猜押09圓的證明與計(jì)算（解答題）考點(diǎn)3年考題考情分析圓周角定理2024年第20題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形等知識(shí)利用垂徑定理求值2023年第20題考查了利用垂徑定理求值、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解等知識(shí)圓的綜合問(wèn)題2022年第20題圓與三角形的綜合題型一與圓周角定理有關(guān)的證明與計(jì)算【例】（2025·安徽蕪湖·一模）已知點(diǎn)A，P，B，C在上，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接．(1)如圖1，若，求證：是的切線；(2)如圖2，若，，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，可得，根據(jù)得到，利用角度轉(zhuǎn)換即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，根據(jù)，可得，即可證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，根據(jù)解直角三角形和勾股定理列方程，再證明，即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，∵是直徑，∴，∵，且，∴，∴，∴，是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵，，∴，，，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴.，，∴，由勾股定理可得，∴，∴，∴，，由，∴，∴，∴，∴．1．（2024·安徽蕪湖·二模）如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)是的切線且交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)6．【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理：（1）連接，由切線的性質(zhì)得，再證明即可得出結(jié)論；（2）連接，證明，由可求出，再由勾股定理可得結(jié)論【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，，，，，，，是的切線，，；（2）解：連接，如圖，∵對(duì)的圓周角是，∴，（已證），，，，，，，，．2．（2024·安徽宿州·二模）已知四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，連接，．(1)如圖1，，求的半徑；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，.已知，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)1(2)見(jiàn)解析【分析】（1）證明是等腰直角三角形，則，進(jìn)一步得到，即可得到的半徑；（2）證明是的中位線，則，由得到，又由，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，即的半徑為1；（2）∵過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，∴，∵，∴是的中位線，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、圓周角定理、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．（2024·安徽·三模）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，，平分交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求四邊形外接圓的半徑．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查勾股定理，圓周角定理，等腰三角形判定及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)．（1）利用圓周角定理，可得，再得到，即可得到本題答案；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得，繼而得到，再利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】（1）解：，，，，∵，，；（2）解：四邊形內(nèi)接于圓，，又，，為四邊形外接圓的半徑，，，四邊形外接圓的半徑為．4．（2024·安徽合肥·二模）已知：如圖，在中，為直徑，為弦，切于點(diǎn)B，，垂足為點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)若的半徑為，，求．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）由切線的性質(zhì)得到，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)以及垂徑定理得到，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求解．（2）先在中運(yùn)用勾股定理求得，利用垂徑定理得到，設(shè)，則，在利用勾股定理求得值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：切于點(diǎn)，，，．，，．，過(guò)圓心，，，，，；（2）解：的半徑為，．為直徑，，．，．設(shè)，則，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024·安徽宿州·二模）如圖，在圓中，弦，垂足為，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，與弦、分別相交于點(diǎn)E、G．已知圓半徑為4，．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明是等腰三角形，即，再根據(jù)等三角形“三線合一”得出結(jié)論；（2）連接，、、，先證明是的中位線，得，再證明為等腰直角三角形，求得，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，，，垂直平分，即；（2）解：連接，、、，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，∴，，，，，，，垂直平分，為中點(diǎn)，由（1）知F為中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，為弧AC的中點(diǎn)，∴為等腰直角三角形，半徑為4，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)與三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．6．（2024·安徽阜陽(yáng)·二模）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，且滿足，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）由圓周角定理求得，根據(jù)同角的余角相等證明，據(jù)此證得平分；（2）證明，推出，由，得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵為的直徑，，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）得，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得或（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解直角三角形，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．7．（2024·安徽合肥·二模）如圖，已知，以為直徑作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）連接，首先證得，證出，即可求解；（2）連接，根據(jù)圓周角定理得出，證明，得出，設(shè)的半徑為，再根據(jù)勾股定理得出，列出方程即可求解；【詳解】（1）解：連接，如圖，∵是的切線，，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的中點(diǎn)；（2）連接，如圖，∵是的直徑；∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為，，，∴，解得：或（舍去）．故半徑為．8．（2024·安徽合肥·一模）已知：如圖，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交點(diǎn)、．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接交直徑于點(diǎn)，連接，若，求證：．【答案】(1)8(2)見(jiàn)解析【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理及平行線的性質(zhì)，熟記圓周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂徑定理求出，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，連接，為的直徑，，，，，，，；（2）證明：如圖2，連接，為的直徑，，，∵，，，，，，，垂直平分，，，，．9．（2024·安徽黃山·二模）如圖，為的外接圓，直線與相切于點(diǎn)，弦，與相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，熟練的利用垂徑定理解決問(wèn)題是關(guān)鍵．（1）證明，結(jié)合，可得，再利用垂徑定理可得答案；（2）連接，由（1）知，，可得求解設(shè)半徑為，在中，根據(jù)勾股定理可得，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）解：連接，交于點(diǎn)∵直線與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：連接，由（1）知，∴∴在中得設(shè)半徑為，在中，根據(jù)勾股定理可得，解得．10．（2024·安徽合肥·一模）如圖，等腰的腰為的一條弦，另一腰與相交于D，底邊上的高的延長(zhǎng)線交于F，連接．(1)求證：；(2)連接交于G，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）先連接，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，可以求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，為等腰三角形，且，，是的垂直平分線，，，又，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，，，．11．（2024·安徽合肥·二模）如圖，為的一條弦，與相切于，平分，與交于，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)過(guò)點(diǎn)作于，求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）分別連接，，，由于平分，可得即得，與相切于，可得，根據(jù)圓周角定理可得，即可得出結(jié)果；（2）分別連接，，延長(zhǎng)交于，連接，根據(jù)，為直徑，可得，，得到，即證結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，分別連接，，，∵平分，∴，∴，∴為的中點(diǎn)，∴，∵與相切于，∴，∴，∴，∴，∴；（2）證明：如圖2，分別連接，，延長(zhǎng)交于，連接，∵，為直徑，∴，又，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形的綜合題，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．12．（2024·安徽合肥·二模）如圖，是的直徑，C是上一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)C，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，，求直徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出，于是有，由得出，從而推出，繼而證得，又為公共角，于是根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似即可得證：（2）根據(jù)，即可求出的長(zhǎng)，繼而求出的長(zhǎng)，的長(zhǎng)、再證得，即可求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理即可求出直徑的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖1，連接．與相切于點(diǎn)C，，即．，，，．，．，．（2）如圖2，連接．，，．在中，，∵，．在中，，，．是的直徑，，，．由勾股定理，得．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，銳角三角函數(shù)，圓周角定理及推論，切線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2024·安徽合肥·三模）如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角以及圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，可得，再根據(jù)推出，由，得到，因此，即可得出結(jié)論；（2）由（1）中結(jié)論，得到，，由進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，從而求出的半徑．【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，與相切于點(diǎn)，，，，，，，，，，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，，，的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A和等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024·安徽合肥·二模）如圖，已知平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B均在上，邊與相交于點(diǎn)E，，連接交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．(1)若平行四邊形的面積為80，，，求的長(zhǎng)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，由已知條件及平行四邊形的性質(zhì)得，而，所以，則，由垂徑定理得，然后由平行四邊形的面積求得，最后由勾股定理得列方程即可解答；（2）連接、，由，得，由圓周角定理得，在證明，可得，則，最后結(jié)合，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，連接，，，，∵四邊形為平行四邊形，，，，，，∵平行四邊形的面積為80，，，，且，，解得，的長(zhǎng)是5．（2）證明：如圖2，連接、，垂直平分，，，，，，，∴，，，．【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形內(nèi)接于，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由得，再根據(jù)圓周角定理的推論即可得證；（）作的角平分線交于點(diǎn)，先證，得，又，得，，進(jìn)而證垂直平分，得，，再證，利用相似三角形的性質(zhì)得，從而即可得解．【詳解】（1）證明：∵∴，∴，∵，∴；（2）解：作的角平分線交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理等，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2024·安徽合肥·三模）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線分別交，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，且，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)可得，結(jié)合，易得，進(jìn)而可得，即可證明結(jié)論；（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，首先根據(jù)勾股定理解得，進(jìn)而可得，再證明，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得，的值，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】（1）證明：如下圖，連接，∵為上一點(diǎn)，為的切線，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴；（2）解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，如下圖，∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，，∵，∴，即，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．17．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與相切于點(diǎn)，弦，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理、三角形中位線定理，矩形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理、三角形中位線定理和矩形的判定與性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，與相切于點(diǎn)，，，，；（2）解：如圖，作于點(diǎn)，由垂徑定理知：，，是的中位線，，在中，根據(jù)勾股定理，得，，，由（1）知：，四邊形是矩形，，．18．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，是直徑，，點(diǎn)E在上，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題考查了垂徑定理及其推論、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理及其推論、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，利用圓周角定理、等角對(duì)等邊等知識(shí)，即可證明；（2）分別連接，相交于點(diǎn)G，證明，則是的中位線，得到，，則，由勾股定理得到，求出，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖1，分別連接，，∴，是直徑，，，，，，，；（2）如圖2，分別連接，相交于點(diǎn)G，∵，∴∴于G，∴是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴設(shè)，則，在中，，在中，，，解得，．19．（2024·安徽合肥·二模）如圖，已知，以為直徑作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．(1)求證：F是的中點(diǎn)；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）連接，首先證得，證出，即可求解；（2）連接，根據(jù)圓周角定理得出，證明，得出，設(shè)的半徑為，再根據(jù)勾股定理得出，列出方程即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖，是的切線，，，，，，，，是的中點(diǎn)；（2）解：連接，如圖，是的直徑；，，，，，，，，，設(shè)的半徑為，，，，解得：或（舍去）．故半徑為．20．（2024·安徽合肥·三模）如圖，為的直徑，過(guò)上一點(diǎn)C作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，于點(diǎn)D．

(1)求證：；(2)若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）先由切線性質(zhì)得出，再結(jié)合，得出，進(jìn)行角的等量代換，得出，再結(jié)合等邊對(duì)等角，即可作答．（2）連接，由，得，可證明，進(jìn)而證明，得，則，所以，由，得，，則，所以，則，求得．【詳解】（1）解：連接，如圖：

∵是的切線，∴，∵，∴，則，∵，∴，∴，即；（2）解：連接，

，，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2024·安徽安慶·一模）如圖，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，平分連接，且．(1)求證：；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】本題考由圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是由圓周角定理、垂徑定理推出，由垂徑定理、勾股定理得到關(guān)于圓半徑的方程．（1）由角平分線定義得到，由圓周角定理推出，由垂徑定理推出，得到，由圓心角、弧、弦的關(guān)系推出；（2）連接與交于，由垂徑定理得到，由勾股定理求出，設(shè)半徑為，由勾股定理得到，求出，即可得到圓的半徑長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵平分，，，，，，；（2）解：連接與交于，，，，，，，，∴的半徑是．22．（2024九年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）已知是半徑為r的的直徑，C，D分別為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)除外，且在直徑的同側(cè)），于點(diǎn)E，F(xiàn)是的中點(diǎn)．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若不平行于，，求的長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查圓周角定理，三角形的中位線定理，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）連接，證明四邊形是矩形即可解答；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，首先證明點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得出，進(jìn)而在取得最大值時(shí)求出的最大值．【詳解】（1）解：證明：如圖1，連接，∵，∴，∵，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴；（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接，∵是半徑為r的的直徑，于點(diǎn)E，∴E是的中點(diǎn)，又∵F是的中點(diǎn)，∴，又∵的最大值為，∴的長(zhǎng)的最大值是5．23．（2024·安徽·三模）如圖，在中，是直徑，于H，弦交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G．且．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】該題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意．（1）根據(jù)，，證明，即可證出；（2）設(shè)，連接，根據(jù)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，得出，．再結(jié)合，得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程即可求解；【詳解】（1）解：∵，∴，，又∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：設(shè)，連接，

∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∵，∴，∵，即，解得．∴．24．（2024·安徽宣城·三模）如圖，是半圓的直徑，與半圓相切于點(diǎn)，于點(diǎn)，與半圓相交于點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）連接交于，根據(jù)垂徑定理得到，求得，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：與半圓相切于點(diǎn)，，于點(diǎn)，∴，，，，，平分；（2）解：連接交于，平分，，，，是半圓的直徑，，，四邊形是矩形，，，，，，設(shè)，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2024·安徽合肥·三模）如圖，的兩條弦，垂足為，點(diǎn)在上，平分，連接，分別交于于．(1)求證：；(2)連接，若的半徑為2，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題考查了圓周角定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識(shí)，作出合理的輔助線并熟練運(yùn)用圓周角定理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角定理求出，結(jié)合對(duì)頂角相等及三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)“等角對(duì)等邊”即可得證；（2）連接，，，，結(jié)合圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)求．根據(jù)圓周角定理求出，進(jìn)而推出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：，，平分，，又，，又，，，，∵，∴，，；（2）解：如圖，連接，，，，，，，，又，為的中點(diǎn)．由（1）知，，為的中點(diǎn)，是的中位線，．，，是等腰直角三角形，．，，．26．（2024·安徽亳州·三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，B，D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)C作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，且，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由圓周角定理得，由切線的性質(zhì)得，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，即可求證；（2）可證是等邊三角形，再通過(guò)三角形的外角得到，則．在中，．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴．∵與相切，是的直徑，∴，∴．∵B，D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，∴．（2）解：如圖，連接．∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴在中，．27．（24-25九年級(jí)下·安徽·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)C是直徑上方半圓上的一個(gè)點(diǎn)，直徑平分非直徑弦于點(diǎn)G，點(diǎn)E是上一點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)E作，垂足分別為，連接．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查圓綜合題、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題．（1）由垂徑定理可得，即，可得，再證明，可得，再證明，可證得；（2）連接，先證得四點(diǎn)是在以為直徑的圓上，再由，可得三點(diǎn)是在以為直徑的圓上，再由，可得以為直徑的圓和以為直徑的圓是等圓，再得，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：直徑平分非直徑弦，，即．，即，，，，；（2）解：如圖，連接，，即，四點(diǎn)是在以為直徑的圓上，，三點(diǎn)是在以為直徑的圓上，，以為直徑的圓和以為直徑的圓是等圓，，即，．28．（2025·安徽蚌埠·一模）點(diǎn)、是上的點(diǎn)，是的直徑，連接、、、，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出等量代換可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及同弧所對(duì)的圓周角相等得出，結(jié)合已知條件得出，則，進(jìn)而根據(jù)切線的性質(zhì)以及等角的余角相等得出，即可求解．【詳解】（1）∵，是的直徑，∴∴又∵∴∴∴（2）解：∵∴又∵∴∴∵∴∴∵是的切線∴又∵是直徑，∴∴∴在中，，，∴∴即∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，余弦的定義，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．29．（2025·安徽銅陵·一模）如圖，已知的直徑，弦于點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交與點(diǎn)．(1)求證：；(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）利用等角的余角相等，求得，利用圓周角定理即可證明結(jié)論成立；（2）利用垂徑定理求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，如圖，∵是的直徑，且，弦于點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，∴．30．（2025·安徽安慶·一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，作于交于，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，．(1)若的半徑為6，，求弦的長(zhǎng)；(2)求證：．【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析【分析】此題考查了垂徑定理、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）連接，利用垂徑定理得到，，用勾股定理求出即可求出答案；（2）利用角平分線的定義、圓周角定理等證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：連接，∵為直徑，，∴，∵，半徑∴在中，∴（2）∵平分∴∵∴∵為直徑∴∴∵∴∴31．（2025·安徽合肥·一模）如圖，是的外接圓，且，作，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑為13，．求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得是的直徑，，求得，再根據(jù)切線的性質(zhì)求得，推出，即可證明；（2）作于點(diǎn)，連接，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理求得，再求得，利用，列式求得，據(jù)此計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∴是的直徑，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴；（2）解：作于點(diǎn)，連接，∵，∴點(diǎn)在上，，在中，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．32．（2025·安徽·二模）如圖，內(nèi)接于圓，點(diǎn)、在圓上，且弦，過(guò)點(diǎn)作圓切線交延長(zhǎng)線與，連接、、、．若．(1)求證：；(2)連接，若，，，求長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用平行線的性質(zhì)求得，推出，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，據(jù)此求解即可證明；（2）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，證明點(diǎn)是的外心，也是的內(nèi)心，推出平分，再證明是等腰直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得的長(zhǎng)，即可得解．【詳解】（1）證明：連接，，，，，又，，，；（2）解：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，，，，是等邊三角形，點(diǎn)是的外心，也是的內(nèi)心，平分，，，，切圓與，，即，，是等腰直角三角形，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．33．（2024·安徽淮北·二模）如圖1，是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，連接，已知．(1)證明：平分；(2)如圖2，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)弦垂直于點(diǎn)，由垂徑定理得到，由，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理推出，即，再根據(jù)，推出，由圓周角定理得到，即可得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，證明是等邊三角形，得到，進(jìn)而得到，利用勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：弦垂直于點(diǎn)，，，，，，，即，，，，，平分；（2）解：連接，由（1）知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是的垂直平分線，，弦垂直于點(diǎn)，同理，可得，是等邊三角形，，是的直徑，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，弧，弦，角之間的關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．34．（2024·安徽合肥·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)C作，使得，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)，推出，根據(jù)，得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到，得到，結(jié)合共用，推出，得到；（2）證明是的直徑，得到，根據(jù)，得到．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即得．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：如圖，連接．∵，∴是的直徑，∴，由（1）可得．∵，∴．在中，，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓有關(guān)性質(zhì)．熟練掌握弧，弦，圓周角之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，勾股定理解直角三角形，圓周角定理及推論，全等三角形的性質(zhì)與判定，作出輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形，是解題的關(guān)鍵．題型二與利用垂徑定理求值有關(guān)的證明與計(jì)算【例】（2025·安徽滁州·一模）如圖，是半的直徑，弦，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在半徑和弦上，且，連接．(1)求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由，得到即，證明，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理求出，證明，得到，進(jìn)一步求出，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖：∵，∴，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：∵，，∴，∵，∴，在中，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∴，∴．1．（2024·安徽六安·三模）如圖，已知為的直徑，為的弦（不是直徑）且交于點(diǎn)F，F(xiàn)為的中點(diǎn)，四邊形為矩形，為矩形的對(duì)角線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H．(1)求證：；(2)若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)M，由矩形性質(zhì)得，，由為的直徑，F(xiàn)為弦的中點(diǎn)，得，求出，即可證明；（2）連接，求得是等邊三角形，得到．根據(jù)矩形性質(zhì)得，得到，根據(jù)即可求出；本題為圓的綜合問(wèn)題，考查圓的性質(zhì)，圓周角，矩形性質(zhì)，等邊三角形等知識(shí)．【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)M．∵四邊形為矩形，∴，．∵，，∴．∵AB為的直徑，F(xiàn)為弦CD的中點(diǎn)，∴，，即，∴，∴，∴．（2）解：如圖，連接．∵，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴．∵，∴是等邊三角形，∴∴．∵四邊形為矩形，∴，∴．∵F為的中點(diǎn)，∴，∴；∴的半徑為．2．（2023·安徽·一模）如圖1，為圓的直徑，為弦，過(guò)圓心作于，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是圓的切線．(1)求證：；(2)如圖2，取弧的中點(diǎn)，連接，，若，求弦的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理等（1）連結(jié)，由切線的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，有垂直的定義得，即可求證；（2）連接交于，連接，由圓的性質(zhì)得，由勾股定理可得，，即可求解；掌握性質(zhì)及圓中常用輔助線作法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，連結(jié)，是的切線，，即，，，，，；（2）解：如圖，連接交于，連接，是直徑，，；為的中點(diǎn)，，，在中，，，．3．（2024·安徽·一模）如圖1，為的直徑，弦于點(diǎn)G，且B為弧的中點(diǎn)，交于點(diǎn)H，若，．

(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接．求證：．【答案】(1)4(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）由于垂徑定理，得，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，得，即可通過(guò)證明，則，即可作答．（2）結(jié)合半徑相等，得點(diǎn)O在的垂直平分線上，由（1）知，則，得到，點(diǎn)H在的垂直平分線上，即可作答．【詳解】（1）解：連接，交于一點(diǎn)，如圖所示：

∵B為弧的中點(diǎn)∴∵∴∵∴∵∴∴；（2）解：連接，交于一點(diǎn)，如圖所示：

∵∴，點(diǎn)O在的垂直平分線上由（1）知，∴∴，點(diǎn)H在的垂直平分線上∴所在的直線是的垂直平分線上∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，垂直平分線的判定、垂直平分線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2024·安徽宿州·一模）如圖1，與相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C在上，交于點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)如圖2，與交于另一點(diǎn)E，連接．若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)，垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)：（1）連接，得由得求出得出從而得出結(jié)論；（2）根據(jù)得出進(jìn)一步證明設(shè)根據(jù)勾股定理可得關(guān)于k的方程，求出，即，再根據(jù)垂徑定理可得出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，設(shè)于點(diǎn)，∵是的切線，為的半徑，∴∵∴在中，∵∴∵∴∵又∴∴；（2）解：如圖2.∵∴∵∴∴在中，連接則設(shè)∴在中，∴，解得，或（舍去），∴∴．5．（2024·安徽池州·二模）如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)D，是的切線，且，垂足為E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)12【分析】（1）連接，根據(jù)已知可得，則，又，等量代換得出，即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)O作于H，設(shè)，證明四邊形為矩形，在中，，列方程并解方程，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，是的切線，半徑，，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)O作于H，設(shè)，過(guò)圓心，∴．∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，在中，，即，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)，合理作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2024·安徽合肥·一模）如圖，內(nèi)接于（不是直徑）與相交于點(diǎn)，且與相切點(diǎn)．(1)求證：平分；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)20【分析】（1）連接，則，所以，由切線的性質(zhì)證明，由垂徑定理證明，則，，所以，則平分；（2）因?yàn)?，，所以，由勾股定理得，求得，則，所以，則．【詳解】（1）證明：連接，則，，與相切于點(diǎn)，，，，，，，，，平分．（2）解：，，，，，，解得，，，，的長(zhǎng)為20．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、垂徑定理、勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、等角的余角相等、銳角三角函數(shù)與角直角三角形等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2024·安徽·二模）如圖，是的直徑，是上兩點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)與過(guò)點(diǎn)的的切線相交于點(diǎn)，連接．(1)證明：平分；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理以及矩形的判定等知識(shí)：（1）連接交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可得結(jié)論；證明四邊形為矩形，求得，，分別求出．，，根據(jù)勾股定理可求出【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，，且，平分，（2）解：為的直徑，，是的切線，，，由（1）知，，四邊形為矩形，，，在中，，，．．是的中位線，，，在中，．8．（2024·安徽淮南·三模）如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點(diǎn)連接且的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)連接(1)求證：(2)若求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】主要考查了垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．本題（1）連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)根據(jù)垂徑定理可得再根據(jù)切線的性質(zhì)可得，即；然后證得，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）如圖，連接先證，由相似三角形的性質(zhì)可得然后代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】（1）證明：如圖，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)．是的切線，，（2）解：如圖，連接是的直徑，，9．（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，等腰內(nèi)接于，，平分交的切線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，點(diǎn)A為切點(diǎn)．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，的半徑為5，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用垂徑定理和切線的性質(zhì)求得，推出，再根據(jù)角平分線的定義可證明，據(jù)此可證明；（2）利用垂徑定理證明，在中，利用三角函數(shù)的定義求得，利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)H，∵為的切線，∴，∵，∴垂直平分，即，∴，∴，∵平分，∴，∴，即為等腰三角形；（2）解：如圖，連接交于點(diǎn)G，連接，∵平分，∴點(diǎn)F為弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴在中，，∴，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解直角三角形．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．10．（2024·安徽合肥·三模）如圖，是的弦，過(guò)點(diǎn)O作的垂線交于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)D過(guò)點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）證明，根據(jù)切線的判定即可；（2）利用垂徑定理求出，在中，利用正弦的定義求出，在中，利用余弦的定義求出，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，在中，，∴，在中，，，∴，∴．11．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，在中，、為弦，為直徑，于E，于F，與相交于G．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等；（1）連接，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，由同角的余角相等得，從而可得，由等腰三角形的判定及性質(zhì)即可得證；（2）連接，設(shè)，可得，由線段和差得，由垂徑定理得，由勾股定理得，即可求解；掌握垂徑定理，能構(gòu)建直角三角形，并熟練利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖，連接，設(shè)，，，，，為直徑，，，在中，，，解得：，，故的半徑為．12．（2025·安徽·二模）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與圓周角定理及其推論進(jìn)行證明．（2）連接，由垂徑定理和勾股定理求得，從而求得，，再證明，得，即，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖：連接，∵是直徑，∴，∵弦于點(diǎn)，∴，即，∴，即．（2）解：如圖：連接，∵是直徑，弦于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴∵，∴，，∴，∵是直徑，弦于點(diǎn)，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2024·安徽合肥·三模）如圖，是的直徑，是的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)D，過(guò)O作的垂線交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理：（1）根據(jù)圓周角定理結(jié)合等角的余角相等，即可得證；（2）垂徑定理，得到，切線得到，進(jìn)而得到，得到，設(shè)的半徑為x，則，求出的值，勾股定理求出的值，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為x，則，∴，解得，∴，∴，∴．題型三圓的綜合問(wèn)題【例】（2025·安徽合肥·一模）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心的與邊相切于點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2．【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得到，從而證明為的平分線，得到，再由得到，最后得到；（2）由切線長(zhǎng)定理得到，然后通過(guò)求三角函數(shù)值得，從而得到，繼而求出，，最后利用含角的直角三角形的性質(zhì)求出．【詳解】（1）證明：如圖，連接，和都是的切線，，，，為的平分線，，，，，．（2）和都是的切線，，，在中，，，，在中，，，，在中，，，的長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理，三角函數(shù)值的應(yīng)用，角平分線的判定和含角的直角三角形的性質(zhì)．添加輔助線和熟練掌握和運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2024·安徽合肥·二模）已知，四邊形內(nèi)接于為直徑，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，平分，與相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、圓與三角形的綜合、勾股定理：（1）利用證得，進(jìn)而可求證結(jié)論；（2）利用先證得，進(jìn)而可得，，設(shè)，，利用勾股定理得，，再結(jié)合，即可求解；熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵?！驹斀狻浚?）證明：為直徑，，，，，在和中，，。（2）平分，，由（1）得：，在和中，，，，，，設(shè)，，由勾股定理得：，，，，，即：，解得：，為直徑，的半徑為。2．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求弧的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)＝【分析】（1）連，由是的直徑，則，而，所以；由是弧的中點(diǎn)，得到，于是，即可得到．（2）連接，，，，可得圓的半徑為4，在直角三角形．，可得，進(jìn)而推出等于，再用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）證明：是弧的中點(diǎn)，，在中，，，，，又是弧的中點(diǎn)，，，．（2）解：連接，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)等，利用圓周角定理和相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽·一模）已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，交于點(diǎn)E．(1)如圖①，求證：平分；(2)如圖②，過(guò)B作交于點(diǎn)F，連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，結(jié)合可證，進(jìn)而得出，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，進(jìn)而得出，即可得證；（2）連接，，利用勾股定理求出，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證，利用圓周角定理，余角的性質(zhì)等可證，進(jìn)而得出，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）證明：連接，，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）解：連接，，，在中，，，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，又，∴，∵為的直徑，∴，∴，又，∴，∴，又，∴，∴，又，∴，∴，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解第（2）問(wèn)的關(guān)鍵．4．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以O(shè)為圓心，為半徑作．(1)如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接，若，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，延長(zhǎng)至C，連接，若是的切線，E為切點(diǎn)，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）求出，，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）連接，證明，，即可求證．【詳解】（1）∵∴，∴，，在中，；（2）連接，則，在與中，∵，∴，∴，在與中，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合知識(shí)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．5．（2023·安徽滁州·一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，．(1)求證：是的切線；(2)點(diǎn)在上，且和點(diǎn)位于的兩側(cè)，如果，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用等邊對(duì)等角可得，，，進(jìn)而得出，利用圓周角定理和等量代換可得，然后利用切線的判定即可得證；（2）設(shè)圓的半徑為，，在和中利用勾股定理可得，，求出、的值，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，即四邊形面積的最大，然后分別求和的面積即可．【詳解】（1）證明：連接，∵，，，∴，，，∴，∵是的直徑，∴，∴，即，∴，又是的半徑，∴是的切線；（2）解：設(shè)圓的半徑為，，由題意知，在中，，即①，在中，，即②，由①、②解得，，∴，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，即四邊形面積的最大，∴，∴，又，即，∴，∴，的最大面積為，∴四邊形面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理等知識(shí)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出圓的半徑是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知是的內(nèi)接三角形，是的直徑，是的弦，連接，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，連接、，若，且，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得，再利用三角形外角的性質(zhì)等量代換即可得證；（2）由和點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得是的中位線，求得，根據(jù)圓周角定理得，，由勾股定理求得，，設(shè)，，在和中，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于、的方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：，都是所對(duì)的圓周角，，，；（2）解：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中位線，，為直徑，，，，，設(shè)，，在和中，有，即，整理得：，，解得：，，，解得：或（舍去），的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題是圓與三角形的綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，中位線的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用方程思想建立直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽宿州·二模）如圖，在中，弦，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．(1)若，求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【分析】（1）根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，所對(duì)的弦相等，可得，，即可得出求證；（2）根據(jù)與相切和是的直徑，得出進(jìn)而得出，推出，則求出，即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．在與中，，∴．（2）解：如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接．∵與相切，∴．∵是的直徑，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用在解題過(guò)程中．8．（2023·安徽合肥·一模）如圖，在中，，以為弦作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且，．(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為，，求劣弧的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)劣弧的長(zhǎng)為【分析】（1）如圖所示，連接，可知為的直徑，可證，再根據(jù)角的關(guān)系證明，由此即可求證；（2）連接，根據(jù)題意可得是的中線，根據(jù)的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)可求出的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵，∴，∴為的直徑，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵是的直徑，∴為的切線；（2）解：連接，∵，∴，∵的半徑為2，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴弧的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握切線的證明方法，弧長(zhǎng)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023·安徽淮北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上.以點(diǎn)為圓心，為半徑作與相切于點(diǎn)，已知．(1)求證：；(2)連接，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)與相切于點(diǎn)得到，結(jié)合，即可得到，結(jié)合，，得到，即可得到證明；（2）根據(jù)，得到，即可得到，結(jié)合，即可得到，即可得到答案；【詳解】（1）證明：連接，∵與相切于點(diǎn)，∴，∴，又，，∴，∴，；（2）解：在和中，∵，，∴，∴，在中，∵，，∴，由（1），∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等的性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段關(guān)系．10．（2023·安徽馬鞍山·一模）如圖，點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)C，若與垂直．(1)求證：；(2)若，圓O的半徑為8，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，再根據(jù)切線的性質(zhì)證明，即可證明．（2）作于H，求出，根據(jù)，圓O的半徑為8，求出，證明，即可解得．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵與圓切于A，∴半徑，∴，∴，∴；（2）解：作于H，∵，∴，∵，圓O的半徑為8，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】此題考查了圓的切線性質(zhì)、三角形相似、等腰三角形的判定、勾股定理，解題的關(guān)鍵是借助輔助線構(gòu)造三角形相似．11．（2023·安徽合肥·二模）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)是的切線，，可得，，可證，由圓周角相等，得弦相等，由此即可求證；（2）根據(jù)題意，在中，計(jì)算出的值，可證，可求出的長(zhǎng)，在中，求出，由此即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵是的切線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵是直徑，∴，∵，，在中，，∵，，∴，∴，即，∴，，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與幾何的綜合，掌握切線的證明方法，垂直、平行的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．12．（2023·安徽安慶·二模）如圖，是的直徑，直線與相切，切點(diǎn)為，過(guò)作，垂足為，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，推出，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)，，得出垂直平分，則，，推出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，求出，再根據(jù)勾股定理可得：，即可得出，，最后證明，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵直線與相切，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；

（2）解：連接，∵為的直徑，∴，由（1）可得，∴垂直平分，∴，，∵，∴，則，根據(jù)勾股定理可得：，∵，，∴，∴，即，∴，解得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓和三角形的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角為直角；勾股定理，以及相似三角形的判定和性質(zhì)．13．（2023·安徽六安·三模）如圖，是的弦，C，D為優(yōu)弧的三等分點(diǎn)，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由點(diǎn)C，D為優(yōu)弧AB的三等分點(diǎn)得到，從而，進(jìn)而，又，根據(jù)“對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得證四邊形ABEC是平行四邊形；（2）由點(diǎn)C，D為優(yōu)弧AB的三等分點(diǎn)可證，從而得到，，，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵C，D為優(yōu)弧的三等分點(diǎn)∴∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形（2）∵四邊形是平行四邊形∴∵C，D為弧ACB的三等分點(diǎn)∴∴∴∴，，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·安徽阜陽(yáng)·二模）如圖，以的邊為直徑作半圓O交于點(diǎn)D，且，半圓O交于點(diǎn)E．(1)求證：．(2)若，，求半圓O的半徑r．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵的邊為直徑作半圓O交于點(diǎn)D，且，∴，∵，∴，∴．（2）解：的邊為直徑作半圓O交于點(diǎn)D，且，根據(jù)解析（1）可知，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，故圓的半徑為6．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·安徽合肥·三模）已知，如圖，四邊形內(nèi)接于，直線與相切，切點(diǎn)為，連接．

(1)求證：；(2)若，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，，求．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于，連接，由切線的性質(zhì)可得，由直徑所對(duì)的圓周角為直角可得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，即可得證；（2）過(guò)作交延長(zhǎng)線于，由圓周角定理得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，由①知，則，，設(shè)，，由勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于，連接．

與相切，切點(diǎn)為，，是直徑，，，，，．（2）解：過(guò)作交延長(zhǎng)線于．

，．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，由①知，，，設(shè)，，中，，點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，，，，中，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正切的概念，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．（2024·安徽合肥·一模）如圖，是的直徑，是一條弦，是弧的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)10【分析】（1）由是弧的中點(diǎn)，得出，再由垂徑定理得出，根據(jù)等弧所對(duì)圓周角相等得出，即可證明出結(jié)論．（2）證明出，由，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，再求出直徑即可．【詳解】（1）證明：是弧的中點(diǎn)，，，且是的直徑，，，，．（2）解：是的直徑，，，，，，設(shè)，則，，，，即,或（舍去），，，的半徑為10．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，解直角三角形、勾股定理的計(jì)算是解題關(guān)鍵．17．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖1，等腰中，，以為直徑的與所在直線、分別交于點(diǎn)、，于點(diǎn)．(1)求證：為的切線；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，證出，由切線的判定可得出結(jié)論；（2）證明，得出，證明，得出，求出的長(zhǎng)，由勾