猜押08二次函數(shù)綜合猜押考點(diǎn)3年福建真題考情分析押題依據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)2023年24題（2）2022年二次函數(shù)考查難度較高，作為壓軸題出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求很高。2023年位置有所調(diào)整，但整體難度依然保持在一定水平；2024年調(diào)整到了21題，且題目類型較為常規(guī)，注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查。這種變化趨勢(shì)體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)更加注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和通性通法，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)核心概念和基本方法的理解與掌握，同時(shí)也在引導(dǎo)教學(xué)回歸基礎(chǔ)。在2025年福建中考中，二次函數(shù)仍可能出現(xiàn)在解答題中，位置可能在20-22題的提升題部分，也有較小可能出現(xiàn)在23-25題的壓軸題位置。整體難度預(yù)計(jì)與2024年相當(dāng)或略有上升。預(yù)測(cè)今年會(huì)注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，同時(shí)會(huì)加強(qiáng)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，以及在實(shí)際問題中的應(yīng)用，更能體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。二次函數(shù)與圖形面積2022年第25題（2）（3）2023年24題（3）2024年第21題題型一二次函數(shù)圖像與性質(zhì)1．（2023·福建三明·一模）已知拋物線過，，三點(diǎn)，則，，大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先分別求出，，的值，比較即可得解，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線過，，三點(diǎn)，∴，，，∵，∴，故選：C．2．（2025·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得 B．無論實(shí)數(shù)k取什么值，都有C．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得 D．無論實(shí)數(shù)k取什么值，都有【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．將兩點(diǎn)代入，得到，，，再根據(jù)平方非負(fù)性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴無論實(shí)數(shù)k取什么值，都有，故B符合題意，A不符合題意；∵，，∴，故C不符合題意；∵，，∴，故D不符合題意，故選：B．3．（2025·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)，，均在拋物線上，若，則的值不可能是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，首先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到，然后代入求解即可．【詳解】解：兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，，即，，∴拋物線開口向上，，，解得：，，，∴的值不可能是6．故選：D．4．（2025·福建龍巖·二模）已知二次函數(shù)，將其圖象向右平移個(gè)單位，得到新的二次函數(shù)的圖象，使得當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨增大而減?。畡t實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知“左加右減”的平移法則及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“左加右減”的平移法則，表示出平移后的函數(shù)解析式，再根據(jù)題意得出關(guān)于的不等式，據(jù)此可解決問題．【詳解】解：∵，∴，∵時(shí)，隨增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，∴，∴，∴，故選：B．5．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，已知，，．且，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的系數(shù)符號(hào)特征及其性質(zhì)進(jìn)行判斷求解．先求得對(duì)稱軸為直線，再判斷開口向下，得到，由于頂點(diǎn)位置不確定，點(diǎn)C在y軸位置也不確定，只能判斷①⑤正確．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線，∵，∴點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，∵，∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離，∵，∴二次函數(shù)的圖象開口向下，∴，即，①正確；∵頂點(diǎn)位置不確定，點(diǎn)C在y軸位置也不確定，∴②③④都不正確；∵，且圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)和點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離都大于1，∴點(diǎn)和點(diǎn)的距離都大于2，即正確，故⑤正確．故選：B．6．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）［綜合探究］運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長(zhǎng)狀況．在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長(zhǎng)的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．【探究一】確定心形葉片的形狀（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，已知圖像過原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；【探究二】研究心形葉片的寬度：（2）如圖3，在（1）的條件下，心形葉片的對(duì)稱軸，即直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，拋物線與軸交于另一點(diǎn)，點(diǎn)，是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．求葉片此處的寬度；【探究三】探究幼苗葉片的長(zhǎng)度（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長(zhǎng)的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對(duì)應(yīng)探究一中的二次函數(shù)．已知直線（點(diǎn)為葉尖）與水平線的夾角為，求幼苗葉片的長(zhǎng)度．【答案】（1），頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）【分析】（1）把原點(diǎn)代入解析式，求得值，將拋物線化成頂點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再求出的解析式為：．然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，最后求出結(jié)果即可；（3）作拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得出，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，列出方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，最后求出即可．【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，．解得：．拋物線的解析式為：．頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）取，，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，心形葉片的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)，是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)的解析式為：．經(jīng)過點(diǎn)，．解得：．的解析式為：．，解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．．．（3）作拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，則，直線與水平線的夾角為，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，．頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．點(diǎn)在拋物線上，．解得：．點(diǎn)的坐標(biāo)為．．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對(duì)稱思想，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．7．（2025·福建三明·一模）已知二次函數(shù)．(1)求證：該函數(shù)的圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)若該函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，且，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程根的判別式、以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）當(dāng)時(shí)，，求出一元二次方程根的判別式，由此即可得證；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再根據(jù)可得的值，代入化簡(jiǎn)即可得證．【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，這個(gè)關(guān)于的一元二次方程根的判別式，∵，，即，∴根的判別式，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴該函數(shù)的圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）證明：∵該函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，∴是關(guān)于的一元二次方程的兩根，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴．8．（2025·福建·一模）拋物線（，，是常數(shù)，）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于．(1)當(dāng)時(shí)，求此拋物線的解析式；(2)若此拋物線經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；(3)用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)(2)，且(3)，證明見解析【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將代入求出，即可求解；（2）先求出對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得，即，結(jié)合，點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，即可得到答案；（3），則，即可求接．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，此拋物線的解析式為；（2）拋物線的對(duì)稱軸為直線，且，，，，，，點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，，且；（3），理由如下：，則，則，．題型二二次函數(shù)求最值1．（2025·福建泉州·一模）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其中a為常數(shù)，則該二次函數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)題意得到展開整理成頂點(diǎn)式即可求出．【詳解】解：根據(jù)題意得，當(dāng)時(shí)，有最大值；故選：C．2．（2024·福建漳州·二模）已知點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到，利用二次函數(shù)的最值即可求解．【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，線段的長(zhǎng)的最小值為，故選：B．3．（2023·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)與動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則是聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式所得方程的兩個(gè)根，求出，，進(jìn)而可得，可得點(diǎn)H在直線上運(yùn)動(dòng)，這是典型的“將軍飲馬”問題，然后設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C，連接交直線于點(diǎn)H，則此時(shí)最小，即為的長(zhǎng)，勾股定理求出即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，整理可得：，設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)根，∴，，∵線段中點(diǎn)為，∴，∴點(diǎn)H在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C，連接交直線于點(diǎn)H，則此時(shí)最小，即為的長(zhǎng)，∵，∴，∵，∴此時(shí)；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求兩線段和的最小值等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)、得出點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.4．（24-25九年級(jí)上·福建漳州·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，于點(diǎn)，則的面積的最大值為．【答案】【分析】本題考查了三角函數(shù)，二次函數(shù)求最值，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵；設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，利用二次函數(shù)求最值即可求解．【詳解】解：設(shè)，，的最大值為：，，，，則，，，當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值為：；故答案為：5．（2024·福建廈門·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，連結(jié)、．點(diǎn)D在該拋物線上，過點(diǎn)D作，交直線于點(diǎn)E，連結(jié)、、．設(shè)點(diǎn)D橫坐標(biāo)為，的面積為，的面積為．(1)求a，b的值；(2)當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，求的最大值；【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、面積的計(jì)算、平行線的性質(zhì)等，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2），用含的式子表示出來即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，∵拋物線交x軸于點(diǎn)，，∴，∴，解得：，∴；（2）如圖，連結(jié)，，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；6．（2025·福建龍巖·二模）如圖1，已知中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，與交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)試探究猜想、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(3)在點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，、的面積分別記為、，求的最小值．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)的最小值為【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，從而，再求出，，可得，進(jìn)而可求出；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得，，證明，從而可證，由得，進(jìn)而可證；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由得，可得，由，可得，從而，設(shè)，，中，，，進(jìn)而可求出當(dāng)時(shí)，的最小值為．【詳解】（1）解：如圖2，∵，∴由旋轉(zhuǎn)得，，∴∵∴∴，∴，∴∴∴∴（2）猜想：．證明：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴∵∴又∵，∴∴∴∴∴∴；（3）解：如圖4，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴∴∵，∴∵∴∴∴∴設(shè)，，∵，∴，，，中，，∴∵∴當(dāng)時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用二次函數(shù)求最值，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．題型三二次函數(shù)與一次函數(shù)1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式以及圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，若，求m的取值范圍．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)為任意實(shí)數(shù)．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)代入，即可求解；（2）先求出一次函數(shù)的解析式為，再根據(jù)題意列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為，∵，∴圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，∴，∴一次函數(shù)的解析式為，∵，∴點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上．∴，，∵，∴，即，∵，∴恒成立，2．（2024·福建三明·二模）已知拋物線（為常數(shù)，且）(1)請(qǐng)直接寫出該拋物線的對(duì)稱軸：直線______．(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，拋物線始終在x軸下方，求a的取值范圍；(3)若，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為．若直線l與拋物線相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E在點(diǎn)M的上方，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為D．若點(diǎn)D、M、B三點(diǎn)共線，那么直線是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)是；【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合，以及解不等式組，（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的表達(dá)式求解即可；（2）結(jié)合題意列出不等式，且求解即可；（3）根據(jù)題意得拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為m，n，直線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)，聯(lián)立拋物線和直線的表達(dá)式得，則，，直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得，即，則直線的表達(dá)式為：，即可求得定點(diǎn)．【詳解】（1）解：由題意得：，故答案為：；（2）解：由題意得：，且，即，解得：；（3）解：時(shí)，拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為m，n，直線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)，聯(lián)立拋物線和直線的表達(dá)式得：，即則，，設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，解得，直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：，整理得：，即，則直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，即直線過定點(diǎn)．3．（2024·福建莆田·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線位于第三象限上的點(diǎn)，連接，．(1)若，，求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接，設(shè)交于點(diǎn)，的面積為，的面積為，若的最大值是，求的最大值．【答案】(1)，，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可知，拋物線方程為，解方程，即可求得答案；（2）延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)．可知，可得的坐標(biāo)為，進(jìn)而可求得直線的方程；（3）和是同高的兩個(gè)三角形，故其面積比等于：，而：：，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，拋物線方程為，解方程，得，．可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為將代入拋物線，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）延長(zhǎng)，交軸于點(diǎn)．

根據(jù)題意可知，可得，．∴∴的坐標(biāo)為．設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，，則解得所以，直線的方程為．根據(jù)題意，得解得所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

對(duì)于，令，解得或，令，則，故點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、；同理可得，直線的表達(dá)式為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，而，和是同高的兩個(gè)三角形，故其面積比等于：，，，則：：，，，故有最大值為，即，解得：，當(dāng)時(shí)，有最大值為．即的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，一次函數(shù)與拋物線交點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2025·福建龍巖·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線對(duì)稱軸為直線．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是該拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線分別與軸，直線交于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求的值；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)；點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）先根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為直線，求出，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，求出，然后寫出拋物線的解析式；（2）先求出，，再設(shè)直線為，代入，，求出直線的解析式，再求出直線的解析式，聯(lián)立求出，然后利用勾股定理求出，再求出，根據(jù)等邊對(duì)等角，證明，再求出的值；如圖，分別作于，于，作于，作于，利用三角形面積求出，再設(shè)出，用表示出，再證明，列出比例式，用表示出，然后根據(jù)，兩點(diǎn)求出直線為，再用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在直線為上，得到關(guān)于的方程求解，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，解得：，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴；（2）①在中，令，得，∴，∴，∴，∴，∴，，設(shè)直線為，則∴，∴直線為．設(shè)直線為，則，，，∵，∴，∴，∴直線為，由得，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；②如圖，分別作于，于，作于，作于，則，，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，設(shè)直線為，∵，，，解得，∴直線為，∴，，∴，，∴，∵點(diǎn)在直線為上，∴，解得，（舍去），∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直三角形，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解．題型四二次函數(shù)與圖形1．（2024·福建泉州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的頂點(diǎn)為E，在該拋物線第一象限內(nèi)有一點(diǎn)A，軸，垂足為B．點(diǎn)F坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，軸，垂足為E，，垂足為D．(1)求證：；(2)求證：B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線；(3)若，判斷四邊形是何種特殊的四邊形，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）由，可得，設(shè)，則，，，由兩點(diǎn)間距離公式得，，，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由，，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即是的中點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)論得證；（3）如圖，由題意知，，，證明，則，，是等邊三角形，，由軸，可得，由（2）知是的中點(diǎn)，則，是等邊三角形，則，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，設(shè)，則，，，又∵點(diǎn)F坐標(biāo)分別為∴由兩點(diǎn)間距離公式得，，，∴，∴；（2）證明：∵，，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴是的中點(diǎn)，∴B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線；（3）解：四邊形是菱形，理由如下；如圖，由題意知，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，，由題意知，軸，∴，由（2）知是的中點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，菱形的判定等知識(shí)．熟練掌握勾股定理，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是軸對(duì)稱圖形，且，求四邊形的面積；(3)若直線的交點(diǎn)在直線上，則直線必過定點(diǎn)，直接寫出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)直線過定點(diǎn)【分析】（1）用待定系數(shù)法求拋物線的函數(shù)表達(dá)式即可．（2）由圖形的軸對(duì)稱，可知四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是等腰梯形．再根據(jù)，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用梯形的面積公式計(jì)算即可．（3）設(shè)，設(shè)直線解析式為可得出，設(shè)設(shè)直線解析式為，可得出，設(shè)設(shè)直線解析式為，可得出，由直線的交點(diǎn)在直線上可得出，整理可得出，進(jìn)而求出b值為0．即可得出直線過定點(diǎn)．【詳解】（1）解：兩點(diǎn)在拋物線上∴，解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖，由圖形的軸對(duì)稱，可知四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是等腰梯形．又，且∴設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，則點(diǎn)（3）直線過定點(diǎn)．如圖，設(shè)，設(shè)直線解析式為．依題意，得則有設(shè)直線解析式為．在直線上，即又，設(shè)直線解析式為在直線上即又，直線的交點(diǎn)在直線上，即，整理得故，解得直線解析式為故直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問題，以及一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)等問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)D在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)D作的垂線交于點(diǎn)E，作y軸的平行線交于點(diǎn)F．若，求線段的長(zhǎng)；(3)直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)），直線與直線的交點(diǎn)為S，的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)的面積是定值，的面積為【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）求出，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，由點(diǎn)Q的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式中的值為：則再求出直線的表達(dá)式為：的表達(dá)式為：，求出即可求解.【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：；（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入得：，解得則直線的表達(dá)式為：設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)，則，由題意知，為等腰直角三角形，∴，則，由直線的表達(dá)式知，其和軸的夾角為，則，同理可得：，，則解得：(舍去)或，當(dāng)時(shí)，則；（3）的面積是定值，理由：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，由點(diǎn)的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式中的值為：則由點(diǎn)的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，同理可得，的表達(dá)式為