2024～2025學(xué)年度第二學(xué)期______學(xué)校學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答題時(shí)間100分鐘，滿(mǎn)分120分.第Ⅰ卷（40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.如圖，在平行四邊形ABCD中，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則分析求解.【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，

故選：B.2.復(fù)數(shù)，則為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C．3.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）.A.相等的線段在直觀圖中仍然相等 B.相等的角在直觀圖中仍然相等C.一個(gè)直角的直觀圖仍是一個(gè)直角 D.平行的線段在直觀圖中仍然平行【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則判斷.【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，與軸平行的線段長(zhǎng)度保持不變，與軸平行的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，A錯(cuò)；直角的一條邊與軸平行，另一條邊與軸平行，則其直觀圖變?yōu)榛?，BC均錯(cuò)；平行的線段在直觀圖中仍然平行，D正確。故選：D.4.在中，，，則（）A.30° B.60° C.60°或120° D.120°【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求得，結(jié)合大邊對(duì)大角，得到的范圍，進(jìn)而求得.【詳解】∵，，，∴根據(jù)正弦定理，得：，又，得到，即，則或．故選：C5.已知100個(gè)數(shù)據(jù)的25百分位數(shù)是9.3，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有25個(gè)數(shù)小于或等于9.3B.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第25個(gè)數(shù)據(jù)C.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第25個(gè)數(shù)據(jù)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第25個(gè)數(shù)據(jù)和第24個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)第25個(gè)數(shù)據(jù)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第25百分位數(shù)，結(jié)合百分位的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?00×25%=25為整數(shù)，第25個(gè)數(shù)據(jù)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第25百分位數(shù)，所以這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有25個(gè)數(shù)小于或等于9.3，故A正確；所以第25個(gè)數(shù)據(jù)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第25百分位數(shù)，是9.3，所以第25個(gè)數(shù)據(jù)不一定是9.3，故B錯(cuò)誤；根據(jù)百分位數(shù)的定義，可知這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第25個(gè)數(shù)據(jù)和第26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選:AC.6.設(shè)m，n為兩條不同直線，，為兩個(gè)平面，則下列命正確是（）.A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系判斷選項(xiàng)ABC，結(jié)合線面平行性質(zhì)定理和判定定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，則或，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，如圖，在正方體中，記為平面，為平面，為直線，為直線，由正方體性質(zhì)易知，，但是與不垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)直線作平面分別交于直線，因?yàn)椋?，所以，所以，由線面平行的判定定理可知，因?yàn)椋?，所以，所以，D正確.故選：D.7.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關(guān)系為（）A.互斥 B.相互對(duì)立 C.相互獨(dú)立 D.相等【答案】C【解析】【分析】列舉全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，即可根據(jù)對(duì)立事件以及互斥事件以及相互獨(dú)立事件的定義求解.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，按順序共出現(xiàn)（正正）（正反）（反正）（反反）這4種情況，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D錯(cuò)誤，由于事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生，所以不為互斥事件，也不為對(duì)立事件，故AB錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀是否發(fā)生與事件B無(wú)關(guān)，事件B是否發(fā)生也與事件A無(wú)關(guān)，故事件A和事件B相互獨(dú)立，故C正確.故選：C.8.如圖，四棱錐的底面為正方形，面，，則異面直線與所成角的大小及平面與平面所成的二面角的大小分別為（）.A.和 B.和 C.和 D.和【答案】A【解析】【分析】通過(guò)證明平面，得證，即可確定異面直線所成角大小，再證明是平面與平面所成的二面角的平面角，求出其大小后可得結(jié)論．【詳解】面，面，則，同理，，是正方形，則，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成角的大小為，這時(shí)可確定只有選項(xiàng)A正確；又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是平面與平面所成的二面角的平面角，而，所以，即平面與平面所成的二面角大小為，故選：A．9.一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員打靶6次的環(huán)數(shù)為9，5，7，8，6，7，下列四個(gè)結(jié)論：①這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7；④這組數(shù)據(jù)的方差為.以上四個(gè)結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】求出樣本數(shù)據(jù)的特征并判斷即可.【詳解】打靶6次的環(huán)數(shù)由小到大排列為5，6，7，7，8，9，平均數(shù)為，眾數(shù)為7，中位數(shù)為，①②③正確；方差為，④正確.故選：D10.在我區(qū)楊柳青的大運(yùn)河畔，有一座建于明代萬(wàn)歷四年的館閣式建筑——文昌閣.在天津市的文化地標(biāo)中，文昌閣因其悠久的歷史和獨(dú)特的建筑風(fēng)格，被認(rèn)為是一個(gè)重要的文化遺產(chǎn).如圖，某校高一年級(jí)張華同學(xué)參加了主題為《追尋歷史足跡，傳承運(yùn)河文化》測(cè)量文昌閣高度的實(shí)踐活動(dòng).該同學(xué)在文昌閣塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，A，E，C三點(diǎn)共線，在地面上點(diǎn)E處測(cè)得建筑物頂部B與文昌閣頂部D的仰角分別為和，在B處測(cè)得塔頂部D的仰角為，則文昌閣的高度約為（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直角三角形中，求得，在中，由正弦定理求得，再在等腰直角求得．【詳解】在直角中，，則，在中，，，所以，由正弦定理得，即，解得，所以，等腰直角中，直角邊，故選：A．第Ⅱ卷（80分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分，把答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的橫線上.11.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)________.【答案】【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)即可得.【詳解】.故答案為：12.平面向量，在上的投影為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解．【詳解】在上的投影為，則，所以，故答案為：．13.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，若這個(gè)球的體積為，則這個(gè)正方體的表面積為_(kāi)_____.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)正方體的對(duì)角線是外接球的直徑求得棱長(zhǎng)，然后可得表面積．【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則其對(duì)角線為其外接球的直徑，所以外接球的半徑為，由已知，，所以正方體表面積為，故答案為：18.14.學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，甲乙兩人進(jìn)入最后的決賽，已知某題甲答對(duì)的概率是，乙答對(duì)的概率是，則此題有人答對(duì)的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出兩人都答錯(cuò)的概率，然后由對(duì)立事件概率公式計(jì)算.【詳解】由題意兩人都答錯(cuò)的概率是，所以有人答對(duì)的概率為，故答案為：.15.有如下說(shuō)法：①為了解西青區(qū)高中年級(jí)全體學(xué)生每天綜合體育活動(dòng)時(shí)間情況，現(xiàn)只抽取某校高一年級(jí)學(xué)生每天綜合體育活動(dòng)時(shí)間的情況作為樣本，這樣的抽樣方式是合理的；②為了治療某種病毒，研制出一種新疫苗，希望知道新疫苗是否有效，為此進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)室的籠子里有100只小白鼠，現(xiàn)要從中抽取10只作實(shí)驗(yàn)用，將籠里的100只小白鼠按1～100編號(hào)，任意選出編號(hào)范圍內(nèi)的10個(gè)不重復(fù)數(shù)字，把相應(yīng)編號(hào)的小白鼠作為實(shí)驗(yàn)用的小白鼠，以上抽樣方法為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；③若在一次實(shí)驗(yàn)中，事件A的發(fā)生的概率為，則重復(fù)做100次這樣的試驗(yàn)，事件A恰好發(fā)生1次；④在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生24人，其平均身高為；抽取女生26人，其平均身高為.根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)全體學(xué)生平均身高為.其中結(jié)論正確序號(hào)為_(kāi)_____.【答案】②④【解析】【分析】由抽樣、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式、分層抽樣的概念分別判斷各說(shuō)法．【詳解】①只抽取高一年級(jí)學(xué)生就不合理，同樣只抽取一個(gè)學(xué)校的數(shù)據(jù)也不合理，因此不合理；②根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念，正確；③由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式知概率應(yīng)為，錯(cuò)誤；④由分隨機(jī)抽樣知平均身高約為，正確，故答案為：②④16.已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得.設(shè)，，以，為基底表示向量______；的值為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】由平面向量線性運(yùn)算法則表示出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，，故答案為：；．三、解答題：本大題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角A，B.C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知，，求角A和角B值.【答案】，【解析】【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理求得．【詳解】∵，由余弦定理得，∵，∴.∵，由正弦定理得：∵，∴.∵，∴（或），∴.18.已知向量，滿(mǎn)足，.（1）若單位向量與共線，求向量的坐標(biāo)；（2）若與垂直，求m的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先設(shè)，再根據(jù)向量共線及模長(zhǎng)公式列式計(jì)算求解；（2）先應(yīng)用線性坐標(biāo)運(yùn)算，再結(jié)合垂直的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算求出參數(shù).【小問(wèn)1詳解】設(shè)單位向量，則，由已知單位向量與共線，可得，，解得或，所以向量的坐標(biāo)為，.【小問(wèn)2詳解】，，∵與垂直，∴，，，，解得.19.2025年1月下旬，DeepSeek的RI模型發(fā)布，該模型在全球范圍內(nèi)引發(fā)廣泛關(guān)注.現(xiàn)為了對(duì)其產(chǎn)品用戶(hù)的使用行為進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，收集了1000名用戶(hù)的每日使用時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），得到如下所示的頻率分布直方圖，每日使用時(shí)長(zhǎng)不小于60分鐘的用戶(hù)稱(chēng)為“忠實(shí)粉絲”.（1）求圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該產(chǎn)品用戶(hù)每日平均使用時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)；（2）采用分層抽樣的方法從樣本中使用時(shí)長(zhǎng)在，的用戶(hù)中隨機(jī)抽取7人.①求應(yīng)從，用戶(hù)中分別抽取的人數(shù)；②從選定的7人中隨機(jī)抽取2人作進(jìn)一步分析，寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間（用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表示）；③在②的條件下，設(shè)事件“隨機(jī)抽取2人中至多有一名為忠實(shí)粉絲的人數(shù)”，求事件A的概率.【答案】（1），70分鐘（2）①4人；②答案見(jiàn)解析；③．【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，再求出頻率分布直方圖頻率對(duì)應(yīng)的時(shí)長(zhǎng)即為中位數(shù)；（2）①根據(jù)分層抽樣的概率確定人數(shù)；②用列舉法寫(xiě)出樣本空間后根據(jù)概率公式計(jì)算概率；③同樣用列舉法寫(xiě)出樣本空間后根據(jù)概率公式計(jì)算概率小問(wèn)1詳解】，解得,由圖可知中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則有，故，即中位數(shù)估計(jì)為70分鐘.【小問(wèn)2詳解】①成績(jī)?cè)趦?nèi)的有人，年齡在內(nèi)的有人，由分層隨機(jī)抽樣可知，在區(qū)間應(yīng)抽取3人，在區(qū)間應(yīng)抽取4人.②設(shè)在區(qū)間抽取樣本記為a，b，c，在區(qū)間抽取樣本，記為A，B，D，E，從中任取2人，試驗(yàn)的樣本空間為：，（也可這樣表示）共21個(gè)樣本點(diǎn).③設(shè)事件“隨機(jī)抽取2人中至多有一名為忠實(shí)粉絲的人數(shù)”，（也可這樣表示）共15個(gè)樣本點(diǎn).∴，∴隨機(jī)抽取2人中至多有一名為忠實(shí)粉絲人數(shù)的概率為.20.如圖，直三棱柱中，，，D為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合題給條件，證明線線平行，進(jìn)一步得出線面平行；（2）根據(jù)已知幾何體的性質(zhì)，結(jié)合題給條件，證明線面垂直，進(jìn)一步推出面面垂直；（3）根據(jù)已知幾何體的性質(zhì)，借助輔助線構(gòu)造并證明與平面所成角的三角形為直角三角形，結(jié)合題給條件，求出相應(yīng)邊長(zhǎng)，從而得到角的正切值.【小問(wèn)1詳解】證明：連接交于點(diǎn)O