯子的底端向外移動到，使梯子的底端到墻根的距離等于米，同時梯子的頂端下降至，那么的值：①等于米；②大于米；③小于米．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】③【分析】由題意可知，，先利用勾股定理求出的長，梯子移動過程中長短不變，所以，又由題意可知，利用勾股定理分別求長，即可求得得值，即可獲得答案．【詳解】解：在直角三角形中，因為，，由勾股定理，可得，由題意可知，，則在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得，∴．故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要注意勾股定理應(yīng)用的環(huán)境是在直角三角形中．4（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖梯子斜靠在豎直的墻，長為，為．(1)求梯子的長．(2)梯子的頂端A沿墻下滑到點(diǎn)C，梯子底端B外移到點(diǎn)D，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）由，可得，利用勾股定理求得，再進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，，在中，，答：梯子的長為；（2）解：∵，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，正確利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一根長的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端到地面的距離AO為，為中點(diǎn)．(1)當(dāng)梯子的頂端下滑時，求梯子底端向外滑行的距離？(2)請判斷在木棍滑動的過程中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是否變化，若不變，則求出的長度，若變化，請說明理由；(3)直接寫出木棍滑動的過程中面積的最大值___________．【答案】(1)(2)點(diǎn)到點(diǎn)的距離不變，等于5(3)25【分析】（1）分別求出梯子滑行前后的的長，即可求解；（2）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可；（3）利用垂線段最短求出邊上的高的最大值，即可求解．【詳解】（1）當(dāng)梯子的頂端下滑時，，∵，∴，梯子滑動前，故梯子底端向外滑行的距離為．（2）∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，∴，∴點(diǎn)到點(diǎn)的距離不變，等于5．（3）設(shè)邊上的高為，∴，∴的最大值為5，∴面積的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用——梯子滑行問題，涉及到了直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念以及勾股定理的計算公式等．【經(jīng)典例題二勾股定理之旗桿高度問題】【例2】（2023春·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具也是數(shù)形結(jié)合的組帶之一，如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時（即水平距離m），踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（）

A．m B．m C．6m D．m【答案】A【分析】設(shè)，則，然后根據(jù)勾股定理得到方程，解方程即得答案.【詳解】解：設(shè)，則，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，即繩索的長是m；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、得出是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）為預(yù)防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離AB＝2.4米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫.當(dāng)身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC＝0.8米），測溫儀自動顯示體溫，則人頭頂離測溫儀的距離AD等于（）A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米【答案】A【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，構(gòu)造，利用勾股定理解得AD的長即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，中（米）故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．2．（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┦幥锴侵袊糯狈缴贁?shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動．小亮想利用所學(xué)的勾股定理的知識測算公園里一架秋千的繩索AB的長度．如圖．他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，秋千踏板離地面的垂直高度，將踏板往前推送，使秋千繩索到達(dá)D的位置，測得推送的水平距離為6m，即．此時秋千踏板離地面的垂直高度．那么，繩索的長度為m．【答案】10【分析】先根據(jù)題意得出，，在設(shè)，得到，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意可知：，，，，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意并熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·八年級單元測試）在繼承和發(fā)揚(yáng)紅色學(xué)校光榮傳統(tǒng)，與時俱進(jìn)，把育英學(xué)校建成一所文明的、受社會尊敬的學(xué)校升旗儀式上，如圖所示，一根旗桿的升旗的繩垂直落地后還剩余1米，若將繩子拉直，則繩端離旗桿底端的距離有5米．則旗桿的高度．【答案】12米【分析】設(shè)旗桿的高度是x米，繩子長為（x+1）米，旗桿，拉直的繩子和BC構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出x的值，從而求出旗桿的高度．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為米，根據(jù)題意可得：，解得：，答：旗桿的高度為12米．故答案為：12米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵看到旗桿，拉直的繩子和BC構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理可求解．4．（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，同學(xué)們想測量旗桿的高度．他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余米，如圖；②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部米，如圖．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到點(diǎn)處，如圖3．

(1)請你按小明的方案求出旗桿的高度；(2)已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿米遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面多高？【答案】(1)旗桿的高度為米(2)繩結(jié)離地面米高【分析】（1）由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答；（2）由題可知，米，米．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）如圖，設(shè)旗桿的長度為米，則繩子的長度為米，在中，由勾股定理得：，解得：，故旗桿的高度為米：（2）由題可知，米，米．在中，由勾股定理得：，解得：，∴（米），∴米．故繩結(jié)離地面米高．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖1是一臺多功能手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，為地面，支架垂直地面，可分別繞點(diǎn)B，C轉(zhuǎn)動，測量知．當(dāng)轉(zhuǎn)動到，且A、C、D三點(diǎn)共線時，求點(diǎn)A到地面的距離．【答案】．【分析】作，利用含直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：作，如下圖：∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，含直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．【經(jīng)典例題三勾股定理之風(fēng)吹樹折問題】【例3】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一個直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，利用勾股定理解題即可；【詳解】設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得到：；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而應(yīng)用勾股定理解題．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，已知樹（垂直于地面）上的點(diǎn)處（米）有兩只松鼠，為搶到處（點(diǎn)，在同一水平地面上，米）的堅果，一只松鼠沿到達(dá)點(diǎn)處，另一只松鼠沿到達(dá)點(diǎn)處．若兩只松鼠經(jīng)過的路程相等，則樹的高為（

）A．6.5米 B．7.0米 C．7.5米 D．8米【答案】C【分析】設(shè)BF為xm，根據(jù)兩只松鼠所經(jīng)過的路程相等，則AF=(15-x)m，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程，即可解決問題．【詳解】解：設(shè)BF為xm，則EF=（5+x）m，由題意知：BE+AE=15m，∵兩只松鼠所經(jīng)過的路程相等，∴BF+AF=15m，∴AF=（15-x）m，在Rt△AEF中，由勾股定理得：102+（x+5）2=（15-x）2，解得x=2.5，∴EF=5+2.5=7.5（m）．答：這棵樹高7.5米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，讀懂題意，得出BF+AF=BE+AE是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時，繩索用盡．問繩索長為多少．繩索長為尺．【答案】【分析】設(shè)繩索的長為x尺，則木柱的長為尺，在中，根據(jù)勾股定理即可列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)繩索的長為x尺，則木柱的長為尺，在中，由勾股定理得，，即，解得，答：繩索長為尺．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，山坡上，樹甲從點(diǎn)A處折斷，其樹頂恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB＝4m，BC＝10m，已知兩棵樹的水平距離為6m，則樹甲原來高．【答案】(4+6)m【分析】過C作CD⊥AB于D，由題意知BC=10，CD=6，根據(jù)勾股定理可得BD=8，從而得到AD的長，再利用勾股定理可得AC的長，即可得到樹原來的高度．【詳解】解：如圖作CD⊥AB交AB延長線于D，由題意知BC=10m，CD=6m，根據(jù)勾股定理得：BD=8m，∵AB=4m，∴AD=8+4=12m，AC===6m，∴這棵數(shù)原來的高度=（4+6）m，故答案為：（4+6）m．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，正確的計算AC的長．4．（2023春·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在傾斜角為（即）的山坡上有一棵樹，由于大風(fēng)，該樹從點(diǎn)E處折斷，其樹頂B恰好落在另一棵樹的根部C處，已知，．(1)求這兩棵樹的水平距離；(2)求樹的高度．【答案】(1)3m(2)6m【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)，證得，根據(jù)勾股定理即可求得．（2）在中，根據(jù)勾股定理即可解得．【詳解】（1）由題可知，

∴，∴

在中，，∴，∴（m）．即這兩棵樹的水平距離為3m．（2）在中，

∴，∴（m）．即樹的高度為6m．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理的實際應(yīng)用．5．（2022春·貴州遵義·八年級校考階段練習(xí)）如圖，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動的路程與機(jī)器人行走的路程相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？【答案】機(jī)器人行走的路程BC為m．【分析】根據(jù)小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，得到BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【詳解】解：∵小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等，∴BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，則OC=（8-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（8-x）2=x2，解得．∴機(jī)器人行走的路程BC為m．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．【經(jīng)典例題四勾股定理之航海問題】【例4】（2023春·八年級課時練習(xí)）已知，一輪船以16海里時的速度從港口A出發(fā)向北偏東方向航行，另一輪船以8海里時的速度同時從港口A出發(fā)向南偏東方向航行，則離開港口1小時后，兩船相距（

）A．海里 B．海里 C．16海里 D．24海里【答案】B【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向夾角，再根據(jù)路程速度時間，得到，，最后利用勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：由題意可知，，離開港口1小時后，兩艘船分別行駛了16海里和8海里，即，，由勾股定理得：，故兩船相距海里，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，方位角問題，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵，基礎(chǔ)知識，比較簡單．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，一般客輪從小島A沿東北方向航行，同時一艘補(bǔ)給船從小島A正東方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，與客輪同時到達(dá)C處給客輪進(jìn)行補(bǔ)給，則客輪與補(bǔ)給船的速度之比為（）A．：2 B．：1 C．：2 D．：1【答案】A【分析】過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=x，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分別用含x的代數(shù)式表示出CD，BD，根據(jù)AB的長求出x，再根據(jù)勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=x，由題意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD=x，∴，在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，∴BC=2CD=2x，∴，∵AB=100+100，∴AD+BD=x+x=100+100，∴（1+）x=100（1+），∴x=100，即AD=100海里，∴AC=100海里，BC=200海里，∵時間一定時速度與路程成正比，∴客輪與補(bǔ)給船的速度之比為100：200=：2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東方向，在B島的北偏西方向．A，B之間的距離為海里，則C島到航線的最短距離是海里．【答案】【分析】根據(jù)已知度數(shù)先推出，證明三角形為直角三角形，計算出邊長，構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定理直接求解即可．【詳解】解：過作于，∵，又∵，∴，∴，∵海里，∴（海里），∴（海里），∴在中，（海里）．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查解決航海問題(勾股定理的應(yīng)用)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．3．（2023·湖北黃岡·三模）如圖，海中有一個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)處測得小島A在它的北偏東方向上，航行12海里到達(dá)點(diǎn)處，測得小島A在它的北偏東方向上，那么小島A到航線的距離等于海里．【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)題意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，F(xiàn)C⊥BC，可得∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，根據(jù)外角性質(zhì)可得∠BAC=30°，可得AC=BC，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得出CD的長，利用勾股定理即可求出AD的長，可得答案．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)題意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，F(xiàn)C⊥BC，BC=12，∴∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=30°，∴AC=BC=12，∴CD=AC=6，∴AD===．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查方向角的定義、三角形外角性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，三角形的一個外角，等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；30°角所對的直角邊，等于斜邊的一半；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定義是解題關(guān)鍵．4．（2021春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，甲以16海里/小時的速度從港口O出發(fā)沿北偏東的方向航行，同時乙輪船以12海里/小時的速度從港口O出發(fā)，2小時后甲船到達(dá)A點(diǎn)，乙船到達(dá)B點(diǎn)，且兩船相距40海里，求乙船的航行方向．

【答案】乙船的航行方向為南偏東【分析】根據(jù)題意，得出，根據(jù)勾股定理逆定理得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意可得：海里，（海里），（海里），∵，∴為直角三角形，即，∴，∴乙船的航行方向為南偏東．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊平方和等于第三邊平方，則這個三角形為直角三角形．5．（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）在海平面上有A，B，C三個標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）．【答案】(1)海里(2)最多能收到14次信號【分析】（1）由題意易得是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，在上取點(diǎn)M，N，使得海里，分別求得的長，可求得此時輪船過時的時間，從而可求得最多能收到的信號次數(shù)；【詳解】（1）由題意，得：；∴；∵；∴海里；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，在上取點(diǎn)M，N，使得海里．

∵；∴；∵；∴；∵；∴；則信號次數(shù)為（次）．答：最多能收到14次信號．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形的判定等知識，涉及路程、速度、時間的關(guān)系，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五勾股定理之臺階地毯長度問題】【例5】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在A處發(fā)現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從A點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：將臺階展開，如圖，因為DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，所以AC2=DC2+AD2=20，所以AC=，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·陜西銅川·八年級銅川市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）

A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm【答案】B【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】三級臺階平面展開圖為長方形，長為20dm，寬為（2+3）×3dm，

則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開——最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在一個長AB為18m，寬AD為7m的長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊，已知木塊的較長邊與AD平行，橫截是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是

米．【答案】【分析】解答此題要將木塊表面展開，再構(gòu)建直角三角形，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再利用勾股定理進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖，由題意可知，將木塊展開，展開圖的長相當(dāng)于是AB+2個正方形的寬，∴長為18+2×2=22米；寬為7米．于是最短路徑為：（米）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力．3．（2022秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖：一個三級臺階，它的每一級的長，寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到B點(diǎn)，最短路線的長是cm.【答案】130【分析】只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】將臺階展開，如圖：因為BC=30×3+10×3=120，AC=50，所以AB2=AC2+BC2=16900，所以AB=130（cm），所以壁虎爬行的最短線路為130cm．故答案是：130．【點(diǎn)睛】考查了利用臺階的平面展開圖求最短路徑問題，根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬是解題關(guān)鍵．4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，要修建一個育苗棚，棚高，棚寬，棚的長為，現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜？【答案】平方米【分析】根據(jù)勾股定理先求出棚頂?shù)膶?，然后根?jù)長方形的面積公式即可求出需要多少塑料薄膜．【詳解】解：棚高，棚寬，設(shè)棚頂?shù)膶挒閎，則，棚的長d為，∴．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對勾股定理的實際應(yīng)用能力，理清題意，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2018秋·浙江寧波·八年級校考期中）如圖，長方體的底面是邊長為2cm的正方形，高是6cm．（1）如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面圍繞一圈到達(dá)點(diǎn)B．那么所用的細(xì)線最短長度是多少厘米？（2）如果從A點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短長度是多少厘米？【答案】（1）所用的細(xì)線最短長度是10cm；；（2）所用細(xì)線最短長度是2cm．【分析】（1）把長方體沿AB邊剪開，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可；（2）如果從點(diǎn)如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)B，相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是8和3，再根據(jù)勾股定理求出斜邊長即可．【詳解】（1）如圖1所示：連接AB′，則AB′即為所用的最短細(xì)線長，AA′=8cm，A′B′=AB=6cm，由勾股定理得：AB′2=AA′2+A′B′2=62+82=100，則AB′=10cm，答：所用的細(xì)線最短長度是10cm；（2）將長方體的側(cè)面沿AB展開，取A′B′的中點(diǎn)C，連接BC，AC，則AC+BC為所求的最短細(xì)線長，AC2=AA′2+A′C′2，AC=cm，AC2=BB′2+CB′2=73，BC=（cm），AC+BC=2（cm），答：所用細(xì)線最短長度是2cm．【經(jīng)典例題六勾股定理之是否超速問題】【例6】（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了后，小汽車到達(dá)B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為，這輛小汽車超速了嗎？【答案】超速了【分析】先利用勾股定理求出的長就很容易求得，根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【詳解】解：在中，米，，所以小汽車超速了．【點(diǎn)睛】此題考查了將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，解題的關(guān)鍵是把條件和問題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．要注意題目中單位的統(tǒng)一．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·陜西榆林·八年級?？茧A段練習(xí)）某市規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛的速度不得超過（約為）．如圖，一輛小汽車在該市一條城市道路上由東向西行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A正前方的C處，后到達(dá)B處（），此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為，問這輛小汽車是否超速？請說明理由．

【答案】這輛小汽車沒有超速，理由見解析．【分析】先根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)題意求得小汽車的速度，然后再與比較即可解答．【詳解】解：這輛小汽車沒有超速．理由如下：根據(jù)題意，在中，，根據(jù)勾股定理:，所以小汽車的速度為．因為，所以這輛小汽車沒有超速．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，運(yùn)用勾股定理求得是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，A中學(xué)位于南北向公路l的一側(cè)，門前有兩條長度均為100米的小路通往公路l，與公路l交于B，C兩點(diǎn)，且B，C相距120米．

(1)現(xiàn)在想修一條從公路l到A中學(xué)的新路（點(diǎn)D在l上），使得學(xué)生從公路l走到學(xué)校路程最短，應(yīng)該如何修路（請在圖中畫出）？新路長度是多少？(2)為了行車安全，在公路l上的點(diǎn)B和點(diǎn)E處設(shè)置了一組區(qū)間測速裝置，其中點(diǎn)E在點(diǎn)B的北側(cè)，且距A中學(xué)170米．一輛車經(jīng)過區(qū)間用時5秒，若公路l限速為（約），請判斷該車是否超速，并說明理由．【答案】(1)見解析，80米(2)超速，見解析【分析】（1）根據(jù)垂線段最短可畫出圖形，根據(jù)三線合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路長度；（2）先根據(jù)勾股定理求出的長，再求出的長，然后計算出速度判斷即可．【詳解】（1）過點(diǎn)A作，交l于點(diǎn)D．

，

在中，，由勾股定理得，

新路長度是80米．（2）該車超速

在中，，由勾股定理得，

該車經(jīng)過區(qū)間用時∴該車的速度為

該車超速．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，勾股定理揭示了直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時，常使用勾股定理進(jìn)行求解．3．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速．如圖，觀測點(diǎn)設(shè)在到迎澤大街（直線AO）的距離（線段PO）為120米的點(diǎn)P處.這時，一輛小轎車由點(diǎn)A向點(diǎn)O勻速行駛，測得此車從點(diǎn)A處行駛到點(diǎn)B處所用的時間為5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）(1)求點(diǎn)A，B之間的距離；（精確到0.1米）(2)請判斷此車是否超過了迎澤大街每小時60千米的限制速度，并說明理由．【答案】(1)87.8米(2)此車超過迎澤大街每小時60千米的限制速度，理由見解析【分析】（1）根據(jù)解直角三角形求得AO、BO即可；（2）根據(jù)速度=路程÷時間求出車速即可判斷．【詳解】（1）解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，∴∠PAO＝30°，∵PO＝120米，∴AP＝2PO＝240米，

根據(jù)勾股定理，得AO＝＝120米，在Rt△BPO中，∠BPO＝45°，∴∠PBO＝45°，∴BO＝PO＝120米，∴AB＝AO－BO＝120－120≈87.8(米)；（2）解：超過了．

理由：車速為＝17.56(米/秒)，限速為≈16.67(米/秒).

∵17.56>16.67，∴此車超過迎澤大街每小時60千米的限制速度．【點(diǎn)睛】本題考查含30°的直角三角形邊角關(guān)系、等腰直角三角形的判定，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？【答案】(1)120米(2)72千米小時，小汽車超速了【分析】（1）過點(diǎn)作，可得米，設(shè)汽車經(jīng)過6秒后到達(dá)點(diǎn)，連接，則有米，利用勾股定理可求得的長，即小汽車6秒所走的路程；（2）利用速度路程時間，即可判斷．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，設(shè)汽車經(jīng)過6秒后到達(dá)點(diǎn)，連接，如圖所示：由題意可得：米，米，在中，（米，答：小汽車6秒走的路程為120米；（2）解：小汽車6秒中的平均速度為：（米秒）（千米小時），，小汽車超速了．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，作出相應(yīng)的圖形．5．（2021秋·四川達(dá)州·八年級四川省渠縣中學(xué)?？计谥校靶鹿诜窝住币咔闋縿又?4億中華兒女的心，渠縣人民政府積極響應(yīng)國家號召，及時對廣大人民群眾進(jìn)行疫情防控宣傳．如圖，一筆直公路MN，村莊A到公路MN的距離為600m，若在宣傳車P方圓1000m以內(nèi)能聽到廣播宣傳，那么宣傳車P在公路MN上沿MN方向行駛時：（1）村莊能否聽到宣傳？請說明理由．（2）如果能聽到，已知宣傳車的速度是200m/min，那么村莊總共能聽到多長時間的宣傳？【答案】（1）能，理由見解析；（2）8分鐘【分析】（1）能聽到；過點(diǎn)A作AB⊥MN于B，則可得AB=600米<1000米，從而可以聽到；（2）假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對村莊的影響，則AP=AQ=1000米，由勾股定理計算出BP=PQ，從而可得PQ長度，根據(jù)已知速度即可求得能聽到的時間．【詳解】（1）村莊能聽到宣傳，理由如下：過點(diǎn)A作AB⊥MN于B，∵村莊A到公路MN的距離為600米<1000米∴村莊能聽到宣傳（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響村莊，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對村莊的影響，則AP=AQ=1000米，AB=600米，∴BP=PQ===800米，∴PQ=BP+BQ=800+800=1600米，∴影響村莊的時間為：1600÷200=8分鐘∴村莊總共能聽到8分鐘的宣傳．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，把實際問題轉(zhuǎn)化炎數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七勾股定理之是否受臺風(fēng)影響問題】【例7】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交會，公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時，周圍以內(nèi)會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點(diǎn)處受噪音影響的時間是（

）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒【答案】A【分析】過點(diǎn)A作，設(shè)在點(diǎn)B處開始受噪音影響，在點(diǎn)D處開始不受噪音影響，則，，根據(jù)勾股定理求出求出的長，進(jìn)而得到的長，即可得出居民樓受噪音影響的時間．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作，設(shè)在點(diǎn)B處開始受噪音影響，在點(diǎn)D處開始不受噪音影響，則，，∵公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴，∵，∴A處受噪音影響的時間為：．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）M城氣象中心測得臺風(fēng)中心在M城正北方向240km的P處，以每小時45km的速度向南偏東30°的PB方向移動，距臺風(fēng)中心150km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域，則M城受臺風(fēng)影響的時間為（

）小時．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】如圖，過點(diǎn)M作ME⊥PB，在BP上取點(diǎn)F，H，設(shè)MF=MH=150km，求出FH，然后利用時間=路程÷速度，計算即可解決問題．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥PB，在BP上取點(diǎn)F，H，設(shè)MF=MH=150km在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，∴ME=PM=120km，∴EF=EH==90（km），∴FH=180km，∴受臺風(fēng)影響的時間有180÷45=4（小時）．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線根據(jù)直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在筆直的公路旁有一個城市書房C，C到公路的距離為80米，為100米，為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車鳴笛聲會使以公交車為中心170米范圍內(nèi)受到噪音影響，那么公交車至少秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．【答案】70【分析】如圖，設(shè)米，由勾股定理求出和的長，則可求出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)米，∵，米，∴（米），∵米，米，∴（米），∴（米），∴公交車鳴笛聲會受到噪音影響的時間為（秒），故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）某地產(chǎn)開發(fā)商在筆直的公路旁有一塊山地正在施工，現(xiàn)有工地一處需要小型爆破，經(jīng)測量，已知點(diǎn)與公路上的?？空镜木嚯x為30米，與公路上的另一?？空镜木嚯x為40米．且．為了安全起見，已知進(jìn)入爆破點(diǎn)周圍半徑25米范圍內(nèi)有危險．問在進(jìn)行爆破時，公路段是否因有危險而需要暫時封鎖？答：．【答案】需要封鎖【分析】過C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解．【詳解】解：公路AB需要暫時封鎖．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．根據(jù)題意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°，∴米，∵，∴米，∵24米＜25米，∴有危險，公路段需要暫時封鎖．故答案為：需要封鎖【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理．4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．如圖所示，據(jù)氣象預(yù)測，距沿海某城市A的正南方向千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心千米，風(fēng)力會減弱一級．該臺風(fēng)中心正以千米/時的速度沿北偏東方向往移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過四級就會受臺風(fēng)影響．

(1)該城市是否受到臺風(fēng)的影響？請說明理由．(2)若受臺風(fēng)影響，臺風(fēng)影響該城市持續(xù)的時間有多長？(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？【答案】(1)會，見解析(2)小時(3)級【分析】（1）求是否會受到臺風(fēng)的影響，其實就是求到的距離是否大于臺風(fēng)影響范圍的半徑，如果大于，則不受影響，反之則受影響．如果過作于，就是所求的線段．中，根據(jù)的度數(shù)，的長，即可求出．（2）受臺風(fēng)影響時，臺風(fēng)中心移動的距離，應(yīng)該是為圓心，臺風(fēng)影響范圍的半徑為半徑，所得圓截得的上的線段的長即得長，可通過在直角三角形和中，根據(jù)勾股定理求得．再根據(jù)路程和速度，即可求出時間．（3）風(fēng)力最大時，臺風(fēng)中心應(yīng)該位于點(diǎn)，然后根據(jù)題目給出的條件判斷出時幾級風(fēng)．【詳解】（1）解：該城市會受到這次臺風(fēng)的影響．理由是：如圖，過作于．在中，

，，，城市受到的風(fēng)力超過四級，則稱受臺風(fēng)影響，受臺風(fēng)影響范圍的半徑為．，該城市會受到這次臺風(fēng)的影響．（2）如圖以為圓心，200為半徑作交于、．則．臺風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：．臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時間（小時）．（3）距臺風(fēng)中心最近，該城市受到這次臺風(fēng)最大風(fēng)力為：（級．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度不大．5．（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向的B處，以的速度向北偏西的方向移動，距臺風(fēng)中心范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．

(1)A市是否會受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并說明理由；(2)如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時間約為幾小時？【答案】(1)會，理由見解析(2)小時【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，求出，再比較，即可求解；（2）設(shè)臺風(fēng)到達(dá)點(diǎn)C時，A市開始受到臺風(fēng)的影響，到達(dá)點(diǎn)E時，A市開始不受到臺風(fēng)的影響，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）解：A市會受到臺風(fēng)的影響，理由如下∶如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，

在中，，，∴，∵，∴A市會受到臺風(fēng)的影響；（2）解∶設(shè)臺風(fēng)到達(dá)點(diǎn)C時，A市開始受到臺風(fēng)的影響，到達(dá)點(diǎn)E時，A市開始不受到臺風(fēng)的影響，則，∵，∴，∴，∴，∴A市受臺風(fēng)影響的時間為小時．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題