/1.4用一元二次方程解決問題（一）【推本溯源】1.解決應(yīng)用題的一般步驟：步驟內(nèi)容摘要注意事項(xiàng)1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等等量關(guān)系往往體現(xiàn)在關(guān)鍵詞句中2.設(shè)設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量一般要帶單位3.列根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程方程兩邊單位要統(tǒng)一4.解解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義一般兩個(gè)根中只有一個(gè)符合實(shí)際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位2.解下列應(yīng)用（1）已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少．?dāng)?shù)字問題（1）任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：

.

（2）幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為，.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為，.（2）隨著國家“惠民政策”的陸續(xù)出臺(tái)，為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠，國家衛(wèi)計(jì)委通過嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為，某種藥品原價(jià)200元/瓶，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在僅賣98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同，求該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率．平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

①增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

②.降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

（3）有一個(gè)人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，那么每輪傳染中平均傳染了多少人？傳播問題：從傳播的第二輪中可以抽象出一元二次方程，設(shè)a為傳染源，x為每個(gè)傳染源傳播的個(gè)數(shù)，則傳播兩輪后感染總個(gè)數(shù)為.（4）如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2？幾何圖形問題各種規(guī)則圖形的面積、體積、周長公式，常涉及三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想（5）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷售單價(jià)定位多少元？商品銷售問題利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

【解惑】例1：若某兩位數(shù)的十位數(shù)字是方程的根，則它的十位數(shù)字是_____．例2：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了___人．例3：如圖，在一塊長米、寬米的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草．要使綠化面積為平方米，則修建的路寬應(yīng)是多少米？

例4：如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒人感染后，經(jīng)過兩輪傳播，共有人感染．(1)平均每人每輪感染多少人？(2)第二輪傳播后，人們加強(qiáng)防范，使病毒的傳播力度減少到原來的，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的倍，求的值．例5：一款服裝每件進(jìn)價(jià)為80元，銷售價(jià)為120元時(shí)，每天可售出20件，為了擴(kuò)大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天可多售出2件．(1)設(shè)每件衣服降價(jià)x元，則每天銷售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價(jià)多少元時(shí)，商家平均每天能盈利1200元；(3)商家能達(dá)到平均每天盈利1500元嗎？請(qǐng)說明你的理由．【摩拳擦掌】1．三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，例如可構(gòu)造如圖所示的圖形求解方程，這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）

A．統(tǒng)計(jì)思想 B．化歸思想 C．分類討論思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想2．為大力實(shí)施城市綠化行動(dòng)，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設(shè)綠地長為x米，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C．D．3．據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．4．一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人．根據(jù)題意列出方程為（

）A． B．C． D．5．參加宴會(huì)的人兩兩彼此握手，在某次宴會(huì)中，出席宴會(huì)的人一共握了次手，那么出席這次宴會(huì)的人數(shù)是________人．6．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測(cè)）2023“全晉樂購”網(wǎng)上年貨節(jié)活動(dòng)期間，某商家購進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為80元/盒的呂梁沙棘汁，按150元/盒的價(jià)格進(jìn)行銷售，每天可售出160盒．后經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒價(jià)格降低1元時(shí)，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，設(shè)每盒價(jià)格降低元，則可列方程為___________．7．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個(gè)兩位數(shù)是_____．8．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商場(chǎng)一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場(chǎng)決定降價(jià)促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價(jià)多少元？9．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)是一個(gè)一位數(shù)的平方，把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大，求這個(gè)兩位數(shù)．10．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)期末）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園（圍墻最長可利用），現(xiàn)在已備足可以砌長的墻的材料．(1)當(dāng)長度是多少時(shí)，矩形花園的面積為米；(2)能否圍成矩形花園面積為米，為什么？11．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解決問題．相傳古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1、3、6、10…，由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角點(diǎn)陣表示，他們就將每個(gè)三角點(diǎn)陣中所有的點(diǎn)數(shù)和稱為三角數(shù)．則第n個(gè)三角數(shù)可以用（且為整數(shù)）來表示．(1)若三角數(shù)是55，則______；(2)把第n個(gè)三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，請(qǐng)用含n的式子表示前n行所有點(diǎn)數(shù)的和；(3)在（2）中的三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能為120嗎？如果能，求出n，如果不能，請(qǐng)說明理由．12．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得，求原來的兩位數(shù)．【知不足】1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）有人患了流感后，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人，則根據(jù)題意可列方程（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）參加一次活動(dòng)的每個(gè)人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動(dòng)？設(shè)有人參加活動(dòng)，可列方程為（）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在一塊長，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個(gè)矩形小塊（陰影部分），如果6個(gè)矩形小塊的面積和為，那么水渠應(yīng)挖多寬？若設(shè)水渠應(yīng)挖xm寬，則根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．4．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，…都是直角三角形，請(qǐng)細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．；；；請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：_________．若，則___________．5．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）某件服裝廠促銷一種服裝，原來每件每件售價(jià)為200元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，該種服裝每件售價(jià)為98元，則平均每次降價(jià)的百分率為__________．6．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為___________．7．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意，請(qǐng)列出方程________．8．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）某商場(chǎng)銷售一批襯衫，進(jìn)貨價(jià)為每件元，按每件元出售，一個(gè)月內(nèi)可售出件．已知這種襯衫每件漲價(jià)元，其銷售量要減少件．為了減少庫存量，且在月內(nèi)賺取元的利潤，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？9．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）要建一個(gè)面積為的長方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊利用原有的一道墻，另三邊用鐵絲網(wǎng)圍成，如果鐵絲網(wǎng)的長為．

(1)若墻足夠長，則養(yǎng)雞場(chǎng)的長與寬各為多少？(2)若給定墻長為，則墻長a對(duì)題目的解是否有影響？10．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）圣誕節(jié)昂立師生互送賀卡，總共送出張，求昂立共有師生多少人？11．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，墻可利用的最大長度為，籬笆長為，設(shè)平行于墻的邊長為．(1)若圍成的花圃面積為時(shí)，求的長；(2)如圖，若計(jì)劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個(gè)小矩形，且花圃面積為，請(qǐng)你判斷能否圍成花圃，如果能，求的長；如果不能，請(qǐng)說明理由．12．（2023春·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)校考期中）三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對(duì)一元二次方程進(jìn)行求解的方法，以為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為．即．第二步：構(gòu)造一個(gè)長為，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個(gè)這樣的長方形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長用含的代數(shù)式表示為______．小正方形邊長為常數(shù)______，長方形面積之和為常數(shù)______．由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和，得方程______，兩邊開方可求得，．

(1)第四步中橫線上應(yīng)依次填入______，______，______，______；(2)請(qǐng)參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長，但增長率不會(huì)超過前兩個(gè)月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【一覽眾山小】1．（2023·浙江·一模）取一張長與寬之比為的長方形紙板，剪去4個(gè)邊長為的小正方形（如圖），并用它做一個(gè)無蓋的長方體形狀的包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計(jì)），則這張長方形紙板的周長為（

）

A． B． C． D．2.（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為()BC．D．3．（2023·重慶·西南大學(xué)附中校考三模）某中學(xué)連續(xù)3年開展植樹活動(dòng)，已知第一年植樹500棵，第三年植樹720棵，若設(shè)該校這兩年植樹棵數(shù)的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）某縣年人均可支配收入為萬元，年達(dá)到萬元，若年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了（

）個(gè)人．A．8 B．9 C．10 D．116．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？既＃┤鐖D，將一張正方形鐵皮的四個(gè)角同時(shí)切去邊長為2的四個(gè)小正方形，制成一個(gè)無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的面積為，則無蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．97．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）空地上有一段長為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個(gè)封閉的長方形菜園（如圖），已知木柵欄總長為40米，所圍成的長方形菜園面為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法 B．有兩種圍法 C．不能圍成菜園 D．無法確定有幾種圍法8．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在y軸上，邊在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，D為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿折疊，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．9．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長率為，則依題意列方程為__________．10．（2023·內(nèi)蒙古·二模）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以9元每袋的價(jià)格購進(jìn)一批棕子，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤可達(dá)到1360元？若設(shè)每袋棕子售價(jià)降低x元，則可列方程為____________．11．（2021秋·廣東河源·七年級(jí)?？计谥校┠撑l(fā)店將進(jìn)價(jià)為元的小商品按元賣出時(shí)，可賣出件，已知這種商品每件漲價(jià)元，其銷售量就減少件．若要賺得元利潤，設(shè)每件漲價(jià)元，則滿足方程____．12．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在寬為，長為的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，其余部分作為耕地為．則道路的寬為是______．13．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某家電超市銷售一款智能水壺，平均每天可售出件，每件贏利元，為了擴(kuò)大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，超市決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件水壺每降價(jià)元，超市平均每天可多售出件，若超市銷售水壺平均每天要贏利元，每件水壺應(yīng)降價(jià)多少元？14．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）某書店銷售一本科普讀物，進(jìn)價(jià)為每本16元，若按每本30元銷售，平均每月能賣出200本．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在不虧本的情況下，為減少庫存，若每本售價(jià)降低1元，則平均每月可多賣出20本．設(shè)每本科普讀物的售價(jià)降低元．(1)小宇說：“既然降價(jià)銷售，薄利多銷，那么就有可能賣出600本．”請(qǐng)判斷小宇的說法是否正確，并說明理由；(2)若該書店銷售此科普讀物想平均每月的銷售利潤為2860元，銷售經(jīng)理甲說：“在原售價(jià)的基礎(chǔ)上降低3元，可以完成任務(wù)”，銷售經(jīng)理乙說：“在原售價(jià)的基礎(chǔ)上降低1元即可”，請(qǐng)判斷甲、乙兩人的說法是否正確并指出應(yīng)采取誰的意見．15．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）某體育用品店銷售一種運(yùn)動(dòng)鞋，當(dāng)每雙的零售價(jià)為300元時(shí)，每天能賣出10雙，經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單價(jià)降低10元，每天就能多賣出10雙，但是單價(jià)不能低于200元，按此規(guī)律，如果該店某天銷售這種運(yùn)動(dòng)鞋的銷售額為3960，則這一天共賣出多少雙這種運(yùn)動(dòng)鞋？16．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）讀詩詞解題：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？（提示：三十而立，四十而不惑）17．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為30m，20m．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個(gè)新的矩形綠地．若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．

18．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）春季是傳染病多發(fā)季節(jié)．2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非?？?，開始有4人被感染，經(jīng)過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感．若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數(shù)．19．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料，回答下列問題：反序數(shù)：有這樣一對(duì)數(shù)，一個(gè)數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過來變成另一個(gè)數(shù)，簡單的說，就是順序相反的兩個(gè)數(shù)，我們把這樣的一對(duì)數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：的反序數(shù)是，的反序數(shù)是．用方程知識(shí)解決問題：若一個(gè)兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大3，這個(gè)兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為，求這個(gè)兩位數(shù)．20．（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪感染后共有81個(gè)人患了流感．(1)求每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)傳染了幾個(gè)人？(2)如果按這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪感染后共有多少個(gè)人患流感？

1.4用一元二次方程解決問題教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

【點(diǎn)撥】列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金；利息：銀行付給顧客的酬金叫利息；本息和：本金和利息的和叫本息和；

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù)；利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率。

(2)公式:利息=本金×利率×期數(shù)；利息稅=利息×稅率；本金×(1+利率×期數(shù))=本息和；本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))

4.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)；總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

5.形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程。看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】某種病毒傳播速度非?？?，如果最初有兩個(gè)人感染這種病毒，經(jīng)兩輪傳播后，就有五十個(gè)人被感染，求每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給幾個(gè)人？若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有多少人被感染？【答案】每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給4個(gè)人，若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有250人被感染【分析】設(shè)每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給x個(gè)人，則第一輪會(huì)傳染給2x人，第二輪會(huì)傳染給人，再根據(jù)經(jīng)兩輪傳播后，就有五十個(gè)人被感染列出方程求解即可．【解析】解：設(shè)每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給x個(gè)人，則第一輪會(huì)傳染給2x人，第二輪會(huì)傳染給人，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），∴（人）.答：每輪傳播中平均一個(gè)人會(huì)傳染給4個(gè)人，若病毒得不到有效控制，三輪傳播后將有250人被感染【例題2】重慶地鐵18號(hào)線一共設(shè)站29座，總投資約102億元其中，楊家坪與石坪橋區(qū)何標(biāo)段隧道總長1000米，由于此標(biāo)段經(jīng)過商圈和高層密集區(qū)域，隧道挖掘難度大．為了協(xié)助九龍坡區(qū)爭創(chuàng)“全國文明城區(qū)”，盡快完成標(biāo)段的施工，施工單位加快了此標(biāo)段隧道挖掘速度．(1)若施工單位將挖掘速度提升到了原速度的倍，則比原計(jì)劃提前50天完成隧道挖掘任務(wù)．求原計(jì)劃每天挖掘繼道多少米？(2)2021年初工程隊(duì)開始進(jìn)行隧道挖掘工作，按照（1）中提速后的速度挖掘隧道，每天挖掘隧道的費(fèi)用為40萬元．隧道挖通后，施工單位進(jìn)行其他項(xiàng)目的施工，到2021年底，其他項(xiàng)目施工總費(fèi)用為2000萬元．為了盡快完成所有工程，施工單位計(jì)劃在2021年總投資額（即挖掘隧道總費(fèi)用和其他項(xiàng)目總費(fèi)用之和）基礎(chǔ)上繼續(xù)增加投資額，預(yù)計(jì)從2021年初到2023年底，三年累計(jì)共完成4.75億元的投資額．設(shè)2022年和2023年這兩年的總投資額年平均增長率為m，求m的值．【答案】(1)4米；(2)【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃每天挖x米，根據(jù)題意列方程求解即可；（2）由題可得，提速后的速度為米，則要挖天，根據(jù)題意列方程求解即可．【解析】(1)解：設(shè)原計(jì)劃每天挖x米，則解得經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解答：原計(jì)劃每天挖4米隧道．(2)解：由題可得，提速后的速度為米，則要挖天則挖隧道的總費(fèi)用為億元，所以2021年總投資額為億元，則由題可得解得或（舍）答：的值為．【例題3】對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，且十位上的數(shù)字的平方等于百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，那么稱這個(gè)數(shù)為“方積數(shù)”．例如：，因?yàn)?，所?84是“方積數(shù)”．(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷263是不是“方積數(shù)”，并直接寫出最小的“方積數(shù)”．(2)已知一個(gè)“方積數(shù)”（，其中，，為自然數(shù)），若是一元二次方程的一個(gè)根，是一元二次方程的一個(gè)根，且，求滿足條件的所有的值．【答案】(1)263不是方積數(shù)，121(2)121，242，363，484【分析】（1）由題意代入驗(yàn)證即可解答；（2）求出m與n互為倒數(shù)，又m＋n＝?2，得出m＝?1，n＝?1，求出b＝a＋c，a＝c，結(jié)合方積數(shù)的定義即可得出答案【解析】(1)∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24∴263不是方積數(shù)；∵各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之積的4倍，∴十位上的數(shù)字的平方最小為4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“方積數(shù)”是121；(2)∵k＝100a＋10b＋c是方積數(shù)，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一個(gè)根，∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，將cn2＋bn＋a＝0兩邊同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，∴將m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2＋bx＋c有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴m＝，即mn＝1，∵m＋n＝﹣2，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b＋c＝0，∴b＝a＋c，∵b2＝4ac，∴（a＋c）2＝4ac，解得：a＝c，∴滿足條件的所有k的值為121，242，363，484．【例題4】某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顧客購買了2千克草莓，水果店獲得利潤20元．(1)求草莓的進(jìn)價(jià)為每千克多少元？(2)己知該水果店第一天以每千克30元的單價(jià)售出草莓30千克．為了讓顧客獲得實(shí)惠，第二天水果店決定把草莓降價(jià)促銷，若在第一天銷售單價(jià)的基礎(chǔ)上每降價(jià)1元，第二天的草莓銷量就會(huì)在第一天銷量的基礎(chǔ)上增加6千克．通過這兩天的銷售，這批草莓全部售完，水果店銷售完這批草莓的利潤一共為600元，求第二天的草莓每千克降價(jià)多少元？【答案】(1)草莓的進(jìn)價(jià)為每千克20元(2)第二天的草莓每千克降價(jià)5元【分析】（1）設(shè)草莓的進(jìn)價(jià)為每千克x元，然后根據(jù)利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×數(shù)量列出方程求解即可；（2）設(shè)第二天的草莓每千克降價(jià)m元，然后根據(jù)利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×數(shù)量列出方程求解即可．【解析】(1)解：設(shè)草莓的進(jìn)價(jià)為每千克x元，由題意得：，解得，∴草莓的進(jìn)價(jià)為每千克20元，答：草莓的進(jìn)價(jià)為每千克20元；(2)解：設(shè)第二天的草莓每千克降價(jià)m元，由題意得，解得或（舍去），∴第二天的草莓每千克降價(jià)5元，答：第二天的草莓每千克降價(jià)5元．課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．某蔬菜種植基地2020年蔬菜產(chǎn)量為40噸，預(yù)計(jì)2022年蔬菜產(chǎn)量比2021年增加20噸．若蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則下面所列的方程正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)平均每次增長的百分率為x，根據(jù)“2020年蔬菜產(chǎn)量為40噸，預(yù)計(jì)2022年蔬菜產(chǎn)量比2021年增加20噸”，即可得出方程．【解析】解：設(shè)蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x，則可列方程為40（1+x）x=20，故選：A．2．冰墩墩是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物，其以國寶熊貓為原型設(shè)計(jì)創(chuàng)作，將熊貓憨態(tài)可掬的形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冬季冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技的特點(diǎn)，一經(jīng)開售供不應(yīng)求．已知該款吉祥物在某電商平臺(tái)上2月4日的銷售量為5000個(gè)，2月5日和2月6日的總銷售量是22500個(gè)．若2月5日和6日較前一天的增長率均為x，則x滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分別表示出2月5日和2月6日的銷量，進(jìn)而相加得出等式即可．【解析】解：根據(jù)題意可得：2月5日的銷量為：5000（1+x），2月6日的銷量為：5000（1+x）（1+x）=5000（1+x）2，故5000（1+x）+5000（1+x）2=22500．故選：D．3．某市2019年底森林覆蓋率為45%．為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，弘揚(yáng)“塞罕壩”精神．該市大力開展植樹造林活動(dòng)，2021年底森林覆蓋率達(dá)到80%，如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，那么，下列符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用2021年底森林覆蓋率=2019年底森林覆蓋率×（1+這兩年的森林覆蓋率年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：依題意得：45%（1+x）2=80%，即0.45（1+x）2=0.8．故選：B．4．某市積極響應(yīng)國家的號(hào)召“房子是用來住的，不是用來炒的”，在宏觀調(diào)控下，商品房成交價(jià)由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，且今年房價(jià)在2月份、3月份、4月份的下降率保持一致，則4月份的房價(jià)單價(jià)為每平方米（

）．A．7300元 B．7290元 C．7280元 D．7270元【答案】B【分析】設(shè)房價(jià)的下降率為x，根據(jù)“商品房成交價(jià)由今年1月份的每平方米10000元下降到3月份的每平方米8100元，”列出方程，即可求解．【解析】解：設(shè)房價(jià)的下降率為x，根據(jù)題意得：，解得：（舍去）∴房價(jià)的下降率為10%，∴4月份的房價(jià)單價(jià)為每平方米元．故選：B．二、填空題5．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問題：“直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），只云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步），問闊及長各幾步？若設(shè)闊（寬）為x步，則可列方程______．【答案】x（x+12）=864【分析】利用長乘以寬=864，列出方程即可得出答案．【解析】解：設(shè)闊（寬）為x步，則所列方程為：x（x+12）=864．故答案為：x（x+12）=864．6．為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，某校開展籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間賽一場(chǎng)）．現(xiàn)計(jì)劃安排36場(chǎng)比賽，應(yīng)安排多少個(gè)球隊(duì)參賽？設(shè)安排個(gè)球隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為__．【答案】【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場(chǎng)），x個(gè)球隊(duì)比賽總場(chǎng)數(shù)為x（x﹣1），即可列方程．【解析】解：依題意得：．故答案為：．三、解答題7．為了響應(yīng)“踐行核心價(jià)值觀，傳遞青春正能量”的號(hào)召，小穎決定走入社區(qū)號(hào)召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．假定從一個(gè)人開始號(hào)召，每一個(gè)人每周能夠號(hào)召相同的m個(gè)人參加，被號(hào)召參加的人下一周會(huì)繼續(xù)號(hào)召，兩周后，將有121人被號(hào)召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．(1)求出m的值；(2)經(jīng)過計(jì)算后，小穎、小紅、小麗三人開始發(fā)起號(hào)召，但剛剛開始，他們就發(fā)現(xiàn)了問題，實(shí)際號(hào)召過程中，不是每一次號(hào)召都可以成功，而他們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤阎〖t的成功率比小穎的兩倍少10%，第一周后小麗比小穎多號(hào)召2人，三人一共號(hào)召17人，其中小穎號(hào)召了n人．請(qǐng)分別求出他們?nèi)颂?hào)召的成功率．【答案】(1)10(2)所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為【分析】（1）根據(jù)“每一個(gè)人每周能夠號(hào)召相同的m個(gè)人參加，被號(hào)召參加的人下一周會(huì)繼續(xù)號(hào)召，兩周后，將有121人被號(hào)召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．”列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，得小穎號(hào)召了n人.小麗號(hào)召了（n+2）人，小紅號(hào)召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，從而得到小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，再根據(jù)“小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，”列出方程，即可求解．【解析】(1)解：根據(jù)題意得：m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121，∴m+1=±11，解得：m1=10，m2=-12（舍去）答：m的值為10；(2)解：根據(jù)題意，得小穎號(hào)召了n人，小麗號(hào)召了（n+2）人，小紅號(hào)召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，∴小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，∵小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，∴，解得：n=4，∴所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為，答：所以小穎的成功率為，小紅的成功率為，小麗的成功率為．8．深圳著名“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城在2018年春節(jié)長假期間，接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計(jì)在2020年五一長假期間，接待游客獎(jiǎng)達(dá)28.8萬人次．一家特色小面店希望在五一長期限期間獲得好的收益，經(jīng)測(cè)算知，該小面成本價(jià)為每碗6元，借鑒經(jīng)驗(yàn)：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價(jià)格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率；(2)為了更好地維護(hù)深圳城市形象，店家規(guī)定每碗售價(jià)不得超過20元，則當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元？【答案】(1)20%；(2)20元【分析】（1）設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)每碗的利潤乘以數(shù)量列出方程求解即可．【解析】(1)解：設(shè)年平均增長率為x，依題意有20（1＋x）2＝28.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增長率為20%；(2)每碗售價(jià)定為y元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元，依題意有（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，解得y1＝20，y2＝21，∵每碗售價(jià)不得超過20元，∴y＝20．答：當(dāng)每碗售價(jià)定為20元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元．9．《生物多樣性公約》締約方大會(huì)第十五次會(huì)議于2021年10月11日至15日和2022年上半年分兩階段在昆明召開．為迎接cop15，昆明某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻（墻長20米），另外三邊用籬笆圍成如圖所示，所用的籬笆長為36米．(1)設(shè)垂直于墻的一邊長為x米．則平行于墻的一邊為_________米；(2)當(dāng)花圃的面積為144平方米時(shí)，求垂直于墻的一邊的長為多少米？【答案】(1)36-2x(2)當(dāng)花圃的面積為144平方米時(shí)，垂直于墻的一邊的長為12米【分析】（1）垂直于墻的邊長是x米，有兩條邊長，平行于墻的邊長只有一條，這樣就可以求出來；（2）花圃的面積=長×寬，令面積等于144即可求出來；【解析】(1)設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊為36-2x米；(2)設(shè)花圃的面積為S平方米∴S=（36-2x）·x=144解得x=12答：當(dāng)花圃的面積為144平方米時(shí)，求垂直于墻的一邊的長為12米．10．2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個(gè)數(shù)（如圖所示），圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請(qǐng)說明理由．【答案】最小的數(shù)是5，理由見解析【分析】設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)最小的數(shù)為x，則最大數(shù)為(x+8)，由題意得x(x+8)=33，解得x1=-11，x2=3．由表格知不符合實(shí)際舍去；由題意得x(x+8)=65，解得x1=-13（舍去），x2=5，所以當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時(shí)，最小的數(shù)是5．11．抖音直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．