過教材要點(diǎn)概覽勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理,已知三角形是直角三角形,可得到三邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系,是由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化,可以已知兩邊求第三邊;而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,已知三角形三邊的數(shù)量關(guān)系滿足a2+b2=c2,得到三角形是直角三角形,且最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為

,是由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化,可以用來判定直角三角形或兩條線段互相垂直.

3勾股定理的應(yīng)用直角精講練新知探究探究點(diǎn)勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用例題如圖所示,在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A,B,其中AB=AC,由于某種原因,由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通,該村為方便村民取水,決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D(A,D,B在同一條直線上),并新修一條路CD,測(cè)得CB=6.5km,CD=6km,BD=2.5km.(1)說明:CD⊥AB;解:(1)因?yàn)镃B=6.5km,CD=6km,BD=2.5km,62+2.52=6.52,所以CD2+BD2=CB2.所以△CDB為直角三角形且∠BDC=90°.所以CD⊥AB.(2)求原來的路線AC的長(zhǎng).解:(2)設(shè)AC=xkm,則AD=(x-2.5)km.因?yàn)镃D⊥AB,所以∠ADC=90°.所以CD2+AD2=AC2,即62+(x-2.5)2=x2,解得x=8.45.答:原來的路線AC的長(zhǎng)為8.45km.鞏固訓(xùn)練1.(2025淄博期末)如圖所示,已知釣魚竿AC的長(zhǎng)為10m,露在水面上的魚線BC長(zhǎng)為6m,某釣魚者想看看魚鉤上的情況,把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC′的位置,此時(shí)露在水面上的魚線B′C′為8m,則BB′的長(zhǎng)為()A.1m B.2m C.3m D.4mB2.一塊木板如圖所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,則此木板的面積為

.

243.如果只給你一把帶刻度的直尺,你能否檢驗(yàn)∠MPN是不是直角?簡(jiǎn)述你的作法.解:能.作法如下(如圖所示):①在射線PM上截取PA=3cm,確定A點(diǎn),在射線PN上截取PB=4cm,確定B點(diǎn).②連接AB得△PAB.③用刻度尺量取AB的長(zhǎng)度,若AB恰為5cm,則說明∠MPN是直角,否則∠MPN不是直角.(答案不唯一)知識(shí)點(diǎn)一勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1.如圖所示,有兩棵樹,一棵高8m,另一棵高2m,兩樹相距8m,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢,則它至少要飛行()A.7m B.8m C.9m D.10m基礎(chǔ)鞏固練013勾股定理的應(yīng)用D2.如圖所示,某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器,離地的高度AB為2.1米,當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí),感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開.一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門,緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)(BC=1.2米),感應(yīng)門自動(dòng)打開,則此時(shí)人頭頂離感應(yīng)器的距離AD為()A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米B3.如圖所示是一透明圓柱狀玻璃杯,從內(nèi)部測(cè)得底面半徑為6cm,高為16cm,今有一根長(zhǎng)22cm的吸管任意放入杯中,若不計(jì)吸管粗細(xì),則吸管露在杯口外的長(zhǎng)度最少為

cm.

24.如圖所示,AB為一棵大樹,在樹上距地面10m的D處有兩只猴子,它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果,一只猴子從D處上爬到樹頂A處,利用拉在A處的滑繩AC滑到C處,另一只猴子從D處滑到地面B,再由B跑到C,已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m,求樹高AB.解:設(shè)AD=xm,則AB=(10+x)m,AC=(15-x)m,BC=5m.在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理,得(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2.所以樹高AB=10+2=12(m).知識(shí)點(diǎn)二勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用5.兩艘輪船從同一港口同時(shí)出發(fā),甲船時(shí)速40海里,乙船時(shí)速30海里,兩個(gè)小時(shí)后,兩船相距100海里,已知甲船的航向?yàn)楸逼珫|46°,則乙船的航向?yàn)?)A.南偏東44°B.北偏西44°C.南偏東44°或北偏西44°D.無法確定C6.如圖所示,南北方向的領(lǐng)海線PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海區(qū)域,以西為公海.某日22時(shí)30分,我邊防巡邏艇A發(fā)現(xiàn)其正西方向有一可疑船只C向我國(guó)的領(lǐng)?？拷?便立即通知正處于PQ上的巡邏艇B注意其動(dòng)向.經(jīng)觀測(cè),發(fā)現(xiàn)A艇與可疑船只C之間的距離為10海里,A,B兩艇之間的距離為6海里,B艇與可疑船只C之間的距離為8海里.若該可疑船只的航行速度為12.8海里/時(shí),則它最早可在何時(shí)進(jìn)入我國(guó)的領(lǐng)海區(qū)域?能力提升練027.如圖所示,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻腳的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米.若保持梯子底端位置不變,將梯子斜靠在右墻,頂端距離地面2米.則小巷的寬度為()A.0.7米 B.1.5米C.2.2米 D.2.4米C8.如圖所示,在離水面高度為8m的岸上,有人用繩子拉船靠岸,開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17m,幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置,此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10m,則船向岸邊移動(dòng)了

m.

99.如圖所示,一架25m的云梯AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO為24m.(1)求這架梯子的底端到墻的距離OB;解:(1)由題意可知∠O=90°,在Rt△AOB中,因?yàn)锳B=25m,AO=24m,所以O(shè)B2=AB2-AO2=252-242=49,所以O(shè)B=7m.(2)當(dāng)BD=8m時(shí),AC的長(zhǎng)是多少米?解:(2)因?yàn)镺B=7m,BD=8m,所以O(shè)D=15m.又因?yàn)镃D=25m,所以O(shè)C2=252-152=400,所以O(shè)C=20m.因?yàn)锳O=24m,所以AC=AO-OC=4m.素養(yǎng)培優(yōu)練0310.如圖所示,鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交會(huì).公路PQ上A處距離O點(diǎn)240m,距離MN這條鐵路120m.如果火車行駛時(shí),周圍200m以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響,那么火車在鐵路MN上沿ON方向以72km/h的速度行駛時(shí):(1)A處受噪聲影響嗎?請(qǐng)說明理由.解:(1)A處受噪聲影響.理由如下:因?yàn)榛疖囆旭倳r(shí),周圍200m以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響,A處到MN的距離為120m,120<200,所以A處會(huì)受到噪聲的影響.(2)若受影響,受影響的時(shí)間是多少?解:(2)如圖所示,過點(diǎn)A作AC⊥MN,AB=AD=200m.因?yàn)锳B=200m,AC=120m,所以BC2=AB