2023~2024學(xué)年度高一下學(xué)期期末聯(lián)考試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版必修第二冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡，從而得到他的共軛復(fù)數(shù).【詳解】,故選：D2.數(shù)據(jù)1，3，2，2，5，8，3，6，9，8的分位數(shù)是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】按照從小到大重新排列這組數(shù)據(jù)，計(jì)算即可【詳解】按照從小到大重新排列這組數(shù)據(jù)：1，2，2，3，3，5，6，8，8，9；，所以第70百分位數(shù)是.故選：C.3.已知與共線的一個(gè)向量的坐標(biāo)為，若點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在第三象限，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，可設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，得，再由向量的數(shù)量積公式求解即可．【詳解】由已知，可設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，得，，由，得，則的取值范圍為．故選：A4.“五道方”是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方”比賽，約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為，乙勝的概率為，則比賽6場后甲贏得比賽的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分析這六場比賽甲的情況為：贏輸贏輸贏贏，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得.【詳解】因連勝兩場者贏得比賽，故要使比賽6場后甲贏得比賽，則在這六場比賽中，甲的情況依次為：贏輸贏輸贏贏，故比賽6場后甲贏得比賽的概率為：.故選：B.5.在矩形中，，分別為的中點(diǎn)（如圖（1）），將矩形繞直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)分別位于處（如圖（2），則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系可得或其補(bǔ)角為直線與所成角，由勾股定理以及余弦定理求解長度即可求解.【詳解】延長到，使得,連接，則四邊形為平行四邊形，故,故或其補(bǔ)角為直線與所成角，設(shè)，則，，故在中，，解得，故直線與所成角的余弦值為，故選：D6.一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，他們的歷次數(shù)學(xué)考試成績都比較穩(wěn)定，且每次測試5人成績的方差均為6左右.某次數(shù)學(xué)測試他們中的甲同學(xué)因故沒能參加考試，其余四位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分別為111分，114分，117分，118分.如果甲同學(xué)參加這次考試，利用以往的經(jīng)驗(yàn)（方差為6）估計(jì)其成績?yōu)椋ǎ〢.112分 B.113分 C.115分 D.119分【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲的分?jǐn)?shù)為，求得五位同學(xué)本次考試成績的平均數(shù)，然后再由方差的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)甲的分?jǐn)?shù)為，則這五位同學(xué)本次考試成績的平均數(shù)為：，所以這五位同學(xué)本次考試成績的方差為：，解得，所以甲的分?jǐn)?shù)為.故選：C7.在正方體中，連接其任意兩個(gè)頂點(diǎn)都可以得到一條線段，則這些線段所在的直線平行于平面的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知總有28條線段，找出與平面平行的即可得到概率.【詳解】根據(jù)題意，任意兩個(gè)頂點(diǎn)連線共有條，平面平行的有共3條，所以概率為.故答案為：D.8.在中，若對任意恒成立，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.形狀不確定【答案】B【解析】【分析】化簡，帶入不等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行化簡，最后用余弦定理化簡，得出答案.【詳解】,兩邊平方得到：，因?yàn)槿魧θ我夂愠闪?，所以，即化簡不等式得：，由余弦定理得：，化簡得：，所以，為直角三角?故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知虛數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則為純虛數(shù)C.若，則或 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)虛數(shù)不能比較大小可判斷A；根據(jù)可得可判斷B；由得可判斷C；利用復(fù)數(shù)相等求出可判斷D.【詳解】設(shè)，對于A，若，則，因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小，故A錯(cuò)誤；對于B，若，即，可得，則為純虛數(shù)，故B正確；對于C，若，則，可得，或即，或，故C正確；對于D，若，則，即，解得，或，可得，或，所以，故D正確.故選：BCD.10.在中，記角的對邊分別為，則（）A.若，，，則解此三角形有兩解B.若為銳角三角形，則C.的充要條件為D.若，則為等腰直角三角形【答案】ABC【解析】【分析】利用余弦定理解三角形可知A正確；根據(jù)銳角三角形定義和誘導(dǎo)公式可知B正確；根據(jù)三角形大邊對大角及正弦定理可知C正確；利用正弦定理邊化角可推導(dǎo)得到或，知D錯(cuò)誤.【詳解】對于A，由余弦定理得：，即，解得：或，此三角形有兩解，A正確；對于B，為銳角三角形，，，，，，，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，由正弦定理知：，充分性成立；當(dāng)時(shí)，由正弦定理知：，，必要性成立；的充要條件是，C正確；對于D，，由正弦定理可得：，，，或，或，即為等腰三角形或直角三角形，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知個(gè)半徑為2的小球被封閉在一個(gè)正方體容器內(nèi)（容器壁厚度忽略不計(jì)），則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則正方體容器的表面積的最小值為24B.若，則正方體容器的棱長的最小值為C.若，正方體容器的棱長為10且3個(gè)球的球心共線（在線段上），則的最大值為D.若，且小球兩兩相切，其中3個(gè)小球與正方體容器的同一個(gè)面均相切，則第4個(gè)小球的球心到的距離為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正方體與球的性質(zhì)可逐項(xiàng)分析求解.【詳解】對于A，若，正方體最小即球是正方體的內(nèi)切球，所以正方體邊長為4，表面積為96，故A錯(cuò)誤；對于B，若，當(dāng)兩個(gè)球心正方體體對角線上時(shí)，兩小球外切，且每個(gè)小球均與三個(gè)面相切時(shí)，正方體的棱長最小，此時(shí)正方體體對角線長為，所以正方體的棱長為，故B正確；對于C，若，正方體容器的棱長為10且3個(gè)球的球心共線（在線段上），則的最大值為，故D正確；對于D，若，且小球兩兩相切，其中3個(gè)小球與正方體容器的同一個(gè)面均相切，則四個(gè)球心的連線構(gòu)成棱長為4的正四面體，易得正四面體高為，所以第4個(gè)小球的球心到的距離為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某校高中部高一、高二、高三人數(shù)之比為5:4:3，其中女生有600人，現(xiàn)準(zhǔn)備從該校所有高中學(xué)生中抽取容量為120的樣本.若根據(jù)年級采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取的高三學(xué)生為n個(gè)人；若根據(jù)性別采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取的女生為m個(gè)人，且，則該校高中部學(xué)生人數(shù)為______.【答案】1800【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的定義列式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)該校高中部高一、高二、高三人數(shù)分別為5k，4k，3k，依題意，，，，所以該校高中部人數(shù)為1800.故答案為：180013.如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面把正方體分成體積為的兩個(gè)幾何體，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出截面，利用臺(tái)體體積公式計(jì)算較小部分的體積，然后可求即可求解.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，又為線段的中點(diǎn)，所以，又正方體中，，所以，所以四點(diǎn)共面，即過點(diǎn)的平面為平面，不妨設(shè)正方體邊長為1，易知多面體為三棱臺(tái)，，，，.故答案為：.14.在銳角中，記角的對邊分別為，且，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式、余弦定理可得，再利用正弦定理及和角的正弦可得，并將目標(biāo)式表示為的函數(shù)，結(jié)合銳角三角形條件及三角恒等變換求出范圍.【詳解】在中，由，由余弦定理得，整理得，又，則，由正弦定理得，則，由為銳角三角形，得為銳角，則，即，由，得，則，因此所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.2024年5月3日中國第六個(gè)月球探測器嫦娥六號升空，6月2日嫦娥六號探測器成功著陸月球背面，并完成世界首次月球背面月壤采樣和起飛，受到世界廣泛關(guān)注．某科技媒體在其網(wǎng)站舉行中國探測月球知識(shí)有獎(jiǎng)測試，測試滿分為100分，并隨機(jī)抽取了200名參與者的測試成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200名參與者的成績均在內(nèi)，按照分組，得到如下頻率分布直方圖，其中成績在內(nèi)的頻率為，成績在內(nèi)的人數(shù)為90．（1）求；（2）估計(jì)這200名樣本成績的平均數(shù)；（3）若樣本中成績在內(nèi)的參與者中，94分的有4人，96分，100分的各占，估計(jì)這些參與者的成績大于94分的概率．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）內(nèi)的人數(shù)為90可求頻率，利用頻率分布直方圖面積為1，結(jié)合成績在內(nèi)的頻率為，可求，再求即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖平均數(shù)的求解方式求值即可；（3）根據(jù)題意估計(jì)出成績在內(nèi)的人數(shù)，根據(jù)人數(shù)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槌煽冊趦?nèi)的人數(shù)為90，所以頻率為，所以，解得，由，得．【小問2詳解】由（1）得各組頻率依次為，所以平均數(shù)為．【小問3詳解】由題意知樣本中成績在內(nèi)的人數(shù)為，其中94分的有4人，96分，100分的各有3人，即大于94分的有6人，故成績高于94分的頻率為，估計(jì)這些參與者的成績高于94分的概率為．16.袋子中有6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，編號分別為1，2；白球有4個(gè)，編號分別為3，4，5，6，不放回地隨機(jī)摸出兩個(gè)球．（1）求摸出的兩個(gè)球中有紅球的概率；（2）記事件M為“摸出的兩個(gè)球全是白球”，N為“摸出的兩個(gè)球的編號之和為偶數(shù)”，判斷事件M，N是否相互獨(dú)立．【答案】（1）（2）事件M，N不相互獨(dú)立【解析】【分析】（1）運(yùn)用列舉法，結(jié)合古典概型的知識(shí)來計(jì)算概率；（2）結(jié)合分類原理，計(jì)算概率，然后通過判斷事件的概率關(guān)系來確定是否相互獨(dú)立.【小問1詳解】從6個(gè)球中不放回地隨機(jī)摸出兩個(gè)球，總共有種情況.假設(shè)摸出的兩個(gè)球中沒有紅球，則列舉出所有組合情況，即，共6種.則摸出的兩個(gè)球全是白球概率為：.所以摸出的兩個(gè)球中有紅球的概率為.【小問2詳解】由（1），事件M的概率為，事件N為“摸出的兩個(gè)球的編號之和為偶數(shù)”，有兩類情況：兩球均為奇數(shù)或兩球均為偶數(shù).兩球均為奇數(shù)的情況有，3種；兩球均為偶數(shù)的情況有,3種；共6種，則；即摸出的兩個(gè)球全是白球且編號之和為偶數(shù)，有,共2種，則概率為.因?yàn)椴怀闪ⅲ允录﨧，N不相互獨(dú)立.17.在中，記角的對邊分別為，為邊上一點(diǎn)．（1）若，且，求的面積；（2）若，且，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理、余弦定理處理已知條件，得到，再用向量內(nèi)積解出的正余弦值、最后帶入面積公式求解.（2）,在多個(gè)三角形中利用余弦定理建立等式，聯(lián)立化簡，最后均值不等式出最大值【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ恚糜捎嘞叶ɡ?，得所以，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，所以，又，所以，即，解得或，又，所以，又，所以，所以的面積為．【小問2詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理，得，即，同理在中有，兩式聯(lián)立消去，得．在中，由余弦定理，得，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即的面積的最大值為．18.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面，，，二面角為．（1）若為棱上一點(diǎn)，且，證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接，證得且，得到四邊形為平行四邊形，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，證得和，得到為二面角的平面角，所以，得到，連接，得到，結(jié)合，求得點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)與平面所成的角為，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】證明：在棱上取點(diǎn)，使得，連接，則，所以，且，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?詳解】解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以為二面角的平面角，所以，所以，所以，又，所以，連接，則，則的面積，所以三棱錐的體積，直角梯形中，由，且，可得，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以的面積,設(shè)點(diǎn)到平面距離為，因?yàn)?，所以，即，所以，設(shè)與平面所成的角為，則，即與平面所成角的正弦值為．19.由個(gè)實(shí)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，其中稱為該向量的第個(gè)分量．特別地，對于一個(gè)維向量，若，稱為維信號向量．設(shè)，定義向量與的數(shù)量積為，且．（1）寫出3個(gè)6維信號向量，并證明：不存在6個(gè)兩兩垂直的6維信號向量；（2）已知為2維非零向量，若，，，且，求的最小值．【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根