猜押03三點共線的證明（三年一考）（從歷年真題維度分析考情及押題依據(jù)）猜押考點3年福建真題考情分析押題依據(jù)構(gòu)建一次函數(shù)證明三點共線2023年第24題三點一線的證明方法也有多種，難度較高，雖然近三年中考只考過一次，但在九地市各市質(zhì)檢中出現(xiàn)頻率相對較高，24年福州、泉州、漳州的模擬卷都曾出現(xiàn)過。因此，在25年備考過程中可關(guān)注此考點。三點一線的證明方法廣泛，通常在二次函數(shù)、幾何圖形、旋轉(zhuǎn)或尺規(guī)作圖的考題中出現(xiàn)；證明方法也利用函數(shù)、也可用幾何性質(zhì)來證明，是一個綜合型較強的考點，在證明時也需要嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Α?3年已經(jīng)考過構(gòu)建一次函數(shù)來證明，25年備考過程中可以適當(dāng)練習(xí)利用幾何方法來證明。構(gòu)建平角證明三點共線通過角相等證明三點共線構(gòu)造平行或垂直證明三點共線題型一構(gòu)建一次函數(shù)證明三點共線1．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點，頂點D的坐標是．(1)求該拋物線的解析式；(2)經(jīng)過的直線軸，過點B作于點H．①求證：A，D，H三點共線；②M是拋物線上一點，且，求點M的坐標．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，勾股定理和勾股定理的逆定理：（1）利用對稱軸公式求出；代入點C坐標即可求出c，進而求出解析式；（2）①先求出A、B坐標，進而求出點H坐標，再求出直線解析式，最后驗證點H是否在直線上即可；②取，連接，可證明是等腰直角三角形，且，則，即直線與拋物線的交點即為點M，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴，∴，∵拋物線經(jīng)過，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：①在中，當(dāng)時，解得或，∴，∵經(jīng)過的直線軸，過點B作于點H，∴；設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，在中，當(dāng)時，，∴點在直線上，∴A，D，H三點共線；②如圖所示，取，連接，∵，，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，∴直線與拋物線的交點即為點M，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點M的坐標為．2．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點．(1)求出點，，的坐標；(2)以為直徑作，交軸正半軸于點，直線平分，交軸于點，與關(guān)于直線對稱．求證：點，，三點共線．(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是線段上的動點（除，外），過點作軸的垂線交拋物線于點，直線，分別與拋物線對稱軸交于，兩點．試問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)是定值，．理由見解析【分析】（1）令，得，，令，得，從而即可得解；（2）利用待定系數(shù)法得直線的解析式為，再證點在上即可；（3）設(shè)，先求得直線的解析式為，直線的解析式為，進而得，，從而即可得解．【詳解】（1）解：令，得，∴，解得，令，得，．（2）解：由（）可知，，∵，，在中，，，，，直線平分，，與關(guān)于直線對稱，直線平分，點與點重合，，∴，過點作軸于，，∴，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得∴直線的解析式為當(dāng)時，，點在直線上點，，三點共線，（3）解：是定值，．理由如下：如圖，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則有：，解得：，直線的解析式為，同理可得直線的解析式為．令得，是定值．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，求一次函數(shù)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2025九年級下·漳州·月考）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．(1)求出點A，B，C的坐標；(2)以為直徑作，交y軸正半軸于點E，直線平分，交y軸于點F，與關(guān)于直線對稱．求證：點B，I，F(xiàn)三點共線．(3)點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，點R是線段上的動點（除B，D外），過點R作x軸的垂線交拋物線于點K，直線分別與拋物線對稱軸交于M，N兩點．試問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)是定值，．理由見解析【分析】本題主要考查了解直角三角形、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、求一次函數(shù)、軸對稱的性質(zhì)等知識點，熟練掌握解直角三角形、二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）令，得，解得：，令，得，即可完成解答；（2）利用待定系數(shù)法得直線的解析式為，再證點F在上即可解答；（3）設(shè)，先求得直線的解析式為，直線的解析式為，進而得、，從而完成解答．【詳解】（1）解：令，得，解得，令，得，∴．（2）證明：由（1）可知，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵直線平分，∴，∴，∴，∵與關(guān)于直線對稱，直線平分，∴點與點B重合，，∴，過點I作軸于H，如圖1，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，∴點在直線上，∴點B，L，F(xiàn)三點共線．（3）解：是定值，．理由如下：如圖2，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則有：，解得：，∴直線的解析式為，同理可得直線的解析式為．令得，∴，∴是定值．4．（23-24九年級下·福建福州·階段練習(xí)）已知拋物線交軸于點，交軸于點．(1)求此拋物線的解析式；(2)點為拋物線上一個動點．①若，求點的橫坐標；②直線與拋物線的另一個交點，過點作軸，交直線于點．求證：三點共線．【答案】(1)(2)①或；②見解析【分析】（1）將點代入，即可求解；（2）①過點作軸，交直線于點，求出的直線解析式，設(shè)點P的坐標為，則M的坐標為，從而求出P點坐標；②設(shè)直線的解析式為，點P的坐標為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)直線的解析式為，將點代入即可得結(jié)論．【詳解】（1）解∶∵拋物線過點，∴，解得，∴此拋物線的解析式為；（2）①解∶如圖1，過點作軸，交直線于點，當(dāng)時，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點P的坐標為，則M的坐標為，∴，∴，∵，∴，解得；∴點P橫坐標為或；②證明∶如圖2，設(shè)直線的解析式為，點P的坐標為，由得，∴，∵，∴，∵軸，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，∴直線的解析式為，當(dāng)時，，∴點在直線上，即三點共線．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練應(yīng)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會求直線與拋物線的交點坐標，準確計算是解題的關(guān)鍵．題型二構(gòu)建平角證明三點共線1．（2023·福建莆田·模擬預(yù)測）如圖，在中，．

(1)在邊上求作一點D，使得平分的周長（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α得到，若點A的對應(yīng)點在的延長線上，求證：三點共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）過點作的垂線段，交于點D，根據(jù)和等腰三角形的性質(zhì)，即可求出，故需要等于2，以點C為圓心，為半徑畫弧交于點D，即可解答；（2）畫出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，從而證明是等腰三角形，且，最后證明即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過點作的垂線段，交于點D，

，，，，，∴，，的周長為8，，故只需要以點C為圓心，為半徑畫弧交于點D，如圖，即為所求圖形

（2）證明：如圖，按題意畫出圖形，

根據(jù)（1）中可得，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α得到，，，，，，，，，，即三點共線．【點睛】本題考查了余弦的概念，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確畫出圖形，運用等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖1，點分別為的邊上的點，，，作關(guān)于的軸對稱圖形，延長交于點，延長至點，使得，連接．(1)若，求證：平分；(2)在（1）的條件下，取的中點，求證：三點共線；(3)如圖2，當(dāng)為銳角，且時，求的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）由對稱的性質(zhì)得到，．再證明．得到，即可證明平分（2）連接．設(shè)，則，．由直角三角形的性質(zhì)得到，則，再證明，即可證明三點共線．（3）如圖，過點B作于點P，于點Q，同（1）可證得，則．再證明．得到，．設(shè)，則，，即可證明．過點作的平分線交于點R，則，可得．證明．得到，設(shè)，則，，由相似三角形的性質(zhì)得到，證明，得到．則，解得（舍負），則．【詳解】（1）證明：∵與關(guān)于對稱，∴，．在和中，∴．∴，∴平分．（2）證明：如圖，連接．由（1）證得，，，．設(shè)，∵，，∴，．在中，是的中點，∴，∴，∴．∵，∴，∴三點共線．（3）解；如圖，過點B作于點P，于點Q，同（1）可證得，∴．又∵，∴．∴，．設(shè)，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴．過點作的平分線交于點R，∴，∴，∴．∵，，∴．∴，設(shè)，則，，∴，解得，∵，，，∴，∴．由，得，即，解得（舍負），∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2024·福建南平·一模）如圖1，點是的邊上一點．，，是的外接圓，點在上（不與點，點重合），且．

(1)求證：是直角三角形；(2)如圖2，若是⊙的直徑，且，折線是由折線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．①當(dāng)時，求的面積；②求證：點，，三點共線．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，三點共線判定方法等；（1）由圓的基本性質(zhì)得，從而可得，即可求證；（2）①由圓的性質(zhì)得，從而可求，有直角三角形的特征得，由勾股定理得可求出的長，由即可求解；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，從而可求，由三角形內(nèi)角和定理得，等量代換得即可求證；掌握相關(guān)的性質(zhì)及三點共線判定方法，能證出是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，，，，

是直角三角形；（2）解：①是直徑，，，，，在中，，，；②折線由折線旋轉(zhuǎn)得到，，，，由①得，，，，

，，點C，D，F(xiàn)三點共線．題型三通過角相等證明三點共線1．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）如圖，在中，，將的邊平移到處（點為點的對應(yīng)點），再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，延長交于點，連接．(1)連接，求證：；(2)求證：、、三點共線；(3)若，求．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角是可得等邊三角形，即可求證；（2）連接，根據(jù)平移到可得，從而，再根據(jù)平行的性質(zhì)及等邊三角形性質(zhì)可得，從而得證；（3）延長交的延長線于點，證明、，設(shè)，推出，再證明，求得，即可求解．【詳解】（1）證明：繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，，，是等邊三角形，；（2）證明：如圖，連接，線段平移得到線段(其中點和點對應(yīng))，，，四邊形是平行四邊形，，，由（1）知是等邊三角形，，，、、三點共線；（3）解：如圖，延長交的延長線于點，由（2）知，，，，，，，，由（2）知四邊形是平行四邊形，是等邊三角形，，，，，，設(shè)，，，，，，即，解得(舍去)，，即點為的中點，，，是等邊三角形，易證，，即，，，，在中，．【點睛】本題考查平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理并能構(gòu)建方程是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·福建龍巖·一模）如圖，等邊三角形ABC中，D為AB邊上一點（點D不與點A、B重合），連接CD，將CD平移到BE（其中點B和C對應(yīng)），連接AE．將△BCD繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)至△BAF，延長AF交BE于點G．(1)連接DF，求證：△BDF是等邊三角形；(2)求證：D、F、E三點共線；(3)當(dāng)BG＝2EG時，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可得到；（2）利用平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)即可得到；（3）由平移的性質(zhì)可得EF∥BC，得到△GEF∽△GBH，再利用邊之間的關(guān)系得到△ADF∽△ABH，利用相似三角形的性質(zhì)得到AB與BE的長度，進而解答．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，∴，，繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)至△BAF，∴，，∴△BDF是等邊三角形．（2）連接DE，如圖所示：∵△BDF是等邊三角形，∴．∵CD平移得到BE，∴DE∥BC，，∴，∴，∴點F在DE上，即D，E，F(xiàn)三點共線．（3）延長AG，CB交于點H，如圖所示：∵EF∥BC，∴，，，∴．∵，∴，∵，，∴，設(shè)，，∴，∴，∵DF∥BH，，∴，即，解得，（舍去），∴，即D為AB中點，∵CD⊥AB，∴，∴，∴．∵BE∥CD，∴，在Rt△ABE中，．【點睛】本題考查了平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平移旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到不變的量是解題的關(guān)鍵．題型四構(gòu)造平行或垂直證明三點共線1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，為的位于圓心兩側(cè)的兩條弦，且．(1)如圖1，連接，．求證：．(2)如圖2，過點作的垂線交于點．若在上取一點，使得．求證：，，三點共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接、，由可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，可得，即可得；（2）連接，由可得，則，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，可得，可得，則，，即可得經(jīng)過圓心．本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，合理添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）如圖2，連接，，，，，，，，，，，，，經(jīng)過圓心．∴，，三點共線2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖1，