立體幾何壓軸題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.一個正方體的棱長為2，則其外接球的半徑是（）A.1B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{3}$D.22.若直線$l$與平面$\alpha$所成角為$30^{\circ}$，直線$l$與平面內(nèi)一直線所成角為（）A.最小$30^{\circ}$B.最大$30^{\circ}$C.最小$60^{\circ}$D.最大$90^{\circ}$3.圓錐底面半徑為1，母線長為3，則其側(cè)面積為（）A.3πB.6πC.9πD.12π4.三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AA_{1}\perp$底面$ABC$，底面是等邊三角形，若$AA_{1}=2$，底面邊長為1，則異面直線$AB_{1}$與$BC_{1}$所成角的余弦值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{1}{4}$5.正方體的內(nèi)切球與外接球的體積比為（）A.1:$\sqrt{3}$B.1:3$\sqrt{3}$C.1:3D.1:96.已知平面$\alpha\parallel$平面$\beta$，直線$m\subset\alpha$，直線$n\subset\beta$，則直線$m$與$n$的位置關(guān)系是（）A.平行B.異面C.相交D.平行或異面7.一個四面體的所有棱長都為$\sqrt{2}$，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A.3πB.4πC.5πD.6π8.圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則圓柱與球的體積比為（）A.3:2B.2:3C.1:2D.2:19.若一個正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為$\sqrt{5}$，則該四棱錐的體積為（）A.4B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{8}{3}$D.810.已知直線$m$，$n$和平面$\alpha$，若$m\perp\alpha$，$n\subset\alpha$，則直線$m$與$n$的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.垂直二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于空間直線與平面的說法正確的是（）A.若直線$a\parallel$直線$b$，直線$a\parallel$平面$\alpha$，則$b\parallel\alpha$B.若直線$a\perp$平面$\alpha$，直線$b\subset\alpha$，則$a\perpb$C.若平面$\alpha\perp$平面$\beta$，平面$\alpha\cap$平面$\beta=l$，直線$a\subset\alpha$，$a\perpl$，則$a\perp\beta$D.若直線$a\parallel$平面$\alpha$，直線$a\subset$平面$\beta$，$\alpha\cap\beta=b$，則$a\parallelb$2.正方體$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，下列說法正確的是（）A.$A_{1}C_{1}\parallel$平面$ABCD$B.$A_{1}D\perp$平面$AB_{1}C_{1}$C.異面直線$AD_{1}$與$BD$所成角為$60^{\circ}$D.平面$A_{1}BD\parallel$平面$CB_{1}D_{1}$3.以下哪些是棱錐的性質(zhì)（）A.側(cè)面都是三角形B.側(cè)棱都相等C.底面是多邊形D.各側(cè)面三角形有一個公共頂點(diǎn)4.球的相關(guān)性質(zhì)正確的是（）A.球的任意截面都是圓面B.球心與截面圓心的連線垂直于該截面C.球的表面積公式為$S=4\pir^{2}$（$r$為球半徑）D.球的體積公式為$V=\frac{4}{3}\pir^{3}$（$r$為球半徑）5.已知平面$\alpha$，$\beta$，直線$m$，$n$，若$m\perp\alpha$，則下列結(jié)論正確的是（）A.若$n\parallel\alpha$，則$m\perpn$B.若$n\perp\alpha$，則$m\paralleln$C.若$m\subset\beta$，則$\alpha\perp\beta$D.若$\alpha\parallel\beta$，則$m\perp\beta$6.三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，可能是真命題的有（）A.若$AB\perpBC$，則$A_{1}C_{1}\perpB_{1}C_{1}$B.若$AB=BC$，則$A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}$C.若平面$ABC\perp$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$，則$AA_{1}\perp$平面$A_{1}B_{1}C_{1}$D.若$AA_{1}\perp$平面$ABC$，則平面$ABC\perp$平面$BCC_{1}B_{1}$7.以下幾何體中，是旋轉(zhuǎn)體的有（）A.圓柱B.圓錐C.棱錐D.圓臺8.關(guān)于直線與平面所成角，下列說法正確的是（）A.直線與平面所成角的范圍是$[0^{\circ},90^{\circ}]$B.一條直線垂直于平面，則其所成角為$90^{\circ}$C.直線與平面平行，則其所成角為$0^{\circ}$D.直線在平面內(nèi)，則其所成角為$0^{\circ}$9.正方體$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，與直線$AC_{1}$異面的棱有（）A.$A_{1}D_{1}$B.$DD_{1}$C.$BC$D.$A_{1}B_{1}$10.下列關(guān)于棱柱的說法正確的是（）A.棱柱的側(cè)棱都互相平行B.棱柱的兩個底面是全等的多邊形C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形D.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱三、判斷題（每題2分，共10題）1.若直線$l$與平面$\alpha$內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則$l\perp\alpha$。（）2.兩個平面垂直，一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）3.球的體積與表面積之比為$\frac{r}{3}$（$r$為球半徑）。（）4.三棱錐的四個面可以都是直角三角形。（）5.若直線$a\parallel$平面$\alpha$，直線$b\parallel$平面$\alpha$，則$a\parallelb$。（）6.圓柱的母線長等于其高。（）7.正四棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長。（）8.兩個平行平面間的距離處處相等。（）9.若平面$\alpha\perp$平面$\beta$，過平面$\alpha$內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面$\beta$。（）10.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述判斷直線與平面垂直的判定定理。答案：如果一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直。2.求三棱錐體積公式，并說明各字母含義。答案：$V=\frac{1}{3}Sh$，$V$是三棱錐體積，$S$是三棱錐底面面積，$h$是三棱錐的高。3.如何判斷兩個平面平行？答案：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。4.簡述圓柱的表面積公式。答案：圓柱表面積$S=2\pir^{2}+2\pirh$，$r$是底面半徑，$h$是圓柱的高。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論如何求異面直線所成角。答案：先通過平移將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，找到異面直線所成角，再在包含該角的三角形中，利用余弦定理等方法求解。2.探討直線與平面所成角和直線與平面內(nèi)直線所成角的關(guān)系。答案：直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)直線所成角中的最小角，直線與平面所成角范圍是$[0^{\circ},90^{\circ}]$，直線與平面內(nèi)直線所成角范圍是$[0^{\circ},90^{\circ}]$。3.說說三棱柱和三棱錐在結(jié)構(gòu)上的區(qū)別。答案：三棱柱有兩個底面且平行全等，側(cè)面是平行四邊形；三棱錐只有一個底面，側(cè)面是有公共頂點(diǎn)的三角形。4.討論球的內(nèi)接長方體的體對角線與球半徑的關(guān)系。答案：球的內(nèi)接長方體的體對角線長等于球的直徑，設(shè)球半徑為$r$，長方體體對角線長為$l$，則$l=2r$。答案一、單項選擇題1.C2.