23.3相似三角形

1.相似三角形過(guò)教材要點(diǎn)概覽1.相似三角形的相關(guān)概念及性質(zhì)(1)定義:對(duì)應(yīng)邊

,對(duì)應(yīng)角

的三角形.

(2)表示方法:相似用符號(hào)“

”來(lái)表示,讀作“

”.

(3)相似比:相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比,當(dāng)相似比k=1時(shí),兩個(gè)相似三角形全等.(4)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,

.

成比例相等∽相似于對(duì)應(yīng)角相等2.平行線(xiàn)截三角形相似平行于三角形一邊的直線(xiàn),和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交所構(gòu)成的三角形與原三角形

.

相似精講練新知探究探究點(diǎn)一利用相似三角形的定義求邊和角例1

如圖所示,點(diǎn)D在△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且△ACD∽△BAD.(1)寫(xiě)出△ACD與△BAD的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角;解:(1)對(duì)應(yīng)邊:AC與BA,AD與BD,CD與AD.對(duì)應(yīng)角:∠CAD與∠B,∠ACD與∠BAD,∠ADC與∠BDA.(2)若AB=8,AC=6,AD=12,求BD的長(zhǎng)及△ACD與△BAD的相似比.重點(diǎn)必記理解相似三角形的“三點(diǎn)注意”(1)相似三角形的定義既可以作為相似三角形的性質(zhì),又可以作為相似三角形的判定.(2)用相似符號(hào)“∽”表示相似三角形時(shí),應(yīng)把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上,這樣可以比較容易地識(shí)別出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.(3)對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,也就是說(shuō)最大角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊,最小角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊.兩對(duì)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊,長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊,短邊對(duì)短邊.鞏固訓(xùn)練1.如圖所示,已知△ABC∽△DAC,∠B=37°,∠D=116°,則∠BAD的度數(shù)為(

)A.37° B.116° C.153° D.143°C2.如圖所示,已知△ADE∽△ACB,若AB=10,AC=8,AD=4,則AE的長(zhǎng)是

.3.如圖所示,已知△ABC∽△AMN,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),AB=6,AC=8,則AN=

.

5探究點(diǎn)二平行線(xiàn)截三角形相似例2

如圖所示,在矩形ABCD中,P是BC邊上一點(diǎn),連結(jié)DP并延長(zhǎng),交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q.(1)求證:△DCP∽△QBP.(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴CD∥BQ,∴△DCP∽△QBP.易錯(cuò)警示用平行線(xiàn)判定三角形相似的基本圖形(1)“A”型結(jié)構(gòu),如圖①所示;(2)“X”型結(jié)構(gòu),如圖②所示.鞏固訓(xùn)練4.如圖所示,點(diǎn)P是?ABCD邊AB上的一點(diǎn),射線(xiàn)CP交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,則圖中相似的三角形有(

)A.0對(duì) B.1對(duì)

C.2對(duì) D.3對(duì)D

5.如圖所示,AB∥CD∥EF,點(diǎn)C,D分別在BE,AF上,如果BO=4,CO=2,CE=8,EF=10,那么AB的長(zhǎng)為

.

46.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,BE∥CD交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證:OC2=OA·OE.證明:∵AD∥BC,∴△BOC∽△DOA.∴OC∶OA=OB∶OD.∵BE∥CD,∴△EOB∽△COD.∴OE∶OC=OB∶OD.∴OC∶OA=OE∶OC.∴OC2=OA·OE.23.3相似三角形

1.相似三角形基礎(chǔ)鞏固練1.在△ABC中,AB=48cm,BC=40cm,CA=36cm,一個(gè)和它相似的三角形的最短邊是12cm,那么該三角形的最長(zhǎng)邊是()A.48cm B.16cm C.36cm D.144cmB2.(2024重慶期末)如圖所示,已知△ABC∽△EDC,AC∶EC=2∶3.若AB的長(zhǎng)度為6,則DE的長(zhǎng)度為()A.4 B.9 C.12 D.13.5BAC5.開(kāi)放性題如圖所示,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連結(jié)AE,交CD于點(diǎn)F,連結(jié)BF.寫(xiě)出圖中任意一對(duì)相似三角形:

.

.

△ADF∽△ECF(答案不唯一)能力提升練C8.易錯(cuò)題如圖所示,∠ABC=∠CDB=90°,AC=5,BC=4.若△ABC與△CDB相似,則BD的長(zhǎng)為

.

平行四邊形16(3)若AC=3,EF=2,求BD的長(zhǎng).素養(yǎng)培優(yōu)練(2)是否存在某一時(shí)刻,使得以點(diǎn)A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(2)存在.由題意,得DN=2tcm,AN=(6-2t)cm,AM=tcm.若△NMA∽△ACD,則AD∶AN=CD∶AM,即6∶(6-2t)=3∶t,解得t