8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用（第一課時(shí)）新知探究通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.下面我們研究當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，如何利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的問題.如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個(gè)模型研究兩個(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測(cè).xy新知探究問題1：生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來說，父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表1所示.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高。新知探究思考：我們可以這樣理解，由于有其他因素的存在，使兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.那么影響兒子身高的其他因素是什么？影響兒子身高的因素除父親的身外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習(xí)慣、營養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機(jī)因素，兒子身高是父親身高的函數(shù)的原因是存在這些隨機(jī)的因素.我們將其他影響兒子身高的隨機(jī)因素看為數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差，用字母e表示.

新知探究模型建立：我們可以利用類似于函數(shù)的表達(dá)式，建立刻畫父親身高與兒子身高兩個(gè)變量之間關(guān)系的線性回歸模型.如果用x表示父親身高，Y表示兒子的身高，用e表示各種其他隨機(jī)因素影響之和，稱e為隨機(jī)誤差，由于兒子身高與父親身高線性相關(guān)，則Y=bx+a+e

我們稱①式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中，

Y稱為因變量或響應(yīng)變量，

x稱為自變量或解釋變量．a(chǎn)稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差．新知探究與函數(shù)模型不同，回歸模型的參數(shù)一般是無法精確求出的，只能通過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù).參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關(guān)系，因此通過樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)，相當(dāng)于尋找一條適當(dāng)?shù)闹本€，使表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最接近.理想模型的確定：我們?cè)鯓訉ふ乙粭l“最好”的直線，使得表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的這些散點(diǎn)在整體上與這條直線最“接近”？父親身高/cm180175170165160160165170175180185190·······兒子身高/cm·······185方案1：找到一條直線使得所有樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)到直線距離之和最近.方案2：找到一條直線能將所有樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)平均分布在直線兩端.方案3：連接任意兩點(diǎn)的直線，求這些直線斜率和截距的平均值作為直線的斜率和截距.新知探究由yi=bxi+a+ei（i=1，2，…，n)，得|yi一(bxi+a)|=|ei|.顯然|ei|越小，表示點(diǎn)(xi，yi)與點(diǎn)(xi，bxi+a)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)離直線y=bx+a的豎直距離越小。特別地，當(dāng)ei=0時(shí)，表示點(diǎn)(xi，yi)在這條直線上.我們?cè)O(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)新知探究因此，我們可用豎直距離和來刻畫各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的整體接近程度.為了方便計(jì)算，我們可以采用類似于求方差的思想，改用豎直距離的平方和來刻畫，即用因此求解直線方程的問題轉(zhuǎn)化為：新知探究經(jīng)計(jì)算，Q(a,b)可化為關(guān)于b的二次函數(shù)，且當(dāng)Q(a,b)最小時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)新知探究利用前面的數(shù)據(jù)，依據(jù)用最小二乘估計(jì)一元線性回歸模型參數(shù)的公式，求出兒子身高Y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

兒子的身高不一定會(huì)是177cm，這是因?yàn)檫€有其他影響兒子身高的因素，回歸模型中的隨機(jī)誤差清楚地表達(dá)了這種影響，父親的身高不能完全決定兒子的身高，不過，我們可以作出推測(cè)，當(dāng)父親的身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右.如果把父親身高為176cm的所有兒子身高作為一個(gè)子總體，那么177cm是這個(gè)子總體的均值的估計(jì)值.知識(shí)應(yīng)用

B18例題講解

年份20202021202220232024年投資金額x(萬元)12345年利潤y(萬元)2.42.7t6.47.9

例題講解

針對(duì)訓(xùn)練3.某學(xué)校一個(gè)生物興趣小組對(duì)學(xué)校的人工湖中養(yǎng)殖的某種魚類進(jìn)行觀測(cè)研究，在飼料充足的前提下，興趣小組對(duì)飼養(yǎng)時(shí)間x(單位：月)與這種魚類的平均體重y(單位：千克)得到一組觀測(cè)值，如下表：(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回