函數(shù)的概念一、映射

如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一種元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),那么這種對應(yīng)叫做集合A到集合B的映射,記作f:A→B.二、一一映射

如果f:A→B是集合A到集合B的映射,對于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象,且B中的每一種元素都有原象,那么這種映射叫做一一映射.若

a∈A,b∈B,且

a

和

b

對應(yīng),則稱

b

是

a

的象,a

是

b

的原象.三、函數(shù)設(shè)A,B是兩個(gè)非空數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一種數(shù)x,在集合B中都有唯一擬定的數(shù)和它對應(yīng),那么稱f:A→B為集合A到B的一種函數(shù).變量

x

叫做自變量,x

取值的集合

A

叫做函數(shù)的定義域;與

x

的值對應(yīng)的

y

的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真擬定該函數(shù)的定義域,函數(shù)的定義域包含三種形式:表達(dá)函數(shù)的對應(yīng)法則有解析法、列表法與圖象法,其中解析法是最基本、最重要的辦法,中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的函數(shù)基本上都能用解析法表達(dá).四、函數(shù)的三要素1.對應(yīng)法則若一種函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間,而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同,這種函數(shù)叫做分段函數(shù).若一種函數(shù)的自變量又是另一種變量的函數(shù):y=f(u),u=g(x),即y=f[g(x)],這種函數(shù)叫做復(fù)合函數(shù).對應(yīng)法則、定義域、值域是函數(shù)的三要素,其中起決定作用的是對應(yīng)法則和定義域.2.定義域①自然型:指使函數(shù)的解析式故意義的自變量x取值的集合(如:分式函數(shù)的分母不為零,偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù),等等);

②限制型:

指命題的條件或人為對自變量

x

的限制,這是函數(shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn),往往也是難點(diǎn),有時(shí)這種限制比較隱蔽,容易出錯(cuò);③實(shí)際型:

解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí),應(yīng)認(rèn)真考察自變量

x

的實(shí)際意義.3.值域①配辦法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù));②鑒別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程);③不等式法(運(yùn)用不等式的多個(gè)性質(zhì));中學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)定能用初等辦法求某些簡樸函數(shù)的值域:注:運(yùn)用初等辦法求函數(shù)的值域經(jīng)常要對函數(shù)的解析式進(jìn)行變換,但必須確保變換的等價(jià)性.否則可能引發(fā)所求值域的擴(kuò)大或縮小.另外,求函數(shù)的值域必須認(rèn)真考察函數(shù)的定義域,如果定義域是閉區(qū)間,則先求得函數(shù)的最大值,最小值,得函數(shù)的值域.④函數(shù)法(運(yùn)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì),或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等).1.求下列函數(shù)的定義域:

典型例題2.已知函數(shù)

f(x)

的定義域?yàn)?/p>

[-

,],求函數(shù)

y=f(x2-x-

)

的定義域.

1212123.已知函數(shù)

f(x)

的定義域是

[a,

b],且

a+b>0,

求下列函數(shù)的定義域:(1)

f(x2);(2)g(x)=f(x)-f(-x);(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0).4.當(dāng)k為什么值時(shí),函數(shù)y=lg(kx2+4kx+3)的定義域?yàn)镽?又當(dāng)k為什么值時(shí),值域?yàn)镽?(,1)∪(1,)∪(,2]321232[-5,-)∪(-,)∪(,5]2

3

23

22

值域?yàn)?/p>

R

時(shí),定義域又如何?(1)

y=+(3-2x)0;2x-x2lg(2x-1)(2)

y=25-x2+lgcosx.[

,0]∪[1,]1-

521+

523.(1):3.(2):[a,-a](a<0

時(shí));{0}(a=0

時(shí)).(a>0

時(shí)原式不定義函數(shù))

3.(3):[a+m,b

-m](m<時(shí));b-a2{}(m=時(shí)).b-a2a+b2(m>時(shí),原式不定義函數(shù))

b-a24.當(dāng)k為什么值時(shí),函數(shù)y=lg(kx2+4kx+3)的定義域?yàn)镽?又當(dāng)k為什么值時(shí),值域?yàn)镽?0≤k<時(shí),函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

R;34k≥

時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?/p>

R.34值域?yàn)?/p>

R

時(shí),定義域又如何?值域?yàn)?/p>

R

時(shí),定義域?yàn)?/p>

(-∞,x1)∪(x2,+∞),其中,x1,x2為一元二次方程

kx2+4kx+3=0

的兩根且x1≤x2.

3.已知函數(shù)

f(x)

的定義域是

[a,

b],且

a+b>0,

求下列函數(shù)的定義域:(1)

f(x2);(2)g(x)=f(x)-f(-x);(3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0).[-

b

,b](a≤0

時(shí));[-

b

,-

a]∪[a,

b](a>0

時(shí)).5.求函數(shù)

y=loga(ax-k·2x)(a>0

且

a≠1)

的定義域.解:要使函數(shù)故意義,必須ax-k·2x>0,得:()

>k(a>0

且

a≠1).a2x(1)若

k≤0,∵()

>0,∴x∈R;a2x③

當(dāng)

a=2

時(shí),若k<1,則

x∈R;若k≥1,則

x

不存在.綜上所述:當(dāng)

k≤0

或時(shí),定義域?yàn)镽;0<k<1,a=2當(dāng)

時(shí),原式不定義函數(shù).k≥1a=2當(dāng)

時(shí),定義域?yàn)?-∞,log

k);k>00<a<2

且

a≠1a2當(dāng)

時(shí),定義域?yàn)?log

k,+∞);k>0a>2a2(2)若

k>0,①

當(dāng)

a>2

時(shí),x>log

k;a2②

當(dāng)

0<a<2

且

a≠1時(shí),x<log

k;a26.已知有關(guān)z的方程lg2z-lgz2+3x=0(x≠0)有兩實(shí)根,,令y=log+log(,>0且,≠1),請把y表達(dá)成x的函數(shù)并求其定義域和值域.解:原方程即為:

lg2z-2lgz+3x=0

(x≠0).由已知可得:△=4-12x≥0,∴

x≤

且

x≠0.13lg

+lg

=2,lg

lg

=3x,∵∴

y=log

+log

=

+