TheFiniteVolumeMethodforOne-Dimensional

DiffusionProblems

LProblemof1-dimensionalSteady-StateSource-freeHea

Conduction

Considertheproblemofsource-freeheatconductioninaninsulatedrodwhose

endsaremaintainedatconstanttemperaturesof100℃and500*Crespectively.

Theone-dimensionalproblemsketchedintheFigure1isgovernedby

Calculatethesteadystatetemperaturedistributionintherod.Thermal

conductivitykequalslOOOW/m/K,cross-sectionalareaAis10*2m2.

A-

TA=100

Fig.1PhysicalModel

1網(wǎng)格劃分

條件

L-0.5w,Ax=L/5=0.1/n,

k=\OOOW/m/K.

TA=l()0℃,TB=500℃

A=\O-2m2

2方程離散

求解域內(nèi)共有5個節(jié)點，節(jié)點2、3、4的離散方程:

4TP=OTW+醫(yī)力工+

卜忌人』\^XWP

由于ke=kw=k.,dxPe=Sxwp=A,=Aw=A均為常數(shù)，因此對節(jié)點2、3、4有離散

方程：

aPTP=awTw+aETE

式中ci——Acig=—A>cip=(i+aF、

wdxy&w

Th:TpTpTa

節(jié)點1的離散方程：keA(~-kwAw~=0

^XPE胡八P

?小00十占兒

A”.

可寫為：apTp=awTw+aETE+S“

(2k、

S一工AS“=—^A.T

?尸一Sdr，〃uA

同理，節(jié)點5的離散方程就A，組二"一三4〃-o

CcC*?vH'Q

PM

可寫為：apTp=awTw+aETE+SH

k

其中=0，a卬=."Ai，ap=aw+aE.Sp,

的yp

所以得到各節(jié)點的ap,Se,SP的值

各節(jié)點離散方程系數(shù)

Sp

節(jié)點、awCIEsuap=aw+ciE-Sp

rk

10-2—A2—AT；3—A

Sx蜃今八涼

2%蜃匕002—A

3-A口002—A

Sx&c

乙4

4涼002—A

5院0-2—A2—AT3,—kAx

8xB〃6x

即:

awC1ESpSuap=aw+aE-Sp

10100-2002007；300

210010000200

310010000200

410010000200

51000-200200〃300

從而得下述代數(shù)方程組

3007；=1007；+200T4

2007；=1007；+1007；

<200T.=1007；+100T,

2007；=1007；+1007；

3007；=1007；+200Tfi

寫成矩陣形式有：

■300-100000下一-200T/

-100200-100000

T2

0-100200-10000

00-100200-100北0

000-100300工一2007g

將小1007廣二5(X)代入，解得此方程組為

7n-140-

220

T2

R=300

TA380

工.460

3程序

c程序內(nèi)容如下：

#include"stdafx.h"

#include<stdio.h>

#defineN5

intmain()

(

inti;

doubleGL,TA,TB,dx,k,Area,Lenth;

doubleAW[N+1]JAE[N+1]JAP[N+1],SP[N+1]>SU[N+1];

double

a[N+l],b[N+l],C[N+l],f[N+l],M[N+l],L[N+l],U[N+l],Y[N+l],T[N+I]；

Lenth=0.5;//長度

TA=100;〃西邊界溫度

TB=500;//東邊界溫度

dx=Lenth/N;〃網(wǎng)格寬度

k=1000;〃導熱系數(shù)

Area=0.01;〃截面積

〃第一點計算

AW[1]=0.0；

AE[l]=k*Area/dx;

SP[l]=-2*k*Area/dx;

SU[l]=2*k*Area/dx*TA;

//最后一點計算

AW[N]=k*Area/dx;

AE[N]=0.0;

SP[N]=-2*k*Area/dx;

SU[N]=2*k*Area/dx*TB;

//中間點計算

for(i=2;i<=N-l;i++)

{

AW[i]=k*Area/dx;

AE[i]=k*Area/dx;

SP[i]=0.0;

SU[i]=0.0;

)

〃計算Ap

for(i=l;i<=N;i++)AP[i]=AW[i]+AE[i]-SP[i];

〃三對角方程組追趕法求解

for(i=l;i<=N;i++)

{

a[i+l]=-AE[i];

b[i]=AP[i];

c[i]=-AW[i+l];

f[i]=5U[i]；

)

for(i=l;i<=N-l;i++)

U[i]=c[i];

L[l]=b[l]；

for(i=2;i<=N;i++)

{M[i]=a[i]/L[i-1];

L[i]=b[i]-M[i]*U[i-l]；)

for(i=2;i<=N；i++)

T[N]=Y[N]/L[N];