第頁天津市河西區(qū)普通中學(xué)2026屆初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)等腰三角形專題復(fù)習(xí)練習(xí)1.在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫()A．7條B．8條C．9條D．10條2.如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有()A．1個B．2個C．3個D．3個以上3.正方形ABCD的邊長是4，點P是AD邊的中點，點E是正方形邊上的一點，若△PBE是等腰三角形，則腰長為___．4.已知△ABC，∠BAC＝45°，AB＝8，要使?jié)M足條件的△ABC唯一確定，那么BC邊長度x的取值范圍為．5.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線BC于點D，若AD＝eq\f(1,2)BC，求△ABC的頂角的度數(shù)．6.如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE＝3，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，求DB′的長．7.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3)8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，A(0，2)和C(2eq\r(3)，0)，點D是對角線AC上一動點(不與A，C重合)，連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF.(1)求點B的坐標(biāo)；(2)是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由．9.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線MN過點A且MN∥BC，過點B為一銳角頂點作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且點D在直線MN上(不與點A重合)，如圖1，DE與AC交于點P，易證：BD＝DP.(無需寫證明過程)(1)在圖2中，DE與CA的延長線交于點P，BD＝DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；(2)在圖3中，DE與AC的延長線交于點P，BD與DP是否相等？請直接寫出你的結(jié)論，無需證明．10.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B(4，3)，C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線交于第四象限的F點．(1)求該拋物線解析式與F點坐標(biāo)；(2)如圖2，動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運(yùn)動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒eq\f(\r(13),2)個單位長度的速度向終點E運(yùn)動．過點P作PH⊥OA，垂足為H,連結(jié)MP，MH.設(shè)點P的運(yùn)動時間為t秒．若△PMH是等腰三角形，求出此時t的值．11.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°.(1)求ED，EC的長；(2)記線段PQ與線段DE的交點為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．答案：1.A2.D3.2eq\r(5)或eq\f(5,2)或eq\f(\r(65),2)4.x＝4eq\r(2)或x≥85.解：①BC為腰，∵AD⊥BC，AD＝eq\f(1,2)BC，∴∠ACD＝30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時，頂角∠C＝30°，如圖2，AD在△ABC外部時，頂角∠ACB＝150°②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC，AD＝eq\f(1,2)BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝eq\f(1,2)×180°＝90°，∴頂角∠BAC＝90°.綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°6.解：若△CDB′恰為等腰三角形需分三種情況討論：(1)若DB′＝DC時，則DB′＝16(易知點F在BC上且不與點C，B重合)；(2)當(dāng)CB′＝CD時，∵EB＝EB′，CB＝CB′.∴點E，C在BB′的垂直平分線上，∴EC垂直平分BB′，由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去；(3)如圖，當(dāng)CB′＝DB′時，作B′G⊥AB與點G，交CD于點H.∵AB∥CD，∴B′H⊥CD，∵CB′＝DB′，∴DH＝eq\f(1,2)CD＝8，∴AG＝DH＝8，∴GE＝AG－AE＝5，在Rt△B′EG中，由勾股定理得B′G＝12，∴B′H＝GH－B′G＝4.在Rt△B′DH中，由勾股定理得DB′＝4eq\r(5)，綜上所述DB′＝16或4eq\r(5)7.解：滿足條件的所有等腰三角形如下圖所示：8.解：(1)(2eq\r(3)，2)(2)存在．∵tan∠ACO＝eq\f(AO,OC)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°.①如題圖中，△DEC是等腰三角形，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠CDB＝∠BCD＝60°， ∴△DBC是等邊三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC－CD＝2；②如圖，當(dāng)點E在OC延長線上時，∵△DCE是等腰三角形，易知CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AD＝AB＝2eq\r(3).綜上可知，AD的長度為2或2eq\r(3).9.解：(1)BD＝DP成立，證明：如圖②，過點D作DF⊥MN，交AB的延長線與點F，則△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF.∵∠1＋∠ADB＝90°，∠ADB＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.在△BDF與△PDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠2＝∠1，,DF＝DA，,∠DFB＝∠DAP＝45°，))∴△BDF≌△PDA(ASA)，∴BD＝DP(2)BD＝DP.證明：如圖③，過點D作DF⊥MN，交BA的延長線于點F，則△ADF為等腰直角三角形，∴DA＝DF.在△BDF與△PDA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠PAD＝45°，,DF＝DA，,∠BDF＝∠PDA，))∴△BDF≌△PDA(ASA)，∴BD＝DP10.解：(1)∵矩形ABCO，B點坐標(biāo)為(4，3)，∴C點坐標(biāo)為(0，3)，∵拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c經(jīng)過矩形ABCO的頂點B，C，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝3，,－8＋4b＋c＝3，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝3，,b＝2，))∴該拋物線解析式y(tǒng)＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋3，設(shè)直線AD的解析式為y＝k1x＋b1，∵A(4，0)，B(2，3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k1＋b1＝0，,2k1＋b1＝3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(3,2)，,b1＝6，))∴y＝－eq\f(3,2)x＋6，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,2)x＋6，,y＝－\f(1,2)x2＋2x＋3，))∵F點在第四象限，∴F(6，－3)(2)如圖①過M作MN⊥OA交OA于N，∵△AMN∽△AEO，∴eq\f(AM,AE)＝eq\f(AN,AO)＝eq\f(MN,EO)，∴AN＝t，MN＝eq\f(3,2)t，①如圖③，當(dāng)PM＝HM時，M在PH的垂直平分線上，∴MN＝eq\f(1,2)PH，∴MN＝eq\f(3,2)t＝eq\f(3,2)，∴t＝1；②如圖①，當(dāng)HM＝HP時，MH＝3，MN＝eq\f(3,2)t，HN＝OA－AN－OH＝4－2t，在Rt△HMN中，MN2＋HN2＝MH2，∴(eq\f(3,2)t)2＋(4－2t)2＝32，解得：t1＝2(舍去)，t2＝eq\f(14,25)；③如圖②，如圖④，當(dāng)PH＝PM時，∵PM＝3，MT＝|3－eq\f(3,2)t|，PT＝BC－CP－BT＝|4－2t|，∴在Rt△PMT中，MT2＋PT2＝PM2，即(3－eq\f(3,2)t)2＋(4－2t)2＝32，解得：t1＝eq\f(16,5)，t2＝eq\f(4,5).綜上所述：t＝eq\f(14,25)或eq\f(4,5)或1或eq\f(16,5).11.解：(1)ED＝eq\f(15,4)，EC＝eq\f(25,4)(2)△BPD∽△EQD，∴eq\f(BD,ED)＝eq\f(PD,DQ)，∵CD＝BD，∴eq\f(CD,ED)＝eq\f(PD,DQ)，又∵∠PDQ＝∠CDE＝90°，∴△PDQ∽△CDE，∠QPD＝∠C.由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ.因此△PDF∽△CDQ.當(dāng)△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，①如圖1，當(dāng)CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1.此時PM＝eq\f(4,3)QN＝eq\f(4,3)，∴BP＝BM－PM＝3－eq\f(4,3)＝eq\f(5,3)；②如圖2，當(dāng)QC＝QD時，作QH⊥CD于點H，由cosC＝eq