高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市某校2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.集合，，則（）A.{－1，0，1} B.{0，1}C. D.{0}【答案】D【解析】∵M＝{x|x＝sin，n∈Z}＝{，0，}，N＝{x|x＝cos，n∈N}＝{﹣1，0，1}，∴M∩N＝{0}.故選：D．2.已知復數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】因為，則，所以.故選：C.3.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，所以，因為在上單調(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.在中，（分別為角的對邊），則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】因為，所以，整理得到，又由正弦定理，得到，所以，得到，又，所以，得到，又，所以.故選：B.5.已知為正實數(shù)，且對任意的實數(shù)均成立，則的最小值為（）A.1 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】由對任意的實數(shù)均成立，可得.，當且僅當，即時取等號，則.故選：D.6.設，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以，則，因為在上為增函數(shù)，所以；因為在上為增函數(shù)，且，所以，即，所以.故選：A.7.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，AB、BC邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個圓錐，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為()A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】如圖，圓錐任意兩條母線為AB和AD，則截面為等腰三角形ABD，∴截面面積為：，由圖可知，當截面為圓錐軸截面時，∠BAD最大，最大為120°，∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值為1，∵AB=AD=為定值，故當sin∠BAD最大時截面面積最大，故截面面積最大為．故選：D．8.已知，若方程恰好有三個互不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】，當時，的對稱軸為，則單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當時，的對稱軸為，則單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，的圖象如圖所示，令，則可化為，要使方程恰好有三個互不相等的實根，則方程有兩個不同的實根，且，或方程有兩個相等的根，令，當時，，解得，當時，，得，綜上，或.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，，，，是邊上的一點，則（）A.B.外接圓的半徑是C.若，則D.若是的平分線，則【答案】ACD【解析】對于選項：，故選項正確；對于選項B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圓的半徑是，故選項B錯誤；對于選項C：因為，所以，所以，則，故選項C正確；對于選項D：由等面積法，得，即，解得，故選項D正確.故選：.10.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意a，都滿足，則下述正確的是（）A. B.C.是奇函數(shù) D.若，則【答案】ACD【解析】令，則，故A正確；令，則，則，故B錯誤；令，則，所以，又令，則，所以是奇函數(shù)，故C正確；令，則，所以，故D正確.故選：ACD.11.如圖1所示，四邊形是邊長為的正方形，、、分別為、、的中點，分別沿、及所在直線把、和折起，使、、三點重合于點，得到如圖2所示的三棱錐，則下列結論中正確的有（）A.三棱錐的體積為B.異面直線與所成角的余弦值為C.過點的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為D.過點的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最大值為【答案】BCD【解析】對于A選項，翻折前，在正方形中，，，翻折后，則有，，因為，、平面，則平面，因為為的中點，則，故A錯誤；對于B選項，在圖2中，取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則，且，則異面直線與所成的角為或其補角，又，由余弦定理可得，所以，異面直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于CD選項，因為平面，，可以把三棱錐放到如圖所示的長方體中，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，設長方體的體對角線的交點為點，則為長方體外接球球心，長方體的體對角線長為，（為其外接球半徑），因為，且為的中點，則，且，設到過的平面的距離為，則，設平面截三棱錐的外接球所得圓面的半徑為，則，，故CD均正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知△ABC的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為________．【答案】【解析】由，可得O為BC的中點，

設△ABC的外接圓的半徑為r，可得|AB|＝|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，，則，

所以向量在向量上的投影為，則向量在向量上投影向量為.13.已知實數(shù)，且，則的最大值是_______________．【答案】2【解析】由，可知，則，且有，，令，，，可知在上單調(diào)遞減，，即的最大值是2.14.如圖，在等腰梯形中，，點是的中點．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于______．【答案】【解析】設，取的中點，連接，由題知平面平面，平面平面，又平面，，所以平面，則直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，易求得，，又，解得，，則，所以直線與平面所成角的余弦值等于.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某住宅小區(qū)為了營造一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個八邊形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形和構成面積為的十字形區(qū)域，且計劃在正方形上建一座花壇，其造價為元/，在四個相同的矩形上(圖中的陰影部分)鋪花崗巖路面，其造價為元/，并在四個三角形空地上鋪草坪，其造價為元/.（1）設的長為米，試寫出總造價(單位：元)關于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）問：當取何值時，總造價最少？求出這個最小值.解：（1）設，則，所以，由，可得，所以總造價（單位：元）關于的函數(shù)解析式為.（2）令，則，且，因為函數(shù)，當且僅當時，即時，即時，等號成立，所以總造價的最小值為元.16.設角是的三個內(nèi)角，已知向量，，且.（1）求角的大??；（2）若向量，試求的取值范圍.解：（1）由題意得，即，由正弦定理得：，再由余弦定理得：，因為所以.（2）因為，，因為，所以，，所以，故.17.已知函數(shù).（1）求的值.（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.解：（1）由函數(shù)的解析式可得：.（2）∵，得，，故的定義域為．因為，所以的最小正周期為．由，，，得，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，．18.如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，，為上的點，過，，的截面交于.（1）證明：；（2）若二面角的大小為，求幾何體的體積.解：（1）由題：，因為平面，平面，所以平面，又平面，且平面平面，所以.（2）過作的垂線，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以，所以就是二面角的平面角，即有，又，所以，底面是邊長為2的正三角形，取AB的中點G，連接CG，交AE于點H，則CG⊥AB，且，，故，所以，，，因為，所以四點共線，又，不平行，故，相交，且由公理可知交點必定在上，所以幾何體是三棱臺，因為，所以三棱臺的高，所以幾何體的體積為.19.已知函數(shù).（1）當時，判斷的單調(diào)性并證明；（2）在（1）的條件下，若滿足，試確定的取值范圍；（3）設函數(shù)為常數(shù).若關于的方程在上有兩個解，求的取值范圍，并比較與4的大小.解：（1）由題得：，設，則，，，又，得，，即在上為增函數(shù).（2）由（1）得：在上為增函數(shù)，要滿足，只要，得.（3），在上有兩個解，，不妨設，，所以在上是單調(diào)函數(shù)，則在上至多一個解，若，則，不符題意，因此.由得，所以；由得，所以；則當時，方程在上有兩個解.方法1：因為，所以，，消去得，即，因為，所以.方法2：由得，由得，.因為，所以，則，而在上是減函數(shù)，則，因此.浙江省杭州市某校2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.集合，，則（）A.{－1，0，1} B.{0，1}C. D.{0}【答案】D【解析】∵M＝{x|x＝sin，n∈Z}＝{，0，}，N＝{x|x＝cos，n∈N}＝{﹣1，0，1}，∴M∩N＝{0}.故選：D．2.已知復數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】因為，則，所以.故選：C.3.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，所以，因為在上單調(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.在中，（分別為角的對邊），則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】因為，所以，整理得到，又由正弦定理，得到，所以，得到，又，所以，得到，又，所以.故選：B.5.已知為正實數(shù)，且對任意的實數(shù)均成立，則的最小值為（）A.1 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】由對任意的實數(shù)均成立，可得.，當且僅當，即時取等號，則.故選：D.6.設，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以，則，因為在上為增函數(shù)，所以；因為在上為增函數(shù)，且，所以，即，所以.故選：A.7.在直角三角形ABC中，已知，，，以AC為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，AB、BC邊形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是一個圓錐，則經(jīng)過該圓錐任意兩條母線的截面三角形的面積的最大值為()A. B.4 C. D.8【答案】D【解析】如圖，圓錐任意兩條母線為AB和AD，則截面為等腰三角形ABD，∴截面面積為：，由圖可知，當截面為圓錐軸截面時，∠BAD最大，最大為120°，∴∠BAD∈(0°，120°]，∴sin∠BAD最大值為1，∵AB=AD=為定值，故當sin∠BAD最大時截面面積最大，故截面面積最大為．故選：D．8.已知，若方程恰好有三個互不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】，當時，的對稱軸為，則單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當時，的對稱軸為，則單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，的圖象如圖所示，令，則可化為，要使方程恰好有三個互不相等的實根，則方程有兩個不同的實根，且，或方程有兩個相等的根，令，當時，，解得，當時，，得，綜上，或.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，，，，是邊上的一點，則（）A.B.外接圓的半徑是C.若，則D.若是的平分線，則【答案】ACD【解析】對于選項：，故選項正確；對于選項B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圓的半徑是，故選項B錯誤；對于選項C：因為，所以，所以，則，故選項C正確；對于選項D：由等面積法，得，即，解得，故選項D正確.故選：.10.已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意a，都滿足，則下述正確的是（）A. B.C.是奇函數(shù) D.若，則【答案】ACD【解析】令，則，故A正確；令，則，則，故B錯誤；令，則，所以，又令，則，所以是奇函數(shù)，故C正確；令，則，所以，故D正確.故選：ACD.11.如圖1所示，四邊形是邊長為的正方形，、、分別為、、的中點，分別沿、及所在直線把、和折起，使、、三點重合于點，得到如圖2所示的三棱錐，則下列結論中正確的有（）A.三棱錐的體積為B.異面直線與所成角的余弦值為C.過點的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為D.過點的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最大值為【答案】BCD【解析】對于A選項，翻折前，在正方形中，，，翻折后，則有，，因為，、平面，則平面，因為為的中點，則，故A錯誤；對于B選項，在圖2中，取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則，且，則異面直線與所成的角為或其補角，又，由余弦定理可得，所以，異面直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于CD選項，因為平面，，可以把三棱錐放到如圖所示的長方體中，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，設長方體的體對角線的交點為點，則為長方體外接球球心，長方體的體對角線長為，（為其外接球半徑），因為，且為的中點，則，且，設到過的平面的距離為，則，設平面截三棱錐的外接球所得圓面的半徑為，則，，故CD均正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知△ABC的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為________．【答案】【解析】由，可得O為BC的中點，

設△ABC的外接圓的半徑為r，可得|AB|＝|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，，則，

所以向量在向量上的投影為，則向量在向量上投影向量為.13.已知實數(shù)，且，則的最大值是_______________．【答案】2【解析】由，可知，則，且有，，令，，，可知在上單調(diào)遞減，，即的最大值是2.14.如圖，在等腰梯形中，，點是的中點．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于______．【答案】【解析】設，取的中點，連接，由題知平面平面，平面平面，又平面，，所以平面，則直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，易求得，，又，解得，，則，所以直線與平面所成角的余弦值等于.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某住宅小區(qū)為了營造一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個八邊形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形和構成面積為的十字形區(qū)域，且計劃在正方形上建一座花壇，其造價為元/，在四個相同的矩形上(圖中的陰影部分)鋪花崗巖路面，其造價為元/，并在四個三角形空地上鋪草坪，其造價為元/.（1）設的長為米，試寫出總造價(單位：元)關于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）問：當取何值時，總造價最少？求出這個最小值.解：（1）設，則，所以，由，可得，所以總造價（單位：元）關于的函數(shù)解析式為.（2）令，則，且，因為函數(shù)，當且僅當時，即時，即時，等號成立，所以總造價的最小值為元.16.設角是的三個內(nèi)角，已知向量，，且.（1）求角的大?。唬?）若向量，試求的取值范圍.解：（1）由題意得，即，由正弦定理