數(shù)

學

知

識

點

總

結(jié)

高中數(shù)學必修1知識點

第一章集合和函數(shù)概念

K1.13集合

ri.i.ii集合的含義和表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數(shù)集及其記法

表不自然數(shù)集，或表不止整數(shù)集，表示整數(shù)集，表不有理數(shù)失，表示實數(shù)集.

（3）集合和元素間的關(guān)系

對象和集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛I具有的性質(zhì)｝,其中為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集（0）.

L1.L2］集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

⑴土

（2）0cA

A中的任一元

（或⑶若且，則

子集或

素都屬于B

8"）⑷若且，則

（4）若AqB且BqA,則

A=B

⑴0u*A（A為非空子集）

真子U*,H.B中至少有⑵若且，則

一元素不屬于A

集（或n*）（2）若AuB且BuC，則

Au工C

A中的任一元

素都屬于B,

集合⑴￡

A=BB中的任一元

相等⑵q

素都屬于A

（7）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非

空子集，它有非空真子集.

［1.1.3］集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

名記

意義性質(zhì)示意圖

稱號

(1)AQA=A

交{x|XGA,且

(2)AQ0=0

集xeB}c?

(3)

(1)A\JA=A

并A,或

AU8(2)A\J0=A

集xeB}

(3)AUB3A

補1

{X\XEU,SJC^A}軟An砌=(〃a)u(%8)”ngA)-0

6A》C^)

集軟4UB)=(mn(”)2AU@,A)=U

【補充知識】含絕對值的不等式和一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

Ix\<a(a>0){x\-a<x<a}

Ix|>a(a>0)x\x<-a^x>a]

把看成一個整體，化成，

|ax+b\<c,\cix+b\>c(c>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

△>0△=0A<0

△=從一4ac

二次函數(shù)JJ

y=ax1+bx+c(a>0)

40^fX2

的圖象

一元二次方程

ax2-￥bx+c=0（。＞0）（其中不＜.馬）無實根

的根

ax2+bx+c>0(。>0)

{x|斗或不＞&}{x|R

的解集

ax2+bx+c<0(〃>0)

{x|X1<x<x2}00

的解集

n.23函數(shù)及其表示

L1.2.1］函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任

何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包

括集合，以及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的一個函數(shù)，記作.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿

足的實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實數(shù)的集合叫

做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實數(shù)的集合分別記做.

注意：對于集合和區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須

,（前者可以不成立，為空集；而后者必須成立）.

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原制：

①是整式時，定義域是全體實數(shù).

②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須

大于零且不等于1.

⑤中，.

⑥零（負）指數(shù)幕的底數(shù)不能為零.

⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域

一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復合

函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行

分類討論.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際

意義.

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在

函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值.因

此求函數(shù)的最值和值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)

值域和最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或

最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式和常數(shù)的和，然后根據(jù)變

量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，

則在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代

數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域和值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)

的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最侑.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

L1.2.2］函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是

列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量

之間的對應(yīng)關(guān)系.

（6）映射的概念

①設(shè)、是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個

元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合

,以及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作.

②給定一個集合到集合的映射，且.如果元素和元素對應(yīng)，那么我們

把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象.

n.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1）單調(diào)性和最大（小）值

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定（1）利用定

義域I內(nèi)某個區(qū)義

間上的任意兩個（2）利用已

向變量的值知函數(shù)的單

xl.x2,當xl<x2調(diào)性

y|y=f（x）/

函數(shù)的時，都有（3）利用函

單調(diào)性f（xl）<f（x2）,那數(shù)圖象（在某

6x,x：x

么就說f（x）在這個區(qū)間圖

個區(qū)間上是增函象上升為

數(shù).增）

（4）利用復

合函數(shù)

如果對于屬于定（1）利用定

義域I內(nèi)某個區(qū)義

間上的任意兩個（2）利用已

自變量的值XI、知函數(shù)的單

x2,當xl<x2時，yy=f（x）調(diào)性

都有（3）利用函

f（xl）>f（x2）,那0x,x.X數(shù)圖象（在某

么就說f（x）在這個區(qū)間圖

個區(qū)間上是減函象下降為減）

數(shù).（4）利用復

合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù),

增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減,

則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減.

（2）打“函數(shù)的圖象和性質(zhì)

分別右、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù).6、/

/（x）=x+-（a>0）/

（3）最大（?。┲刀x*/

①一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如

果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的,*

都有；

（2）存在，使得.那么，我們稱/

是函數(shù)的最大值，記作.

②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，

都有；(2)存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作

[1.3.2]奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)(1)利用定

f(x)定義域內(nèi)任義(要先判斷

意一個X,都有定義域是否

y

f(-X)=—f(x),(a.f(a))關(guān)于原點對

-a二一

Jcax

那么函數(shù)f(x)叫稱)

(-a.f(-a))

做奇函數(shù).(2)利用圖

象(圖象關(guān)于

函數(shù)的原點對稱)

奇偶性如果對于函數(shù)(1)利用定

f(x)定義域內(nèi)任義(要先判斷

意一個X,都有定義域是否

y

f(-x)(X),那么(-a.f(-a))(a.f(a))關(guān)于原點對

函數(shù)f(x)叫做偶—aoax稱)

函數(shù).(2)利用圖

象(圖象關(guān)于

y軸對稱)

②若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則

③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同：偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)

間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇

函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)和一個

奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

K補充知識』函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）：④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、嘉函

數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

②伸縮變換

③對稱變換

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等

方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象和函數(shù)解析式中參

數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問期提供了

“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形

結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

[[2.12指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)和指數(shù)幕的運算

（1）根式的概念

①如果，且，那么叫做的次方根.當是奇數(shù)時，的次

方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示,

負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根.

②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù).當為奇數(shù)時，為

任意實數(shù)：當為偶數(shù)時，.

③根式的性質(zhì)：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.

（2）分數(shù)指數(shù)累的概念

①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)暴的意義是：且.0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0.

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)基的意義是：且.0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.注意

口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

（3）分數(shù)指數(shù)哥的運算性質(zhì)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)尸且"1）叫做指數(shù)函數(shù)

P51a>10<a<\

（）Yo

定義域R

值域(0,+oo)

圖象過定點，即當時，.

過定點

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

函數(shù)值的

變化情況

在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，

〃變化對圖象

越大圖象越低.

的影響

K2.22對數(shù)函數(shù)

[2.2.11對數(shù)和對數(shù)運算

（1）對數(shù)的定義

①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫

做真數(shù).

②負數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式和指數(shù)式的互化:

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

(3)常用對數(shù)和自然對數(shù)

常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即(其中…).

(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么

①加法：②減法：

③數(shù)乘：④

⑤⑥換底公式：

[2.2.2]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù))，=1嗚H。＞0且"1)叫做對數(shù)函數(shù)

a>\0<?<1

11X=11=1

y；y=1嗚％yy=1%x

二

圖象\i，。)，

0(\(1,0)X0

定義域(0,+oo)

值域R

圖象過定點，即當時，.

過定點

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

函數(shù)值的

變化情況

在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，

〃變化對圖象

越大圖象越靠高.

的影響

（6）反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子.如果對

于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng),

那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改

寫成.

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出；

③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域.

（8）反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)和反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.

②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.

③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上.

④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.3X第函數(shù)

（1）基函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做累函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù).

（2）幕函數(shù)的圖象

（3）幕函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.幕函數(shù)

是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖

象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點對稱）；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布

在第一象限.

②過定點：所有的幕函數(shù)在都有定義，并且國象都通過點.

③單調(diào)性：如果，則幕函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù).如果

，則塞函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸和

軸.

④奇偶性：當為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，基函數(shù)為偶

函數(shù).當（其中互質(zhì)，和）,若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若

為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非

偶函數(shù).

⑤圖象特征：幕函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其

圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直

線下方.

K補充知識』二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：②頂點式：③兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或和對稱軸有關(guān)或和最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂點

式.

③若已知拋物線和軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方

便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是.

②當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物

線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，.

③二次函數(shù)當時，圖象和軸有兩個交點.

(4)一元二次方程"2+Z?x+c=O(〃wO)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖

有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別

式和根和系數(shù)關(guān)系定理(韋達定理)的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，

系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設(shè)一元二次方程的兩實根為，且.令，從以下四個方面來分

析此類問題：①開口方向：②對稱軸位置：③判別式：④端點函數(shù)值符

號.

①A<XIWX2O

②o

③至=(Zr)<0

④％VxiWx2VA"2=

⑤有且僅有一個根xl(或x2)滿足kl<xl(或x2)<k2

f(kl)f(k2)0,并同時考慮f(kl)-0或f(k2)-0這兩種情況是否也符合

@k\<X\<k2^P\<x2<Pz<=>

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aw0)在閉區(qū)間［〃,夕］上的最值

設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令.

(I)當好0時(開口向上)

①若，則②若，則③若，則

①若，則②T則

米、則(S>

①若'貝

①者則②，則八

4知識點>

角4勺］.和原%I重合，角的女柘和胸的幾負半軸重合

2.,終邊落在第幾象

限，則稱為第兒象限角.

第一象限角的集合為{。k360<a<k-360+90。，旌z}

第二象限角的集合為{州.360+90vh36(T+180,ZeZ}

第三象限角的集合為{a卜?360+180Va<h360。+270；&wz}

第四象限角的集合為同h360+270ca<h360+3602€Z}

終邊在x軸上的角的集合為同a=hl8O,A￡Z}

終邊在y軸上的角的集合為{*=h180。+90。,在Z}

終邊在坐標軸上的角的集合為同a=h90,攵間

3.和角終邊相同的角的集合為

4.長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度.

5.半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是.

6、弧度制和角度制的換算公式：，，.

7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，一

8、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它和原點的

距離是，則，，.

9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，

第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

10、三角函數(shù)線：，，.

11.角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；..（3）倒數(shù)關(guān)系：

12.函數(shù)的誘導公式：

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

口訣：正弦和余弦互換，符號看象限.

13、①的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象：再

將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），

得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來

的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象.

②數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得

到函數(shù)

的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所

有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象.

14.函數(shù)的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：；③頻率：：④相位：：⑤初相：.

函數(shù)，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，.

15、

正

弦y=sinxy=cosxy=tanx

函

數(shù)、

余

弦

函

數(shù)

和

正

切

函

數(shù)

的

圖

象

和

性

值

[-M]RR

域

當時，；當時，

當>max=1；當

最時，.X=2k7l+7T既無最大值也既無最大值也

時，.時，.

值時，.無最小值無最小值

(^GZ)時，

（丘Z）時，

%in=T?

>min=T?

2冗2乃7171

周

期

性

奇奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

偶

性

在在

(fceZ)上是增［一",24乃］(%wZ)

在

單

函數(shù)；在上是增函數(shù)；在上是增函數(shù).

調(diào)［2%匹2攵4十句(丘)上是增

上是減函數(shù).Z

性上是減函數(shù).

(丘Z)上是減函數(shù).

(%￡Z)上是減函

函數(shù).

數(shù).

對對稱中心對稱中心

對稱中心對稱中心

稱(左肛0)(左GZ)對稱軸

無對稱軸無對稱軸

性對稱軸x=kjr(keZ)

第二章平面向量

16.向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為的向量.

單位向量：長度等于個單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量和任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點.

⑶三角形不等式：.

⑷運算性質(zhì)：①交換律：：

②結(jié)合律：；③.

⑸坐標運算：設(shè)，，則.

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.

⑵坐標運算：設(shè)，，則.

設(shè)、兩點的坐標分別為，，則.

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)和向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作.

①同|=|H同；

②當時，的方向和的方向相同；當時，的方向和的方向相反；當時，.

⑵運算律：①；②；③.

⑶坐標運算：設(shè)，則.

20、向量共線定理：向量和共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使.

設(shè)，，其中，則當且僅當時，向量、共線.

21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對

于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使.（不共線的向

量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）

22.分點坐標公式：設(shè)點是線段上的一點，、的坐標分別是，，當

時，點的坐標是.（當

23.平面向量的數(shù)量積：

⑴.零向量和任一向量的數(shù)量枳為.

⑵性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則①.②當和同向時，；當和反向時，；或.③.

⑶運算律：①：②；③.

⑷坐標運算：設(shè)兩個非零向量，，則.

若，則，或.設(shè)，，則.

設(shè)、都是非零向量，，，是和的夾角，則.

知識鏈接：空間向量

空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾

何中證明，求值的應(yīng)用進行總結(jié)歸納.

1.直線的方向向量和平面的法向量

⑴.直線的方向向量.

若A.B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；和平行

的任意非零向量也是直線的方向向量.

⑵.平面的法向量：

若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，

如果，那么向量叫做平面的法向量.

（3）.平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：

①建立適當?shù)淖鴺讼?

②設(shè)平面的法向量為.

③求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標.

④根據(jù)法向量定義建立方程組.

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.

（如圖）

h用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

（1）線線平行

設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明〃，只需證明〃，即.

即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。

⑵線面平行

①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明〃

,只需證明，即.

即：宜線和平面平行支線的方向向量和該平面的法向量垂宜且宜線在平面

外

②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量和已

知直線的方向向量是共線向量即可.

⑶面面平行

若平面的法向量為，平面的法向量為，要證〃，只需證〃

,即證.

即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。

3.用向量方法判定空間的垂宜關(guān)系

⑴線線垂直

設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.

即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。

⑵線面垂克

①（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只

需證明〃，即.

②（法二）設(shè)宜線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個相交向量分別為，若

即：直線和平面垂直直線的方向向量和平面的法向量共線直線的方向向量

和平面內(nèi)兩條不共線宜線的方向向量都垂直。

⑶面面垂直

若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證

即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。

4、利用向量求空間角

⑴求異面直線所成的角

已知為兩異面直線，A,C和B,D分別是上的任意兩點，所成的角為，

則

⑵求直線和平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和

這個平面所成的角

②求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線和平面所成的

角為，和的夾角為，則為的余角或的補角

的余角.即有：

⑶求二面角

①定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半

平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做

二面角螭，每個半平面叫做二面角的面

訪入的平面角是指在二面角的棱上任取一點0,分別在兩個半平面內(nèi)

作券整為二面角的平面角.

②求法：設(shè)二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，

二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角

根據(jù)縣住圖形確定…是銳角或是鈍角:

?如果是銳角，則，

即；

如果是鈍角，則，

即.

5.利用法向量求空間距離

⑴點Q到直線,距離

若Q為直線外的一點，在直線上，為直線的方向向量，=,則

點Q到直線距離為

⑵點A到平面且的距離

若點P為平面外一點，點M為平面內(nèi)任一點，

平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的

投影的絕對值.

BPj=|MP||cospJ7P)|

⑶直線巴和平面々之間的距離

當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此

可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點

面距離。

即

(4)兩平行平面a，B之間的距離

利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為

求點面距離。

即

⑸異面直線間的距離

設(shè)向量和兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是

在向量方向上投影的絕對值。

即

6.三垂線定理及其逆定理

⑴三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂

直，那么它也和這條斜線垂直

推理模式：

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

⑵三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂

直，那么它也和這條斜線的射影垂直

推理模式：

概括為：垂直于斜線就垂