數(shù)學歸納法教學設計一．教學內容分析數(shù)學歸納法作為直接證明的一直特殊方法，主要用于證明與整數(shù)有關的數(shù)學命題。人教課標準版教科書把數(shù)學歸納法安排在選修2—2第二章推理與證明中，教學時間為2課時，此教案為數(shù)學歸納法的第一節(jié)課。在此之前，學生已通過數(shù)列一章的內容和推理與證明內容的學習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法，知道不完全歸納法是研究數(shù)學問題猜想或者發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的重要手段。但是由有限個實例得出結論的推理只是合情推理，而合情推理得出的結論未必正確。因此為了彌補這一不足，我們必須學習嚴謹?shù)目茖W論證方法——數(shù)學歸納法！它是促進學生從有限思思維發(fā)展到無限思維的一個重要載體，也是培養(yǎng)學生嚴密的推理能力和抽象思維能力的好素材！教學重點 理解數(shù)學歸納法的實質意義，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟教學難點 數(shù)學歸納法證題有效性的理解二、學情分析學生通過推理與證明前兩節(jié)的學習，已經基本掌握了歸納推理，且已經具備了一定的觀察、歸納、猜想能力。通過教學方法的改革和素質教育的實施，學生已基本習慣了對已給問題的主動探究，但主動提出問題和質疑的習慣仍舊需要進一步加強。結合教學內容的特點，本節(jié)主要采用“探究式學習法”進行教學。三、教學目標依據(jù)教學大綱和對教材內容的分析，以及結合學生已有的知識基礎，本節(jié)課的教學目標是：知識與技能目標：1了解“歸納法”的含意2．理解“數(shù)學歸納法”的實質；3．掌握數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，會用“數(shù)學歸納法”證明簡單的恒等式。過程與方法目標：1．經歷觀察、思考、分析、抽象、概括出數(shù)學歸納法的兩個步驟，初步形成歸納、猜想和發(fā)現(xiàn)的能力；2．經歷數(shù)學歸納法解題步驟的獲得和用“數(shù)學歸納法”證明簡單恒等式的過程，初步理解和掌握“歸納——猜想——證明”這一探索發(fā)現(xiàn)的思維方法和利用“反例”否定命題的數(shù)學方法。情感、態(tài)度與價值目標：1．通過數(shù)學歸納法的學習初步形成嚴謹務實的科學態(tài)度和嚴謹?shù)臄?shù)學思維品質與數(shù)學理性精神；2．認識有限與無限的辯證關系；3．感悟數(shù)學的內在美，體會數(shù)學的博大精深四、教學過程一、創(chuàng)設問題情景師：本節(jié)課我們學習《數(shù)學歸納法》（板書）。在本章第一節(jié)我們學習了合情推理與演繹推理，下面請同學們思考一下，“天下烏鴉一般黑”這一結論是通過合情推理還是通過演繹推理得到的？生：“天下烏鴉一般黑”這一結論是通過不完全歸納法得到的，不完全歸納法是合情推理。師：由合情推理得到的結論是否一定正確？生：教科書上明確指出：由合情推理得出的結論未必正確。師：回答的很好，不完全歸納法得到的結論帶有猜想的成分，因此推理所得的結論不一定正確（順便指出人們已在非洲的坦桑尼亞發(fā)現(xiàn)三種并非全黑的烏鴉，在日本也發(fā)現(xiàn)了一只全身皆白的真正的白烏鴉），但是它具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論、探索和提供證明的思路和方向的作用，在數(shù)學上，我們很多時候是通過觀察→歸納→猜想，這種思維過程去發(fā)現(xiàn)某些結論的。師：我們先來探究下面一個問題：數(shù)列{}中；生：寫出數(shù)列{}前幾項，觀察可知{}是周期為6的周期數(shù)列，所以==1。師：很好。本題是觀察數(shù)列{}前幾項，歸納出一般的規(guī)律，再由一般的規(guī)律寫出。我們再來探究一個問題：已知數(shù)列{}的通項公式為，學生分別計算、、、的值，猜想的值，并計算的值。生甲：由此可猜想=n。生乙：甲的猜想不正確，因為。師：乙的回答是正確的，本題也是觀察數(shù)列{}前幾項，歸納出一般的規(guī)律，再由一般的規(guī)律寫出，但結論是錯誤的?？偨Y：通過前面兩個例子，使我們進一步認識到用不完全歸納法得出的結論，因為只考察了部分情況，結論不一定具有普遍性。現(xiàn)在請同學們想一想，在以前給出的數(shù)學公式中，有沒有用不完全歸納法得出的？生：有。例如等差數(shù)列通項公式的推導。師：很好。我們是由等差數(shù)列前幾項滿足的規(guī)律：，，，，……歸納出了它的通項公式的。等差數(shù)列的通項公式也是由有限個特殊事例歸納出來的，也可能不正確，又因為正整數(shù)有無限多個，不可能一一驗證，那么該如何證明這類有關正整數(shù)的命題呢？二、設置問題，引導探究師：同學們小時侯放過鞭炮沒有？生：（沒）放過。（課堂氣氛由剛才的沉思變得開始活躍）師：無論放過還是沒放過，相信同學們對放鞭炮都很熟悉，下面請思考：點燃一盤鞭炮后，滿足什么條件，一盤鞭炮可以全部響？生：若前一個響，則后一個也響師：這樣就保證了可以遞推下去，鞭炮就可以全部響了，是嗎？生：不是。若第一個鞭炮不響，則一盤鞭炮也不會全部響，所以，還要有一個條件：第一個炮要響。師：大家說有了這兩個條件，點燃一盤鞭炮后鞭炮是不是可以全部響呢？生：是。師：上面的同學說得很好，要使一盤鞭炮全部響應滿足兩個條件，第一個條件是：第一個炮要響；第二個條件是：若前一個響，則后一個也響，該條件可轉化為：假設第個炮響張，第個炮一定響。學生類比鞭炮全響的原理，探究出證明有關正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學模型）。（1）n取第一個值(例如)時命題成立;（2）假設n=k(k)命題成立，利用它證明n=k+1時命題也成立。滿足這兩個條件后，命題對一切n均成立。現(xiàn)在你能不能利用這種思想（遞推思想）來證明等差數(shù)列通項公式呢？三．方法嘗試（學生共答，教師板書）證明：（1）當時，左邊，右邊，等式是成立的。（2）假設當時等式成立，就是，下面看看是否能推出時等式也成立，那么等于什么？生：由可得。師：看來時等式也成立，這樣做對嗎？生：（齊答）不對。師：用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題時，難點和關鍵都在第二步，而這一步主要在于合理運用歸納假設，即以“n=k時命題成立”為條件，證明“證時命題也成立”。這里容易出現(xiàn)的錯誤是證明中不使用“n=k時命題成立”這個條件，而直接將n=k+1代入命題，便斷言此命題成立，從而得出原命題成立的結論。下面請同學們給出正確的證明過程。（學生齊答，教師繼續(xù)板書）。這就是說，當時，等式也成立，大家說有了這兩步，是不是就證明了等差數(shù)列通項公式的正確性了呢？生：時等式成立時等式成立時等式成立……所以取任何正整數(shù)等式都成立。師：我再補充一點：完成第一步、第二步后，必須要下結論，其格式為：根據(jù)⑴⑵可知公式對任意都成立.四、理解升華師：上面這種證明方法叫做數(shù)學歸納法，數(shù)學歸納法一般被用于證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，下面請同學們總結一下用數(shù)學歸納法證題的步驟。學生交流后，共同總結，教師板書：（1）證明當取第一個值（例如或2等）時結論正確；（2）假設當（，且）時結論正確，證明當時結論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對從開始的所有正整數(shù)都正確。概括起來就是“兩個步驟，一個結論?！睅煟河脭?shù)學歸納法證題時，兩個步驟各起到了怎樣的作用呢？生：第一步是命題遞推的基礎，第二步是命題遞推的根據(jù)。師：回答的很好，我再強調一點：數(shù)學歸納法證題時這兩個步驟缺一不可，只有把兩個步驟中的結論結合起來，才能斷定命題成立.五、數(shù)學歸納法的應用師：我們已經知道，由不完全歸納法得到的結論未必可靠，因而必須作出證明。若命題是與正整數(shù)有關的，證明可考慮用數(shù)學歸納法。下面請同學們看一道例題。例1：用數(shù)學歸納法證明：本例主要由學生完成，教師適時作必要引導。這樣處理有利于培養(yǎng)學生用所學知識解決問題的能力。教師主要引導學生參與討論的內容是：1

當時，證明的目標是什么？2當時，能否這樣證明：例2：在數(shù)列{}中,＝1,(n∈),先計算，，的值，再推測通項的公式,最后證明你的結論．本例要求學生先猜想后證明，意在使學生經歷一次數(shù)學研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并一步熟悉數(shù)學歸納法。教學中可先讓學生思考3分鐘，然后讓兩位學生在黑板上板書解題過程，最后師生共同分析兩位學生的解法。六、小結（師生共同完成）（一）給出以下問題：1本節(jié)課的主要內容是什么？（數(shù)學歸納法證明命題的步驟、關鍵、核心，要注意的問題）2．數(shù)學歸納法與歸納法的關系（歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結論的推理方法，它屬于歸納推理。而數(shù)學歸納法它是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法！因此，它不屬于“不完全歸納法”！甚至連“歸納法”都不是?。?．從這節(jié)課的學習中你有何感