猜押04以旋轉為前提的幾何問題（三年兩考）猜押考點3年福建真題考情分析押題依據(jù)在旋轉的前提下探究角2022年第24題旋轉、平移、軸對稱在初中數(shù)學都是重要的圖形變化。除了23年和23年，2020年也曾在第24題考過，可見旋轉在解答題的考查中基本屬于壓軸考點。它可結合其他幾何圖形，綜合性強。無論是三角形、四邊形或是線段，都可以進行旋轉，考題中所給的旋轉角度也通常是特殊角，因此旋轉能夠結合的幾何性質(zhì)很多；比如全等三角形或者勾股定理來探究線段數(shù)量關系、用相似三角形來求角度等等。根據(jù)三年兩考的頻率，在2025年備考時可關注此考點。旋轉背景下的三角形相似2023年第25題旋轉與全等三角形題型一在旋轉的前提下探究角1．（2022·福建泉州·二模）如圖，在中，，將繞點A旋轉一定的角度得到，且點E恰好落在邊BC上．(1)求證：AE平分；(2)連接BD，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉性質(zhì)得到對應邊相等，對應角相等，進而根據(jù)等邊對等角性質(zhì)可將角度進行等量轉化，最后可證得結論；（2）根據(jù)旋轉性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理對角度進行等量轉化可證得結論．【詳解】（1）證明：由旋轉性質(zhì)可知：，，平分．（2）證明：如圖所示：由旋轉性質(zhì)可知：，，，，即，，，，∵在中，，，，即．【點睛】本題考查了三角形的旋轉變化，熟練掌握旋轉前后圖形的對應邊相等，對應角相等以及合理利用三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關鍵．2．（2024·福建廈門·模擬預測）在中，，將繞點B旋轉一定的角度得到．(1)如圖1，當邊恰好經(jīng)過點C時，邊的延長線交于點，連接．求證：；(2)如圖2，當點D恰好在中線的延長線上，且時，的延長線交于點G，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）解法一：根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可推出，即，再利用即可求解；解法二：根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可推出，即，取得中點，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，，由同角的余角相等得，以此即可求解；解法三：過點作，垂足為，交于點，由旋轉的性質(zhì)得，，，，則平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，以此可根據(jù)證明，得到，由三角形外角性質(zhì)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可推出，以此即可求解；（2）解法一：根據(jù)旋轉的性質(zhì)得，，，則，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，進而得到，因此，易證明，得到，，，設，則，，，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．解法二：過點作交于點，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，由旋轉的性質(zhì)得，，則，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得性質(zhì)得，進而得到，由平行線分線段成比例得，設，則，，在證，得，求得，，，由得，則，得到，即，解得，以此即可求解．【詳解】（1）證明：解法一：由旋轉的性質(zhì)得，，，，，又，，即，，，，，即；解法二：由旋轉的性質(zhì)得，，，，又，，即，取得中點，連接，如圖，，，平分，即，，，，，，，，即；解法三：過點作，垂足為，交于點，如圖，由旋轉的性質(zhì)得，，，，平分，，，，在和中，，，，，，，又，，，即；（2）解：解法一：由旋轉的性質(zhì)得，，，，為斜邊上的中線，，，即，，，，，，，，，即，，，，設，則，，，，，，，即，，．解法二：過點作交于點，如圖，，，由旋轉的性質(zhì)得，，，為斜邊上的中線，，，，，，設，則，，，，，，即，，，，，，，，即，解得：，，．【點睛】本題主要考查旋轉的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．靈活運用所學知識，并熟練掌握相似三角形的判定方法以及性質(zhì)是解題關鍵．題型二旋轉背景下的三角形相似1．（2024·福州臺江·一輪模擬）如圖，在中，，，將繞點C按逆時針方向旋轉得到，滿足，過點B作，垂足為E，連接，若，則的長為．【答案】【分析】設交于,由,由旋轉可得,而,即可得,故,因,即有,,設,則,求出,證明,即可得,進而即可得解．【詳解】解：設交于,如圖，,,將繞點按逆時針方向旋轉得到,,,,,,,,,,,,,,設,則,,,,,,,,,故答案為：.【點睛】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)及應用，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)和相似三角形的判定定理.2．（2023·福建福州·模擬預測）如圖，中的平分線交外接圓于點D，點M為邊的中點．

(1)求證：．(2)若，，．求的值；(3)作的平分線交于點P，連接，若將線段繞點M旋轉后，點P的對應點恰好落在的外接圓上，求的正切值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平分線線的定義可得，再根據(jù)圓周角定理可得，，可得，再根據(jù)等腰三角形的判定即可得出結論；（2）證明，可得，即，同理證明，可得，即，即可求解；（3）如圖，連接、、，根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，可得，再由四邊形外接圓的性質(zhì)可得，再由三角形角平分線的性質(zhì)可得平分，再根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線可得，再根據(jù)四邊形外接圓的性質(zhì)可得，，從而求得，再利用銳角三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴，又∵M是的中點，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，同理，，∴，∵，，∴，∵，∴∴；（3）解：如圖，連接、、，∵M是的中點，點P與點關于點M對稱，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點在圓上，∴，∵點P是兩個內(nèi)角與的角平分線交點，∴平分，∴，∴，∴，∴，∴．

【點睛】本題考查垂徑定理、角平分線的定義、圓周角定理、三角形內(nèi)心、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023·福建寧德·一模）如圖，已知和都是等腰直角三角形，，，．將繞點C旋轉，使得點E落在內(nèi)部，連接，．(1)求證：；(2)當時，求的值；(3)延長，交直線于點F，連接．寫出線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析【分析】（1）證明，，從而可得結論；（2）解法一：當時，，證明．由（1）得，．即B，E，D三點共線．（如圖2），再利用勾股定理可得答案；解法二：過點C作，交延長線于點H．如圖3，當時，，證明．求解．可得．由（1）得，從而可得答案；解法三：過點A作，交延長線于點I．當時，證明，．設，則．再建立方程求解x，可得．由（1）得，從而可得答案；（3）設交于點H，作交BF于點G．由（1）得，證明．．可得．從而可得結論．【詳解】（1）解：和都是等腰直角三角形，．．即，，∴．．（2）解法一：當時，，又，．由（1）得，，．即B，E，D三點共線．（如圖2）在中，，，，．

．解法二：過點C作，交延長線于點H．如圖3，、當時，，又，．．，．在中，，．．由（1）得，．．解法三：過點A作，交延長線于點I．當時，，又，．．．設，則．在中，，．．，（舍去）．．由（1）得，．．（3）．理由：設交于點H，作交于點G．由（1）得，．，．．．．，即．，，．．．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，熟練的利用運算知識解題是關鍵．題型三旋轉與全等三角形1．（2024·福建福州·二模）如圖，在中，D是上一點．(1)在上確定一點O，使得（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，當時，將繞點O旋轉得到，其中，D，E分別是點A，B的對應點，若D是的中點，交于點G，求證：G是的中點．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題主要考查作線段垂直平分線，旋轉的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）連接，作的垂直平分線交于點，此時則點即為所求；（2）由旋轉得，得，，．再證明得，從而得到，故可得結論【詳解】（1）解：如圖，O為所求作的點．（2）證明：∵D是的中點，∴．∵繞點O旋轉得到，D，E分別是點A，B的對應點，∴，，，∴，，．在與中∴，∴，∴，即，∴G是中點2．（24-25九年級上·福建廈門·期末）圖是某產(chǎn)品電子組件的平面示意圖．該組件包含一個邊長為的正方形電子板和一個矩形感應帶．該組件的工作方式是：電子板繞點從起始位置順時針旋轉后，再繞點逆時針旋轉，保持每秒的旋轉速度循環(huán)往復轉動，且電子板在旋轉過程中不能超出感應帶所圍區(qū)域．(1)為盡可能節(jié)省材料，應如何設計矩形感應帶的尺寸？（直接寫出尺寸即可）(2)該產(chǎn)品用戶要求加裝指示燈，在產(chǎn)品工作過程中指示燈能按一定時間間隔閃爍，以起到提醒、警示的作用．研發(fā)團隊擬在（1）的基礎上采取如下方案：在點處、的延長線與的交點處、正方形電子板的邊上分別加裝一個傳感器，電子板旋轉時，當邊上的傳感器捕捉到與，兩處傳感器的距離相等時，指示燈閃爍，且兩次閃爍間隔3秒．該方案是否可行？若可行，求的長；若不可行，請說明理由．【答案】(1)應設計矩形感應帶的邊長為和(2)可行，【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關的知識點，學會利用正方形和旋轉的性質(zhì)求線段長度是解題的關鍵．（1）由旋轉的性質(zhì)可知，繞點從起始位置順時針旋轉后，恰好落在邊上，則有，連接，則有，電子板在旋轉過程中不能超出感應帶所圍區(qū)域，則有，結合題意即可求出矩形感應帶的尺寸；（2）由題意“兩次閃爍間隔3秒”，分析可得當指示燈閃爍時，電子板應處于相對初始位置旋轉角為的位置，結合（1）中的結論可得，設與的交點為，進而推出，得到，當邊上的傳感器裝在點處，則符合題意，所以方案可行，再利用正方形的性質(zhì)求出的長即可解答．【詳解】（1）解：電子板在起始位置時，有，繞點從起始位置順時針旋轉后，恰好落在邊上，如圖，連接，則有，又電子板在旋轉過程中不能超出感應帶所圍區(qū)域，，，，，的最小值為，的最小值為，盡可能節(jié)省材料，應設計矩形感應帶的邊長為和．（2）解：方案可行，理由如下：因為電子板繞點從起始位置順時針旋轉后，再繞點逆時針旋轉，保持每秒的旋轉速度循環(huán)往復轉動，并且指示燈兩次閃爍間隔3秒，根據(jù)該方案，當指示燈閃爍時，電子板應處于相對初始位置旋轉角為的位置．此時，在（1）的條件下，在正方形的對角線上，點與點重合，，設與的交點為．，，，．在正方形與中，、是對角線，，，，，，即，．又，．，，即．若邊上的傳感器裝在點處，當電子版處于相對于初始位置旋轉角為的位置時，則指示燈閃爍，且兩次閃爍間隔3秒，因此該方案可行．在正方形中，，，，在中，，．．3．（23-24九年級上·廈門思明·期中）綜合與實踐問題情境：數(shù)學課上，老師帶領同學們“玩轉直角三角形”的探究活動，老師將全等的兩張直角三角形紙片按如圖1所示在同一平面內(nèi)擺放，點A與點F重合，點C與點E重合．已知：，，．初步探究：(1)“勤思小組”進行了如下操作:保持不動，將繞點A順時針方向旋轉，如圖2所示，旋轉角度為，直線DE與直線交于點G，在旋轉過程中，發(fā)現(xiàn)始終有，請你幫他們寫出證明過程．深入探究：(2)“敏學小組”在“勤思小組”的操作方式下繼續(xù)探究，提出問題：①如圖2，若連接，請判斷線段與的關系，并說明理由．②如圖3，當旋轉角度時，的邊與邊重合，則的面積為______．

【答案】(1)證明見