張家口市2025屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號及準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】確定集合，結(jié)合交集運(yùn)算即可求解.【詳解】，，所以，故選：A2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，它位于第四象限.故選：D.3.某同學(xué)記錄了自己升入高三以來8次的數(shù)學(xué)考試成績，分別為125，117，129，132，115，119，126，130，則該同學(xué)這8次的數(shù)學(xué)考試成績的第40百分位數(shù)為（）A.119 B.122 C.125 D.132【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】從小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132，，所以第40百分位數(shù)為第四個數(shù)，即125.故選：C4.在中，，，則（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積定義直接計(jì)算得解.【詳解】依題意，.故選：C.5.若的展開式中的系數(shù)為240，則（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，根據(jù)的系數(shù)為240列式，代入驗(yàn)證法求即可.【詳解】的展開式通項(xiàng)為.令得展開式中的系數(shù)為，即，對于A，時，，不滿足方程；對于B，時，，不滿足方程；對于C，時，，滿足方程；對于B，時，，不滿足方程.故選：C6.已知直線為圓在處的切線，若直線經(jīng)過橢圓的兩個頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過直線與圓相切，求得切線方程，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】設(shè)切線斜率為，由圓的性質(zhì)可知：，解得：，可得切線方程：，由可得：，令，可得，由題意可知：，所以，所以，故選：A7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，則.故選：D8.已知函數(shù)，，且，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合條件根據(jù)單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)遞增法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法及單調(diào)性的性質(zhì)研究每段的單調(diào)性，列不等式組求解即可.【詳解】，，且，都有即，記，則由單調(diào)性的定義知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則需滿足：在上單調(diào)遞增①，在上單調(diào)遞增②，且③，對于①，要使在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，因?yàn)椋?，解得；對于②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增時，；對于③，，所以；所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，且，若，則（）A. B.的最小值為C.的最小值為 D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式判斷BC，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為根據(jù)定義域問題求值域，判斷AD.【詳解】A.由條件可知，，，則，故A錯誤；B.由題意可知，，則，當(dāng)時等號成立，則的最小值為，故B正確；C.，當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為，故C正確；D.，當(dāng)，均單調(diào)遞增，且時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時取得最大值5，且時，，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.10.在三棱錐中，，，為等邊三角形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，，，三棱錐的體積為，則（）A.若，則B.若，則三棱錐的外接球的表面積為C.若平面，則四棱錐的體積為D.若，與平面所成角相等，則【答案】AC【解析】【分析】由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合棱錐的體積公式可得A正確；由幾何關(guān)系求得棱錐的外接球半徑，再求表面積可判斷B；由體積拼接可得C正確；建立空間直角坐標(biāo)系，由空間線面角公式可判斷D.【詳解】設(shè)，由可得，取的中點(diǎn)，連接，由為等邊三角形可得，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，由，所以三棱錐體積.對于A，若，即，即，故A正確；對于B，若，由A可得，則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，，則，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故B錯誤；對于C，若平面，平面平面，平面，所以，又為棱的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，則，由三角形相似可得，且到平面的距離不變，所以，所以四棱錐的體積為，故C正確；對于D，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意得為與平面所成的角，且，，所以，由，，可得，所以，平面的法向量為，因?yàn)?，與平面所成角相等，所以，化簡可得，解得無解，故D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)B.當(dāng)時，，C.若，則D.若函數(shù)在處取得極值，且，使，則【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性得到極值可得A正確，由正余弦函數(shù)值域結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得B錯誤；由函數(shù)的對稱中心代入可得C正確；由極值點(diǎn)的性質(zhì)可得，，令，化簡又，可證明判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，，易得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)或時，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，所以極大值，極小值，又，，所以函數(shù)在，，各有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)有三個零點(diǎn)，故A正確；對于B，當(dāng)時，，，易得當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，，所以，故B錯誤；對于C，若，則的圖象關(guān)于成中心對稱，又的定義域?yàn)?，所以，即，即，整理可得，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，由題有，即，由，得，令，則，又，所以，得到，整理得到，又，代入化簡得到，又，，所以，得到，即，即，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線在處的切線與軸垂直，則實(shí)數(shù)的值為_____.【答案】##0.5【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，代入，可得對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為0，由此可建立關(guān)于的方程，從而得解.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，，因?yàn)榍€在處的切線與軸垂直，所以，解得.故答案為：.13.已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，則_____.【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合題意可得，再由等比數(shù)列的性質(zhì)化簡計(jì)算式可得答案.【詳解】由可得，若，則與矛盾，所以，則.故答案為：.14.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的準(zhǔn)線確定拋物線方程，結(jié)合拋物線定義與直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題意為拋物線的焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，所以，所以，所以，設(shè)準(zhǔn)線與縱軸交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義可知，所以，因?yàn)椋?，在中，，所以．故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為大力弘揚(yáng)中華民族尊老、敬老、愛老的傳統(tǒng)美德，某醫(yī)院從，兩個科室的志愿者中隨機(jī)抽調(diào)4人為某社區(qū)養(yǎng)老院的老人進(jìn)行“免費(fèi)健康體檢”活動，已知，兩個科室中的志愿者分布如下：類別科室志愿者醫(yī)生護(hù)士A科室23B科室33（1）求抽到的4人中，恰好有2名醫(yī)生，且這2名醫(yī)生恰好來自同一科室的概率；（2）設(shè)為選出的4人中醫(yī)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式即可求解；（2）分析可知，隨機(jī)變量所有可能取值為、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問1詳解】由已知，恰好有2名醫(yī)生的情況包含這2名醫(yī)生都來自A科室和都來自B科室，有種情況，從11人中抽4人有種情況，所以所求的概率為.【小問2詳解】隨機(jī)變量的所有可能取值為、、、、，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以.16.已知雙曲線的一條漸近線方程為，為個焦點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過與的右支交于不同的兩點(diǎn)，，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，求的值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）由雙曲線漸近線方程的性質(zhì)結(jié)合解方程可得；（2）設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示出弦長，求出，再由同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式可得.【小問1詳解】由可得，即，又，即，且，聯(lián)立可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意可得當(dāng)時，，顯然不合題意，所以，設(shè)直線方程為，，聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€經(jīng)過與的右支交于不同的兩點(diǎn)，，所以，，，即兩邊取平方后化簡可得，進(jìn)一步化簡可得，因?yàn)橹本€經(jīng)過與的右支交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得，又，原點(diǎn)到直線的距離，所以.17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若的外接圓面積為，且，，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形的性質(zhì)及同角三角函數(shù)基本關(guān)系將條件化為，然后利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合余弦定理可得解；（2）由正弦定理可得，由余弦定理及得，利用及向量的線性運(yùn)算得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，利用向量模的運(yùn)算公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，由正弦定理可知，即，又由余弦定理可知，又，則；【小問2詳解】由外接圓面積為，得外接圓半徑為1，由正弦定理得，由余弦定理及得，，化簡得，解得（負(fù)根舍去），從而，因?yàn)?，所以，，所以，故的長是.18.如圖，在正三棱柱中，，，且，滿足，，過，，三點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)，若.（1）求的值；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求平面與平面夾角的正切值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由四點(diǎn)共面，列出方程，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（2）由異面直線的夾角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）由二面角的公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉檎切危?，又因?yàn)檎庵校矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，可得，所以，因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，則，又，設(shè)，則，即，解得，所以，設(shè)，則，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，即，解得，則，所以，即.【小問2詳解】由（1）可知，，設(shè)異面直線與所成角為，則.【小問3詳解】平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋瑒t，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，且，所以.19.已知函數(shù).（1）求證：.（2）若，，為的最大值，（i）求的極小值；（ii）設(shè)，，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）0；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而得出最大值即可證明.（2）（i）通過求導(dǎo)得出的最大值，分析函數(shù)的單調(diào)性可得到的極小值；（ii）先證明，據(jù)此可證題設(shè)中的不等式.【小問1詳解】令，定義域?yàn)?/p>