自考線性代數(shù)試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.若\(n\)階方陣\(A\)可逆，則（）A.\(\vertA\vert=0\)B.\(A\)的秩小于\(n\)C.\(A\)的列向量組線性相關(guān)D.\(A\)的行向量組線性無關(guān)3.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,0,1)\)，則該向量組（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.秩為1D.秩為24.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A-B=O\)5.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)的特征值為（）A.1，2，3B.0，1，2C.1，1，2D.2，2，36.若齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解，則系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)（）A.等于未知數(shù)個數(shù)B.大于未知數(shù)個數(shù)C.小于未知數(shù)個數(shù)D.不確定7.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)的值為（）A.4B.8C.16D.328.向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)，\(\alpha_3=(3,6,9)\)的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.09.設(shè)\(A\)是正交矩陣，則\(A^TA\)等于（）A.\(A\)B.\(A^{-1}\)C.\(E\)D.\(0\)10.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)是正定的，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a>0\)B.\(a<0\)C.\(-1<a<1\)D.\(a>1\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩陣的運算，正確的有（）A.\((A+B)^T=A^T+B^T\)B.\((AB)^T=A^TB^T\)C.\((kA)^T=kA^T\)D.\(A^TA\)是對稱矩陣E.\(AA^T\)是對稱矩陣2.下列向量組中，線性相關(guān)的有（）A.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(2,3,4)\)C.\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)D.\(\alpha_1=(1,-1,1)\)，\(\alpha_2=(-1,1,-1)\)E.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,0,0)\)3.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則以下結(jié)論正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)C.\((AB)^2=A^2B^2\)D.\(A^2B=BA^2\)E.\(AB^2=B^2A\)4.關(guān)于方陣\(A\)的特征值與特征向量，下列說法正確的是（）A.不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)B.一個特征值可以對應(yīng)多個特征向量C.特征向量不為零向量D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)E.相似矩陣有相同的特征值5.以下哪些是二次型\(f(x_1,x_2,x_3)\)的矩陣形式（）A.\(f(x_1,x_2,x_3)=X^TAX\)，其中\(zhòng)(X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\)，\(A\)為對稱矩陣B.\(f(x_1,x_2,x_3)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3\)C.\(f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_{ij}x_ix_j\)D.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2\)E.\(f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2\)6.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的行列式B.\(A\)與\(B\)有相同的秩C.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項式D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值E.\(A\)與\(B\)有相同的跡（主對角線元素之和）7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(r(A)=r<n\)，則（）A.\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系含\(n-r\)個解向量B.\(Ax=0\)有無窮多解C.\(Ax=b\)（\(b\neq0\)）可能無解D.\(Ax=b\)（\(b\neq0\)）若有解，則解不唯一E.\(A\)的列向量組線性相關(guān)8.下列矩陣中，屬于初等矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)E.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)9.對于線性方程組\(Ax=b\)，以下說法正確的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)<r(A|b)\)，則方程組無解C.若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），則方程組有唯一解D.若\(r(A)=r(A|b)<n\)，則方程組有無窮多解E.方程組\(Ax=b\)有解的充要條件是\(b\)可由\(A\)的列向量組線性表示10.設(shè)向量\(\alpha=(1,-2,3)\)，\(\beta=(-1,1,0)\)，則（）A.\(\alpha+\beta=(0,-1,3)\)B.\(\alpha-\beta=(2,-3,3)\)C.\(\alpha\cdot\beta=-3\)D.\(\vert\alpha\vert=\sqrt{14}\)E.\(\vert\beta\vert=\sqrt{2}\)判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)不可逆。（）2.向量組中若有零向量，則該向量組一定線性相關(guān)。（）3.兩個\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)，若\(AB=O\)，則\(A=O\)且\(B=O\)。（）4.相似矩陣一定有相同的秩。（）5.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)是正定二次型。（）6.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)是常數(shù)，則\(\vertkA\vert=k\vertA\vert\)。（）7.線性方程組\(Ax=b\)的解的情況只與系數(shù)矩陣\(A\)有關(guān)。（）8.矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩。（）9.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則\(\alpha_1\)一定能由\(\alpha_2,\alpha_3\)線性表示。（）10.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；或\(A\)的秩\(r(A)=n\)；或\(A\)可表示為有限個初等矩陣的乘積。2.求向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)，\(\alpha_3=(3,6,9)\)的秩。答：對矩陣\((\alpha_1^T,\alpha_2^T,\alpha_3^T)\)進行初等行變換，可得\(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，經(jīng)變換后\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)，所以該向量組的秩為1。3.寫出二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2-4x_2x_3+5x_3^2\)的矩陣。答：二次型矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&3&-2\\0&-2&5\end{pmatrix}\)。4.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣。答：先求\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)，伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=-\frac{1}{2}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論線性方程組\(Ax=b\)解的情況與系數(shù)矩陣\(A\)和增廣矩陣\((A|b)\)秩的關(guān)系。答：當\(r(A)=r(A|b)\)時，方程組有解；若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)），有唯一解；若\(r(A)=r(A|b)<n\)，有無窮多解。當\(r(A)<r(A|b)\)時，方程組無解。2.闡述特征值與特征向量在實際問題中的應(yīng)用。答：在實際中，特征值和特征向量可用于圖像處理中的數(shù)據(jù)壓縮，分析圖像的主要特征；在力學(xué)中分析結(jié)構(gòu)的振動特性，確定固有頻率和振動方向；在機器學(xué)習(xí)的主成分分析中，提取數(shù)據(jù)的主要特征方向等。3.討論相似矩陣的性質(zhì)及相似變換的意義。答：相似矩陣性質(zhì)：有相同的行列式、秩、特征多項式、特征值、跡。相似變換意義：可將復(fù)雜矩陣轉(zhuǎn)化為簡單的相似矩陣（如對角矩陣）來研究，簡化矩陣運算，在理論和實際應(yīng)用（如物理系統(tǒng)分析）中都有重要作用。4.說明如何判斷二次型的正定性，并舉例說明。答：判斷方法：對于二次型\(f=X^TAX\)，可通過順序主子式全大于0來判斷正定；或求\(A\)的特征值，全為正，則二次型正定。例如\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2\)，其矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pm