專題：計數(shù)原理

1.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.

例五人并排站成一排，如果A3必須相鄰且B在A的右邊，則不同的排法有()

A、60種B、48種C、36種D、24種

2.相離問題插空排:元素相離(即不相鄰)問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的

幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.

例2.七人并排站成一行.如果甲7,兩個必須不相鄰,那么不同的排法種數(shù)是()

A、144()種B、3600種C、4820種D、4800種

例3.已知集合A={1,2,3,,19,20},集合8={4，%必，4}，且8uA,若|《一%|wl(i,)=1,2,3,4),

則滿足條件的集合B有多少個？

3.定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.

例4.(1)A.B,C,D,E五人并排站成一排，如果8必須站在A的石邊(A,B可以不相鄰)那么不同的排法有

()

A、24種B、60種C、90種D、12()種

(2)由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有()

A、21()種B、30()種C、464種D、600種

4.標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如

此繼續(xù)下去，依次即可完成.

例5.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填

數(shù)字均不相同的填法有()

A、6種B、9種C、11種D、23種

5.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.

例6.(1)有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，

不同的選法種數(shù)是()

A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種

(2)12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有()

A、品C；。：種B、種C、種D、配。產(chǎn)種

6.全員分配問題分組法：

例7.(1)4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？

(2)5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為()

A、480種B、240和C、120種D、96種

7.名額分配問題隔板法：

例8：10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？

例9.馬路上有編號為1,2,3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不

能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少利

8.限制條件的分配問題分類法：

例10.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、

司機(jī)四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都

能勝四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是

A.1S2R.126,C.90D.54

9.多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)再相加。

例II(1)從1,2,3…，10()這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法(不

計順序)共有多少種？

(2)從1,2,3....100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少種？

例12.電子表10點20分08秒時，顯示的數(shù)字是10:20:08,那么，從8點到10點內(nèi)，電子表6個

數(shù)碼均不相同的情況有多少種？

10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式

〃(AuB)=〃(A)+B)-〃(/1cB)

例13.從6名運(yùn)動員中選出4人參加4x100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑笫四棒，共有多少種不同

的參賽方案？

11.定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。

例14.現(xiàn)1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？

12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。

例15.(1)6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是()

A、36種B、12()和C、72()種D、1440種

(2)8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，

有多少種不同排法？

13#至少，，“至多”問題用間接排除法或分類法：

例16.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共

有()A、140種B、80種C、70種D、35種

14.選排問題先取后排:從兒類元素中取出符合題意的兒個兀素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例17.(1)四個不同球放入編號為1,2,3,4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？

(2)9名乒乓球運(yùn)動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要從中選4人進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的

選法？

15.幾何問題：

例18.(1)以正方體的頂點為頂點的四面體共有()

A、70種B、64和C、58種D、52種

（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）

A、150種B、147種C、144種D、141種

（3）記正方體的各條棱的中點構(gòu)成的集合為M,則過且僅過集合M的三個點的平面有多少個？

（4）正方體8個頂點可連成多少對異面直線？

16.圓排問題單排法:把〃個不同元素放在圓周〃個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法

才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于

只計順序而無首位、末位之分，下列〃個普通排列：

《,藥，生，凡，；%，4，在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認(rèn)為相同，〃

個元素的圓排列數(shù)有里種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的〃-1元素全排列.

n

例19.有5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？

17.可重復(fù)的排列求籍法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排

元素的位置，一般地〃個不同元素排在m個不同位置的排列數(shù)有mn種方法.

例20.把6名熨習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？

19.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法：

例21.某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需

要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方法有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

例22.從1到100的一百個自然數(shù)中，每次取出兩個數(shù)，使其和大于100,這樣的取法共有多少種？

20.復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法：

例23.⑴30030能被多少個不同偶數(shù)整除?

（2）設(shè)4，4，…，%是由1，2,…，〃的一個排列，把排在外的左邊且比q小的數(shù)的個數(shù)稱為4的順序數(shù)

（i=l,2,如在排列6,4,5,321中，5的順序數(shù)為1,3的順序數(shù)為0.則在由1,2,,8這八

個數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時滿足8的順序數(shù)為2、7的順序數(shù)為3、5的順序數(shù)為3的不同排列

的種數(shù)為多少？

21.利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問

題處理.

例24.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點最多有多少個？

（2）某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從A到B的最短

路徑有多少種？

22.全錯位排列問題公式法:全錯位排列問題（賀卡問題，信封問題）記住公式即可

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：用A、B、C……表示寫著n位友人名字的信封，a、b、c……

表示n份相應(yīng)的寫好的信紙。把錯裝的總數(shù)為記作f(n)。假設(shè)把a(bǔ)錯裝進(jìn)B里了，包含著這個錯誤的一切錯

裝法分兩類：

(1)b裝入A里，這時每種錯裝的其余部分都與A、B、a、b無關(guān)，應(yīng)有f(n-2)種錯裝法。

(2)b裝入A、B之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把(除a之外的)n-1個信紙b、c……裝入(除

B以外的)n-l個信封A、C……，顯然這時裝錯的方法有f(n-l)種。

總之在a裝入B的錯誤之下，共有錯裝法f(n-2)+f(n-l)種。a裝入C,裝入D……的11-2種錯誤之下，同

樣都有f(n-2)+f(n-l)種錯裝法，因此得到一個遞推公式:f(n)=(n-l)?[f(n-l)+f(n-2)],分別帶入n=2、3、4

等可推得結(jié)果。也可用迭代法推導(dǎo)出一般公式：=++……+(-lf-]

1!2!3!〃!

例25.設(shè)有編號為I,2,3,4,5的五個球和編號為I,2,3,4,5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求

每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？

例26、5位同學(xué)原來坐成?排，現(xiàn)讓他們重新坐，則至多有兩位同學(xué)坐在其原來的位置的不同的坐法是多

少？

23.多人傳球問題：(構(gòu)造遞推關(guān)系)

例27、〃個人傳球，第一次由q開始傳球，可傳給其他任何一個人，第二次由拿球

者再傳給其他任何一個人，如此繼續(xù)，則第攵次球仍回到可的手中的傳球方法種數(shù)是多少？

24.上臺階問題：

例28、10級臺階，某人可一步跨一級，也可跨兩級，也可跨三級。

(1)他6步就可上完臺階的方法數(shù)是多少？

(2)他_1_完臺階的方法總數(shù)是多少？

25.方程的正整數(shù)解的個數(shù)問題：(隔板法)

例29.方程M+W+…+七=4Qk,neN*,&2〃)的正整數(shù)解有多少個？有多少非負(fù)整數(shù)解個？

例30.將20個完全相同的球放入編號為1,2,3,4,5的五個盒子中。

(1)若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？

(2)若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？

(3)若要求每個盒子放的球的個數(shù)不小于?其編號數(shù)，則一共有多少種放法？

26.配對(配湊)問題：

例31.5雙相異的鞋共10只，現(xiàn)隨機(jī)地取出6只，恰好能配成2雙鞋的取法是多少？

例32.50名選手參加乒乓球淘汰賽比賽，需要打多少場才能產(chǎn)生冠軍？淘汰賽比賽規(guī)則是:要淘汰1名選手必

須進(jìn)行1場比賽;反之,每進(jìn)行1場比賽則淘汰I名選手。

例33.有11名翻譯人員，其中5名是英語翻譯人員，4名是日語翻譯人員，另2人英、日語均精通?，F(xiàn)從

中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，則有多少種不同的選派方式？

27.染色問題:

例34.把圓分成10個不相等的扇形，并且用紅、黃、藍(lán)三種顏色給扇形染色，但不允許相鄰的扇形有相同的

顏色，問共有多少種染色法？

例35.在如圖所示的六個空格里涂上紅黃藍(lán)三種顏色，每種顏色只能涂兩次，~~~~~~—

要求相鄰空格不同色，請問一共有多少種涂法？?1日|3|415

例36.某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)

要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣/、

kx

顏色的花，則不同的栽種方法有多少種？0

（變式：若要栽種5種顏色的花？）

排列組合問題經(jīng)典題型答案

1.解析：把視為?人，且B固定在人的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A：=24種，答案：D.

2.解析:除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種,再用甲乙去插6個空位有4種，不同的排法種數(shù)是反反=3600

種，選B.

3.易知q,%，%，％互不相等且不相鄰，則有。：=2380。

4.解析：（1）B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的?半，

即;父二60種，選從

（2）按題意，個位數(shù)字只可能是0,I,2,3,4共5種情況，分別有個，

個，合并總計300個，選6（g（押-8）=300種）

5.解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格,

又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3x3xl=9種填法，選3.

6.解析：（1）先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外

的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有C*C：C；=2520種，選C.

（2）答案：A.

7.（1）=36

（2）C；A：=240,答案：B.

8.解析：10個名額分到7個班級，就是把1（）個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以

在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為

C；=84種.

9.解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C；種方法，所以滿足條件

的關(guān)燈方案有10種.

說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題

容易解決.

10.

【解析】分類討論：若有2人從事司機(jī)工作，則方案有C；X&=18；若有1人從事司機(jī)

工作，則方案有優(yōu)=108種，所以共有13-108=126種，故B正確y

11.解析：(1)解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)

組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A=｛7,14,21.98)共有14個兀素，不能被7整除的數(shù)組

成的集合記做N=｛1,2,3,4,,100｝共有86個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有C1,從A中

任取一個，乂從印中任取一個共有。：以6,兩種情形共符合要求的取法有。［+。：4。；6=1295種.

(2)解析：將/=｛1,2,3…,100｝分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A=｛4,8,12,100｝；能

被4除余1的數(shù)集B=｛1,5,9,97｝,能被4除余2的數(shù)集C=｛2,6,,98｝,能被4除余3的數(shù)集

D=｛3,7,11,99｝，易見這四個集合中每一個有25個元素：從4中任取兩個數(shù)符合要；從8,0中各取一個

數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有

諼+。；5。；5+《5=1225種.

12.解：⑴08：ab：cd，其中a、c位可填1,2,3,4,5；b、d位可填1,2,345,6,7,9.

(2)09：ab：cd，其中a、c位可填1,2,3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,678.

先填a、c,再填b、d,共28反=1200

13解析：設(shè)全集二｛6人中任取4人參賽的排列｝,A=｛甲跑第一棒的排列｝,B=｛乙跑第四棒的排列｝,根

據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：

〃⑺一成A)-“(B)+mAcB)=父-￡-￡+E=252種.

14.解析：老師在中間三個位置上選?個有A：種，4名同學(xué)在其余4個位置上有A：種方法；所以共有

A；A：=72種。.

15.解析：(1)前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共用=720種，選

C.

(2)解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A：種，某1個元素排在后半段的

四個位置中選?個有A：種，其余5個元素任排5個位置［二有點種，故共有A：A：6=5760種排法.

16.解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取

法共有C；一C：-C；=70種，選.C

解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型I臺乙型2臺；甲型2臺乙型I臺；故不同

的取法有+=70臺，選C.

17.解析：(1)先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有

種,故共有團(tuán)=144種.

(2)先取男女運(yùn)動員各2名，有CC種，這四名運(yùn)動員混和雙打練習(xí)有否中排法，故共有&=120

種.

18.解析：(1)正方體8個頂點從口每次取四點，理論上可構(gòu)成C：四面體，但6個表面和6個對角面的四個

頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C；-12=58個.

(2)解析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面II勺有三種情況：①在四面體的四個面上，每

面內(nèi)四點共面的情況為C；,四個面共有4C；個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上

三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是C,t-4C：-3-6=141種.

⑶56個。8+1x4x6+2x2x6=560

①一個面內(nèi)取GH兩點，另一個點取F時，即8個角；

②一個面內(nèi)取GH兩點，另一個點取KH寸，2x2x6=24個；

③?個面內(nèi)取HI兩點，那另一個點只能取A或C,2x2x6=24個

(4)因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構(gòu)成多少個不同的四面體，

從正方體8個頂點中任取四個頂點構(gòu)成的四面體有C；-12=58個，所以8個頂點可連成的異面直線有

3x58=174對.

19.解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A：種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊

和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24x25=768種不同站法.說明：從〃個不同元素中取出m個元素

作圓形排列共有_1千種不同排法.

20.解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實

習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種不同方案.

x>3,y>2

21.解析：C。設(shè)購買軟件x片、磁盤），盒，則（60大+70y?500,所以x=3,y=2,3,4；x=4,y=2,3,4；

x,yeN

x=5,y=2o故共7種。

22.解析：2（1+2++49）+50=2500（包括兩個數(shù)不同和相同的情形?。?/p>

23.解析：（1）先把30030分解成而因數(shù)的形式：30030=2x3x5x7x11x13：依題意偶因數(shù)2必取,3.5.7.

11,13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，所有的偶因數(shù)為

C；+C；+C；+C：+C；+C；=32個（或>25=32）.

（2）分析知7必排在8之后，5必排在7之后.且8的前面只有2個數(shù)，8、7之間只有一個小于7的數(shù)，6

或在7之前，或在7、5之間，或在5之后。

第一種情況：6在7之前，形如：##8#7#5#,。；禺二72；

第2種情況：6在7、5之間，形如：##8#765#,=24；

第3種情況：6在5之后，形如：##8#75##,C；A：=48

所以共144種。

24.解析：（1）因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條

弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有個，

所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有=210個.

（2）解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從4到8最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3

段：而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有

C：=35種.

25.解析：從5個球中取出2個與盒子對號有種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用枚舉法分

析，如果剩下3,4,5號球與3,4,5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4,

5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4,5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因

此總共裝法數(shù)為2C；=20種.

26解：錯排問題，分類解決：C"⑸+C"（4）+C；/（3）=109

27.解析：設(shè)第攵次球仍回到q的手中的傳球方法種數(shù)是由，則4=0,%=〃-1，且4=（〃一1）1一。1，

所以《_，?（〃_1）人=T%t—，,（〃-1）&T]n七=（"[）'+（-'.（”D（AwN*）。

nnn

x=2,3,4

x+y+z=6

28.解析：(1)設(shè)跨1級、2級、3級的步數(shù)分別為x,y,z,則，解得?y=4,2,0,故方

x+2y+3z=10

z=0,l,2

法數(shù)為C；+C；C；+C；=15+60+15=90

(2)設(shè)上完n級臺階的方法數(shù)為了(〃)，則/⑴=1"⑵=2"⑶=4,且

fW=/(?-1)+/(/?-2)+/(?]-3)(〃>4)，

/./(4)=7,/(5)=13,/(6)=24,/(7)=44,/(8)=81,/(9)=149,/(10)=274

29.解析：C；：；；。二3

30.解析：(1)C,t=3876；(2;;(3)先在編號為1,2,3,4,5的五個盒子中依次放入0.1,2,3,4

個球，再只要保證余下的10個球每個盒子至少放一個，則