思維導(dǎo)圖專題02函數(shù)及其圖象思維導(dǎo)圖變量與函數(shù)函數(shù)的圖象一次函數(shù)反比例函數(shù)實(shí)踐與探索一、變量與函數(shù)1.函數(shù)的定義：一般的，在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)數(shù)值y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們說(shuō)x叫做自變量，y叫做因變量，y叫做x的函數(shù)。2.自變量的取值范圍：（1）能夠使函數(shù)有意義的自變量的取值全體。（2）確定函數(shù)自變量的取值范圍要注意以下兩點(diǎn)：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中有實(shí)際意義。（3）不同函數(shù)關(guān)系式自變量取值范圍的確定：函數(shù)關(guān)系式為整式時(shí)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；函數(shù)關(guān)系式為分式時(shí)自變量的取值范圍是使分母不為零的全體實(shí)數(shù)；函數(shù)關(guān)系式為二次根式時(shí)自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于或等于零的全體實(shí)數(shù)。3.函數(shù)值：當(dāng)自變量取某一數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。二、平面直角坐標(biāo)系1.各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)P（x，y）在第一象限，x>0，y>0。（2）點(diǎn)P（x，y）在第二象限，x<0，y>0。（3）點(diǎn)P（x，y）在第三象限，x<0，y<0。（4）點(diǎn)P（x，y）在第四象限，x>0，y<0。2.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)P（x，y）在x軸上，x為任意實(shí)數(shù)，y=0。（2）點(diǎn)P（x，y）在y軸上，x=0，y為任意實(shí)數(shù)。3.關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）。（2）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）。（3）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）。4.兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)P（x，y）在第一、三象限夾角平分線上，x=y。（2）點(diǎn)P（x，y）在第二、四象限夾角平分線上，x+y=0。5.與坐標(biāo)軸平行的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：位于平行于x軸的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。6.點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（1）點(diǎn)P（x，y）到x軸的距離為|y|。（2）點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)軸的距離為|x|。三、函數(shù)的圖像函數(shù)圖像上的點(diǎn)與其解析式的關(guān)系：1.函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)P（x，y）中的x、y滿足函數(shù)關(guān)系式，滿足函數(shù)關(guān)系式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值（x，y）都在函數(shù)的圖像上。2.判斷點(diǎn)P（x，y）是否在函數(shù)圖像上的方法：將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）代入函數(shù)關(guān)系式，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，那么這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足函數(shù)關(guān)系式，那么這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖像上。四、一次函數(shù)1.一次函數(shù)的定義：含有自變量的式子為一次整式，即形如式子y=kx+b（其中k和b為常數(shù)，k≠0）叫做一次函數(shù)。2.正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y=kx+b中如果b=0即變?yōu)閥=kx（其中k≠0），這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。3.一次函數(shù)的圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b；正比例函數(shù)y=kx的圖像也是一條直線，稱為直線y=kx。4.一次函數(shù)的性質(zhì)：（1）正比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大，直線y=kx從左到右上升；當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小，直線y=kx從左到右下降。（2）一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx+b從左到右上升，此時(shí)y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx+b從左到右下降，此時(shí)y隨x的增大而減小；當(dāng)b>0時(shí)，直線y=kx+b與y軸正半軸相交；當(dāng)b<0時(shí)，直線y=kx+b與y軸負(fù)半軸相交。五、一次函數(shù)的應(yīng)用1.解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：（1）審題：弄清題意。（2）找出等量關(guān)系：分析題目中數(shù)量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。（3）設(shè)未知數(shù)：用字母表示題目中的未知數(shù)。（4）列出函數(shù)關(guān)系式：根據(jù)題目中給出的條件列出函數(shù)關(guān)系式。（5）找出自變量的取值范圍：根據(jù)題目中給出的實(shí)際情況找出自變量的取值范圍。（6）求值：根據(jù)自變量的取值和函數(shù)關(guān)系式求出函數(shù)值。2.分段函數(shù)：在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要根據(jù)不同的條件求出不同的函數(shù)關(guān)系式，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。六、二元一次方程組與一次函數(shù)1.二元一次方程組的圖像解法：利用二元一次方程組的解和一次函數(shù)圖像的關(guān)系，將方程組的解轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。2.利用一次函數(shù)圖像求二元一次方程組的近似解：先畫出一次函數(shù)的圖像，找出兩直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)的坐標(biāo)即為方程組的近似解。七、反比例函數(shù)1.反比例函數(shù)的定義：形如y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。2.反比例函數(shù)的圖像：反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，當(dāng)k>0時(shí)，圖像位于第一、三象限，當(dāng)k<0時(shí)，圖像位于第二、四象限。3.反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k<0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。難點(diǎn)強(qiáng)化一、從函數(shù)圖象獲取信息1．小賢向各種空水壺內(nèi)勻速注水，壺內(nèi)水的深度（單位：）與注水時(shí)間（單位：s）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，選項(xiàng)中是各種水壺的主視圖，則小賢使用的水壺的形狀大致是（

）A． B．C． D．A． B．C． D．3．如圖，長(zhǎng)方體鐵塊懸掛在彈簧秤下面，并完全浸沒(méi)在盛有水的水槽內(nèi)部，現(xiàn)勻速向上提起鐵塊（不考慮水的阻力），直至鐵塊完全露出水面一定高度，則彈簧秤的讀數(shù)（單位：）與鐵塊被提起的高度（單位：）之間的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．難點(diǎn)強(qiáng)化二、幾何與函數(shù)圖象結(jié)合A．12 B．13 C．17 D．18A． B． C． D．難點(diǎn)強(qiáng)化三、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的最值問(wèn)題A．4 B． C． D．5【探索研究】1232（1）表格中___________，___________．【問(wèn)題解決】難點(diǎn)強(qiáng)化四、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的解決應(yīng)用1．無(wú)人機(jī)表演隊(duì)在進(jìn)行表演訓(xùn)練，甲無(wú)人機(jī)以一定的速度從地面起飛，勻速上升6s時(shí)，到達(dá)訓(xùn)練計(jì)劃指定的高度停止上升，保持此高度并開始第一次表演，完成表演動(dòng)作后，按原速繼續(xù)飛行上升，當(dāng)甲無(wú)人機(jī)按照訓(xùn)練計(jì)劃準(zhǔn)時(shí)到達(dá)距離地面的高度96m時(shí)，進(jìn)行了第二次表演，表演完成后以一定的速度返回地面．下面給出的圖象反映了這個(gè)過(guò)程中甲無(wú)人機(jī)距離地面的高度與它飛行的時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，回答下列問(wèn)題：(1)①填表：甲無(wú)人機(jī)飛行的時(shí)間/s163039所在的位置距離地面的高度/m48(2)現(xiàn)有新的訓(xùn)練計(jì)劃（甲無(wú)人機(jī)保持原訓(xùn)練計(jì)劃不變），在甲無(wú)人機(jī)開始第一次表演5秒后，有乙無(wú)人機(jī)從距離地面48米高的樓頂起飛，勻速上升并和甲無(wú)人機(jī)同時(shí)到達(dá)距離地面96米的高度，并開始與甲無(wú)人機(jī)進(jìn)行聯(lián)合表演，表演結(jié)束后，兩機(jī)都以相同的速度同時(shí)返回地面．問(wèn)乙無(wú)人機(jī)出發(fā)多久時(shí)，甲無(wú)人機(jī)和乙無(wú)人機(jī)距離地面的高度差為10米？（直接寫出結(jié)果即可）(1)將表格補(bǔ)全（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；010016020030035040045050001.52.44.55.36.37.813.5(2)通過(guò)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與之間的關(guān)系．在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)圖象；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖像，解決下列問(wèn)題：01234567．．．21.51.20.750.6．．．①表格中的___________；(2)該小組綜合圖2和圖3發(fā)現(xiàn)，隨著的增大而___________；（填“增大”或“減小”）難點(diǎn)強(qiáng)化五、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的特殊三角形(1)求反比例函數(shù)的解析式；(1)求點(diǎn)、的坐標(biāo)以及直線的解析式；根據(jù)以上信息回答問(wèn)題難點(diǎn)強(qiáng)化六、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的特殊四邊形(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(3)已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上．若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求證：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；①點(diǎn)C的坐標(biāo)為；難點(diǎn)強(qiáng)化七、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的角度問(wèn)題(1)求直線的解析式．(1)請(qǐng)寫出的解析式和B、C點(diǎn)坐標(biāo)．難點(diǎn)強(qiáng)化八、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的定值與不變問(wèn)題(3)如圖3，若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，直線交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)P點(diǎn)在x軸上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)判斷：線段和線段中，哪條線段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；難點(diǎn)強(qiáng)化九、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的新定義1．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三個(gè)點(diǎn)、、我們給出如下定義：“橫長(zhǎng)”是指三點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值與最小值的差，“縱長(zhǎng)”是指三點(diǎn)中縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差，若三個(gè)點(diǎn)的橫長(zhǎng)與縱長(zhǎng)相等，我們稱這三點(diǎn)為正方點(diǎn)．【探究應(yīng)用】【拓展延伸】3．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于，兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于點(diǎn)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和，則稱，兩點(diǎn)為軸距等點(diǎn)．例如，圖中的，兩點(diǎn)即為軸距等點(diǎn)．①點(diǎn)的坐標(biāo)可以是_____（寫出一個(gè)即可）；②將點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)仍為軸距等點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____；難點(diǎn)強(qiáng)化十、一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的絕對(duì)值如表y與x的幾組對(duì)應(yīng)值：x…01234…y…13531…(1)根據(jù)絕對(duì)值的意義將函數(shù)F的解析式化簡(jiǎn)：(2)在下邊的平面直角坐標(biāo)系中直接畫出函數(shù)F的圖象；②若直線l與函數(shù)F的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍________．(1)列表：x…0123…y…m01n1234…其中，_________，_________．(2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示，請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象．(3)研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問(wèn)題：A． B． C． D．3．（2024·四川廣安·中考真題）向如圖所示的空容器內(nèi)勻速注水，從水剛接觸底部時(shí)開始計(jì)時(shí)，直至把容器注滿．在注水過(guò)程中，設(shè)容器內(nèi)底部所受水的壓強(qiáng)為（單位：帕），時(shí)間為（單位：秒），則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（

）

A． B．C． D．A．5 B．7 C． D．9．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）小王前往距家2000米的公司參會(huì)，先以（米/分）的速度步行一段時(shí)間后，再改騎共享單車直達(dá)會(huì)議地點(diǎn)，到達(dá)時(shí)距會(huì)議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與距家的時(shí)間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，則他到達(dá)時(shí)距會(huì)議開始還有分鐘．

(1)求一次函數(shù)的解析式；11．（2024·四川·中考真題）端午節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日，有吃粽子的習(xí)俗．節(jié)日前夕，某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B兩種粽子共200盒進(jìn)行銷售．經(jīng)了解，進(jìn)價(jià)與標(biāo)價(jià)如下表所示（單位：元/盒）：種類進(jìn)價(jià)標(biāo)價(jià)A90120B5060(1)設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A種粽子x盒，銷售兩種粽子所得的總利潤(rùn)為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不必寫出自變量x的取值范圍）；(2)若購(gòu)進(jìn)的200盒粽子銷售完畢，總利潤(rùn)不低于3000元，請(qǐng)問(wèn)至少需要購(gòu)進(jìn)A種粽子多少盒？12．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）羅江糯米咸鵝蛋是德陽(yáng)市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，至今有200多年歷史，采用羅江當(dāng)?shù)亓窒吗B(yǎng)殖的鵝產(chǎn)的散養(yǎng)鵝蛋，經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．為了迎接端午節(jié)，進(jìn)一步提升糯米咸鵝蛋的銷量