第九章

§93一元線性回歸模型及其應用

q基礎(chǔ)保分練

1.下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是（）

A.具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系

B.散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度

C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系

D.任一組數(shù)據(jù)都有經(jīng)驗回歸方程

2.對于樣本相關(guān)系數(shù)，下列說法錯誤的是（）

A.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負性

B.樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的，也可以是負的

C.樣本相關(guān)系數(shù)，七[-1,1]

D.樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強

3.（2023?運城模擬）在線性回歸模型中，變量x與y的一組樣本數(shù)據(jù)對應的點均在直線y=3

+1上，相=1一錯誤!，則辭等于（）

A.-B.-C.1D.-

422

4.（多選）某工廠研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量式單位：噸）與所需某種材料y（單位：噸）之間的相關(guān)關(guān)

系，在生產(chǎn)過程中收集4組數(shù)據(jù)如表所示.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸方程為;=x+d則下

列四個說法中正確的為（）

X3467

y34

A.變量x與y正相關(guān)

B.y與工的樣本相關(guān)系數(shù)r<0

A

C.a=

D.當產(chǎn)量為8噸時，預測所需材料約為噸

5.（多選）（2023?唐山模擬）某制衣品牌為使成衣尺寸更精準，選擇了10名志愿者，對其身高（單

位：cm）和臂展（單位：cm）進行了測量，這1（）名志愿者身高和臂展的折線圖如圖所示.已知

這10名志愿者身高的平均值為176cm,根據(jù)這10名志愿者的數(shù)據(jù)求得臂展〃關(guān)于身高。的

經(jīng)驗回歸方程為〃=0—34,則下列結(jié)論正確的是（）

身高一臂展

A.這10名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B.這1()名志愿者的身高和臂展呈負相關(guān)

C.這10名志愿者臂展的平均值為176.2cm

D.根據(jù)經(jīng)驗回歸方程可估計身高為160cm的人的臂展為158cm

6.色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)列于表中：已

知該產(chǎn)品的色度y和色差工之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且y=x+m現(xiàn)有?對測量數(shù)據(jù)為(30,),

則該數(shù)據(jù)的殘差為()

色差X21232527

色度y15181920

A.-B.-C.D.

7.某智能機器人的廣告費用》(萬元)與銷售額y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:

廣告費用武萬元)2356

銷售額M萬元)28314148

根據(jù)此表可得經(jīng)驗回歸方程為;，=5x+a,據(jù)此模型預測廣告費用為8萬元時銷售額為

萬元.

8.已知變量x和變顯y的一組隨機觀測數(shù)據(jù)為(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70).如果y

關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程是:=x+,那么當x=5時，殘差等于.

9.假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費用M單位：萬元)有如下統(tǒng)計資

料：

X23456

y

已知錯誤*=90,錯誤*?錯誤!州=,4為?/比14

⑴求”；

(2)計算y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r(精確到)，并判斷該設(shè)備的使用年限與所支出的維修費用的相

關(guān)程度.

g(Xj—x)8—y)^,Xiyi-nxy

附：樣本相關(guān)系數(shù)r==

￡(Xi-X)2苫y)2(ix]-nX2)(￡?_〃V2)

10.（2022?全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)

某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：|或）

和材積量（單位：m）得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫截

面積為

材積量乂

1010

并計算得EH=，￡?=，

10

著到=4.

X］（X/-%）（y/-y）g孫一y

附：樣本相關(guān)系數(shù)廠=：“=,,々1.377.

￡（XLX）2*3—y）2（苫后一〃X2）（加一〃y2）

（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面枳與材枳量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和

為186m?.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹

木的總材積量的估計值.

q綜合提升練

U.（多選）針對某疾病，各地醫(yī)療機構(gòu)采取了各種有針對性的治療方法，取得了不錯的成效,

某地開始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如表所示，由表格可得y關(guān)于x的經(jīng)

驗回歸方程為;=6小+/則下列說法正確的是（）

周數(shù)（X）12345

治愈人數(shù)0，）2173693142

Aa=4

B.q=-8

C.此回歸模型第4周的殘差為5

D.估計第6周治愈人數(shù)為22（）

12.2020年，全球開展了某疫苗研發(fā)競賽，我國處于領(lǐng)先地位，為了研究疫苗的有效率，在

某地進行臨床試驗，對符合一定條件的10000名試驗者注射了該疫苗，一周后有20人感染,

為了驗證疫苗的有效率，同期，從相同條件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5組,

各組感染人數(shù)如下：

調(diào)查人數(shù)X300400500600700

感染人數(shù)歹33667

并求得y與x的經(jīng)驗回歸方程為;=x+a,同期，在人數(shù)為10000的條件下，以擬合結(jié)果估

算未注射疫苗的人群中感染人數(shù)，記為M注射疫苗后仍被感染的人數(shù)記為〃，則估計該疫

苗的有效率為________.（疫苗的有效率為1-"，結(jié)果保留3位有效數(shù)字）

N

立拓展沖刺練

13.某化工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以模型y=poe-H'去擬合過漉過程中廢氣的污染物

濃度Ymg/L與時間Xh之間的一組數(shù)據(jù)，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=lnK其變換后得

到經(jīng)驗回歸方程為：=—X+2+ln300,則當經(jīng)過6h后，預報廢氣的污染物濃度為（）

A.300c2mg/LB.300cmg/L

3300

C°；mg/LDmg/L

e-e

14.（多選）已知由樣本數(shù)據(jù)（r，v）（,?=1,2,3,…，10）組成的一個樣本，得到經(jīng)驗回歸方程為；=

2v-,且工