兩點(diǎn)分布在23到25年新高考1卷中的應(yīng)用一.基本原理1.兩點(diǎn)分布:對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用A表示"成功",A表示"失敗",定義X如果PA=p,則PA=1X01P1p我們稱X服從兩點(diǎn)分布(twopointdistribution)或01分布.實(shí)際上,X為在一次試驗(yàn)中成功(事件A發(fā)生)的次數(shù)(0或1).像購(gòu)買的彩券是否中獎(jiǎng),新生嬰兒的性別,投籃是否命中等,都可以用兩點(diǎn)分布來(lái)描述.2.已知隨機(jī)變量Xi,i=1二.典例分析例1.計(jì)算二項(xiàng)分布的期望公式方法1.人教A版選擇性必修第三冊(cè)76頁(yè)方法2.(利用兩點(diǎn)分布)二項(xiàng)試驗(yàn)可以看成是一串獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn),而X是這n重伯努利試驗(yàn)中"成功"的總次數(shù),令X則X=X1+?+X從而EX=例2.計(jì)算超幾何分布的期望公式.方法1.人教A版選擇性必修第三冊(cè)79頁(yè)方法2.(利用兩點(diǎn)分布)我們可以將問(wèn)題描述為:一個(gè)框里有M個(gè)相同的紅球和N?M相同的綠球.現(xiàn)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中抽取K個(gè)球,問(wèn)其中正好有x個(gè)紅球的概率是多少?此試驗(yàn)可以看成是一串重復(fù)但不獨(dú)立的伯努利試驗(yàn),而X是這串伯努利試驗(yàn)中"成功"(抽到紅球)的總次數(shù),令X則X=X1+?+Xn,且EXi=PXi=1=MN,i=1,?,n從而EX=EX1+?+EXn=KMN.例3.(2025年新高考1卷)一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球,分別以1~5標(biāo)號(hào),若每次取一顆,有放回地取三次,記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)X,則數(shù)學(xué)期望EX=_____.解析:法一:依題意,X的可能取值為1、2、3,總的選取可能數(shù)為53=125,其中X=1:三次抽取同一球,選擇球的編號(hào)有5種方式,故PX=1=5125=125,X=2:恰好兩種不同球被取出(即一球出現(xiàn)兩次,另一球出現(xiàn)一次),選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式,選取出現(xiàn)一次的球有4種方式,其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能,故事件X=2的可能情況有5×4×3=60種,故PX=2=60125=12故EXi=61125,所以EX=例4(2024年新高考1卷).甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字,甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張,并比較所選卡片上數(shù)字的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為_____.解析:設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X1,X2,對(duì)于任意一輪,甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等,其中使得甲得分的出牌組合有六種,從而甲在該輪得分的概率PXk=1=從而EX記pk如果甲得0分,則組合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出2,4,6,8,所以p0如果甲得3分,則組合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出8,2,4,6,所以p3而X的所有可能取值是0,1,2,3,故p0所以p1+p2+112=1所以甲的總得分不小于2的概率為p2+p3=1三.習(xí)題演練1.某動(dòng)物園觀光車載有5位旅客自動(dòng)物園門口出發(fā),游覽途中游客有4個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有游客下車就不停車.設(shè)每位游客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各位游客是否下車相互獨(dú)立.隨機(jī)變量Xi(1)求隨機(jī)變量X3(2)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且PXi=Ei=1nXi=i=1n2.(2023年新高考1卷)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且PXi=1=1?PXi=0=qi,i=1,2,?,n,則參考答案1.解析:(1)由已知可得任一游客在第3站不下車的概率為34因此5位游客都不在第3站下車的概率為34則在第3站有人下車的概率為1?所以PX所以X3X01P243781所以EX(2)由已知可得任一游客在第i站不下車的概率為34因此5位游客都不在第i站下車的概率為34則在第i站有人下車的概率為1?所以PX所以EX因?yàn)閄=所以EX2.解析:(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai