第25頁（共25頁）2024-2025學年下學期初中數(shù)學華東師大新版九年級期末必刷?？碱}之正多邊形和圓一．選擇題（共7小題）1．（2025?和平區(qū)校級一模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，⊙O為正六邊形ABCDEF的外接圓，連接BF，則BF的長為（）A．12 B．62 C．63 D2．（2025?椒江區(qū)二模）菱形ABCD與3個全等的正六邊形按如圖放置，若正六邊形的邊長為a，則菱形ABCD的邊長為（）A．2a B．23a C．3a D．3．（2025?獻縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點A為圓心，AB長為半徑畫圓，則圖中扇形BAF的面積是（）A．13π B．23π C．24．（2025?江海區(qū)校級一模）我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．如圖，由圓內(nèi)接正六邊形可算出π≈3．若利用圓內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率π約為（）A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°5．（2024秋?懷仁市期末）如圖，購物車和物品放在一起的形狀可以近似看作正五邊形，已知正五邊形ABCDE，連接EC，則∠CEA的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．62° D．72°6．（2024秋?武漢校級月考）如圖，正六邊形ABCDEF中，P是邊ED的中點，連接AP，則APABA．132 B．13 C．23 D7．（2025?溧陽市一模）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，若∠ADC＝2∠DAC＝30°，該正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12二．填空題（共5小題）8．（2025?姑蘇區(qū)校級一模）已知正六邊形的邊長為3，則它的面積＝．9．（2024秋?衡水期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，它的內(nèi)切圓半徑為3，則正六邊形ABCDEF的邊長為．10．（2025?興慶區(qū)模擬）如圖，在邊長為4的正六邊形ABCDEF中，以點F為圓心，以FB的長為半徑作弧BD，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為．11．（2025?銅山區(qū)二模）如圖，正方形ABCD與正六邊形的邊長相等，先將正方形ABCD與正六邊形的某條邊重合，再將該正方形繞正六邊形按順時針方向滾動一周．若正方形ABCD的邊長為2，則在滾動過程中點A距出發(fā)點的最大距離為．12．（2025?興賓區(qū)一模）如圖，工人師傅用活口扳手擰一個六角螺絲，六角螺絲的頭部為正六邊形，邊長為1cm．扳手每次旋轉(zhuǎn)度數(shù)為六角螺絲中心角的度數(shù)，旋轉(zhuǎn)四次后，點A經(jīng)過的弧長為cm．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?華鎣市期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AM=DM，求證：BM＝14．（2025?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點M是邊DE的中點，連接AM并延長交CD延長線于N點．（1）求證：AF∥CN；（2）若AF＝2，求DN的長．15．（2024秋?館陶縣期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為弧AD中點，連接BM，CM．（1）求證：BM＝CM；（2）連接OB、OM，求∠BOM的度數(shù)．

2024-2025學年下學期初中數(shù)學華東師大新版九年級期末必刷?？碱}之正多邊形和圓參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案CDBCDAD一．選擇題（共7小題）1．（2025?和平區(qū)校級一模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，⊙O為正六邊形ABCDEF的外接圓，連接BF，則BF的長為（）A．12 B．62 C．63 D【考點】正多邊形和圓；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；正多邊形與圓；幾何直觀；推理能力．【答案】C【分析】先由正六邊形的性質(zhì)得到AF＝AB，∠BAF＝120°，再由等腰三角形性質(zhì)得到FG=BG=12BF，∠FAG＝60°，在【解答】解：在正六邊形ABCDEF中，AF＝AB，∠BAF＝120°，如圖，過點A作AG⊥BF于G，∴由等腰三角形三線合一性質(zhì)得到AG是△ABF的中線及角平分線，∴FG=BG=在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，AF＝6，則AG=由勾股定理得：FG=∴BF=2故選：C．【點評】本題考查正多邊形和圓，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟練掌握含30°的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求線段長的方法是解決問題的關(guān)鍵．2．（2025?椒江區(qū)二模）菱形ABCD與3個全等的正六邊形按如圖放置，若正六邊形的邊長為a，則菱形ABCD的邊長為（）A．2a B．23a C．3a D．【考點】正多邊形和圓；全等圖形；菱形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)進行計算即可．【解答】解：如圖，由正六邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)可知，AE＝AF＝EF＝EG＝GH＝HD，∴當正六邊形的邊長為a，則菱形ABCD的邊長為4a，故選：D．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形以及菱形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．3．（2025?獻縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點A為圓心，AB長為半徑畫圓，則圖中扇形BAF的面積是（）A．13π B．23π C．2【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，再由扇形面積的計算方法進行計算即可．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF=(6-2)×180°∴S扇形故選：B．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)以及扇形面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．4．（2025?江海區(qū)校級一模）我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．如圖，由圓內(nèi)接正六邊形可算出π≈3．若利用圓內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率π約為（）A．12sin30° B．12cos30° C．12sin15° D．12cos15°【考點】正多邊形和圓；解直角三角形．【專題】正多邊形與圓；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系計算正多邊形的周長與直徑的比值即可．【解答】解：如圖，連接OA1，OA2，過點O作OM⊥A1A2，垂足為M，設(shè)⊙O的半徑為R，∵十二邊形A1A2…A12是圓內(nèi)接正十二邊形，∴∠A1OA2=360°12又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，∴∠A1OM＝15°，在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，∴A1M＝R?sin15°，∴A1A2＝2A1M＝2R?sin15°，∴正十二邊形A1A2…A12的周長為12A1A2＝2R?sin15°×12，∴π=2R故選：C．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正十二邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．5．（2024秋?懷仁市期末）如圖，購物車和物品放在一起的形狀可以近似看作正五邊形，已知正五邊形ABCDE，連接EC，則∠CEA的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．62° D．72°【考點】正多邊形和圓；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；正多邊形與圓；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)正五邊形ABCDE的性質(zhì)得出DE＝DC，∠D＝∠DEA＝108°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等邊對等角求出∠DEC＝∠DCE，即可求出∠CEA的度數(shù)．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴DE＝DC，∠D＝∠DEA=(5-2)×180°5∴∠DEC＝∠DCE=180°-108°2∴∠CEA＝∠DEA﹣∠DEC＝108°﹣36°＝72°，故選：D．【點評】本題考查了正多邊形與圓，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024秋?武漢校級月考）如圖，正六邊形ABCDEF中，P是邊ED的中點，連接AP，則APABA．132 B．13 C．23 D【考點】正多邊形和圓；勾股定理；多邊形內(nèi)角與外角．【專題】正多邊形與圓；運算能力．【答案】A【分析】連接AE，過點F作FH⊥AE，設(shè)正六邊形的邊長為a，先得出EP=12ED=12a，再求出【解答】解：連接AE，過點F作FH⊥AE，設(shè)正六邊形的邊長為a，由題意可得：ED＝EF＝AF＝AB＝a，∵P是ED的中點，∴EP=在正六邊形中，∠FEP由題意可得：∠AEF=∠EAF∴FH=12∴AE=2在Rt△AEP中，AP=∴APAB故選：A．【點評】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和公式，勾股定理，三線合一，進行計算是解題關(guān)鍵．7．（2025?溧陽市一模）如圖，點A、B、C、D為一個正多邊形的頂點，若∠ADC＝2∠DAC＝30°，該正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】D【分析】設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，作該正多邊形的外接圓，圓心為點O，連接OC、OD，則∠DOC＝2∠DAC＝30°，由一個正多邊形所有中心角度數(shù)的和等于360°得30n＝360，求得n＝12，于是得到問題的答案．【解答】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，作該正多邊形的外接圓，圓心為點O，連接OC、OD，∵∠DAC=12∠DOC，且2∠DAC＝∴∠DOC＝2∠DAC＝30°，∴30n＝360，解得n＝12，故選：D．【點評】此題重點考查圓周角定理、正多邊形和圓等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）8．（2025?姑蘇區(qū)校級一模）已知正六邊形的邊長為3，則它的面積＝932【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；運算能力．【答案】93【分析】設(shè)正六邊形的中心是O，一邊是AB，過O作OG⊥AB與G，在直角△OAG中，根據(jù)三角函數(shù)求得OG，再利用三角形的面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)正六邊形的中心是O，一邊是AB，過O作OG⊥AB于G，由題意可得：∠AOG=1∴OG=∴S△∴面積為6×3故答案為：93【點評】本題主要考查正多邊形的計算問題，解直角三角形，正確進行計算是解題關(guān)鍵．9．（2024秋?衡水期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，它的內(nèi)切圓半徑為3，則正六邊形ABCDEF的邊長為2．【考點】正多邊形和圓；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，由正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，它的內(nèi)切圓半徑為3，得到∠AOB＝60°，OH=3，求得OA=OH【解答】解：連接OA，OB，過O作OH⊥AB于H，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，它的內(nèi)切圓半徑為3，∴∠AOB＝60°，OH=3∴OA=OH∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2，答：正六邊形ABCDEF的邊長為2，故答案為：2．【點評】本題考查了正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2025?興慶區(qū)模擬）如圖，在邊長為4的正六邊形ABCDEF中，以點F為圓心，以FB的長為半徑作弧BD，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為233【考點】正多邊形和圓；圓錐的計算．【專題】正多邊形與圓；運算能力．【答案】23【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出陰影部分扇形的圓心角度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出半徑，由弧長的計算方法進行計算即可．【解答】解：如圖，過點A作AM⊥BF，垂足為M，則BM＝FM，∵∠BAF=∠E=(6-2)×180°6=120°，AB＝AF∴∠ABF∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴BM=∴BF=2設(shè)這個圓錐的底面半徑為r，2πr解得r=故答案為：23【點評】本題考查正多邊形和圓，弧長的計算，正確進行計算是解題關(guān)鍵．11．（2025?銅山區(qū)二模）如圖，正方形ABCD與正六邊形的邊長相等，先將正方形ABCD與正六邊形的某條邊重合，再將該正方形繞正六邊形按順時針方向滾動一周．若正方形ABCD的邊長為2，則在滾動過程中點A距出發(fā)點的最大距離為23+22【考點】正多邊形和圓；正方形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】23+22【分析】如圖，點A的運動軌跡是圖中弧線．延長AE交弧線于H，線段AH的長，即為點A在滾動過程中到出發(fā)點的最大距離．【解答】解：邊長為2的正方形ABCD在等邊長的正六邊形外部做順時針滾動，如圖，點A的運動軌跡是圖中弧線，延長AE交弧線于H，線段AH的長，即為點A在滾動過程中到出發(fā)點的最大距離．由勾股定理得EH＝EA2=22+由題意得：正六邊形的內(nèi)角為180°×(6-2)6=在△AEF中，AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴AE＝2×AF?cos30°＝23，∴AH＝AE+EH＝23+22∴點A在滾動過程中到出發(fā)點的最大距離為23+22故答案為：23+22【點評】本題考查正多邊形和圓，旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會正確尋找點A的運動軌跡．12．（2025?興賓區(qū)一模）如圖，工人師傅用活口扳手擰一個六角螺絲，六角螺絲的頭部為正六邊形，邊長為1cm．扳手每次旋轉(zhuǎn)度數(shù)為六角螺絲中心角的度數(shù)，旋轉(zhuǎn)四次后，點A經(jīng)過的弧長為43πcm【考點】正多邊形和圓；弧長的計算．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】43πcm【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑以及中心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進行計算即可．【解答】解：由正六邊形的性質(zhì)可知，OA＝1cm，中心角為60°，由弧長公式可得，旋轉(zhuǎn)四次后，點A經(jīng)過的弧長為×4=60π×1180故答案為：43πcm【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)以及弧長的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題）13．（2024秋?華鎣市期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AM=DM，求證：BM＝【考點】正多邊形和圓；正方形的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；推理能力．【答案】答案見證明過程．【分析】根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB=∵AM=∴AB+AM=∴BM＝CM．【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．14．（2025?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點M是邊DE的中點，連接AM并延長交CD延長線于N點．（1）求證：AF∥CN；（2）若AF＝2，求DN的長．【考點】正多邊形和圓；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；正多邊形與圓；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）43【分析】（1）連接BE，利用正六邊形的對稱性質(zhì)證出∠FEB＝∠BED＝60°，然后得出AF∥BE，CN∥BE，進而即可得解；（2）延長AF、DE交于G點，先證出△GEF是等邊三角形，再證出AG＝4，GM＝3，DM＝1，由△AGM∽△NDM得出AGDN【解答】解：（1）六邊形ABCDEF是正六邊形，如圖1，連接BE，∴∠F＝∠CDE＝∠DEF＝120°，BE是正六邊形的對稱軸，∴∠FEB＝∠BED＝60°，∴∠F+∠FEB＝180°，∴AF∥BE，同理可證CN∥BE，∴AF∥CN；（2）延長AF、DE交于G點，如圖2，∴∠GFE＝∠GEF＝60°，∴△GEF是等邊三角形，∴FG＝GE＝EF＝AF＝2，∴AG＝4，GM＝3，DM＝1，∵AF∥CN，∴△AGM∽△NDM，∴AGDN∴DN=【點評】本題主要考查了正多邊形和圓，平行線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．15．（2024秋?館陶縣期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，M為弧AD中點，連接BM，CM．（1）求證：BM＝CM；（2）連接OB、OM，求∠BOM的度數(shù)．【考點】正多邊形和圓；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【專題】矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）∠BOM的度數(shù)是135°．【分析】（1）由AB＝DC，得AB=DC，而AM=DM，可推導出BM=（2）連接OB、OM、OC，由∠BOC=14×360°＝90°，得∠BOM+∠COM＝270°，由BM＝CM，得∠BOM＝∠COM，則2∠BOM＝270°，求得∠BOM【解答】（1）證明：∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴AB＝DC，∴AB=∵M為AD的中點，∴AM=∴AB+∴BM=∴BM＝CM．（2）解：連接OB、OM、OC，∵∠BOC=14×360∴∠BOM+∠COM＝360°﹣∠BOC＝270°，∵BM＝CM，∴∠BOM＝∠COM，∴2∠BOM＝270°，∴∠BOM＝135°，∴∠BOM的度數(shù)是135°．【點評】此題重點考查正方形的性質(zhì)、正多邊形與圓等知識，推導出BM=

考點卡片1．平行線的判定與性質(zhì)（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．全等圖形（1）全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（2）全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符號“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．（4）對應頂點、對應邊、對應角把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．5．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．6．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．7．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．8．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．9．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．10．多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．11．菱形的性質(zhì)（1）菱形的性質(zhì)①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、b12．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．13．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?4．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．15．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．16．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊