第十五章

軸對(duì)稱

15.3.1.1

等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)人教版（2024）八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件01新課導(dǎo)入03課堂練習(xí)02新課講解04課堂總結(jié)目錄新課導(dǎo)入第一部分PART

01yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere1.通過(guò)剪紙、折紙等活動(dòng)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等腰三角形，了解等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力.2.通過(guò)學(xué)生自主探究、探索、猜想、驗(yàn)證等腰三角形的性質(zhì)，并學(xué)會(huì)應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.3.結(jié)合等腰三角形性質(zhì)的探索與證明過(guò)程，體會(huì)軸對(duì)稱在研究幾何問(wèn)題中的作用，掌握轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的推理能力.重難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入看到下面三角形了嗎，它有何特點(diǎn)呢？腰腰頂角底角底角底邊我們今天來(lái)探討一下等腰三角形的性質(zhì).新課導(dǎo)入新課講解第二部分PART

02yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere把一張長(zhǎng)方形的紙按圖中的虛線對(duì)折，并剪去陰影部分（一個(gè)直角三角形），再把得到的直角三角形展開(kāi)，得到的三角形ABC有什么特點(diǎn)？等腰三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)新課講解ABCAB=AC等腰三角形新課講解【思考】△ABC

是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？ACDB折痕所在的直線是它的對(duì)稱軸.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.新課講解把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對(duì)折，找出其中重合的線段和角.重合的線段重合的角

ACBDAB與AC

BD與CD

AD與AD∠B

與∠C∠BAD

與∠CAD∠ADB

與∠ADC新課講解【思考】由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說(shuō)一說(shuō)你的猜想.新課講解ABC已知：△ABC中，AB=AC,求證：∠B=C.【思考】如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？猜想:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.如何證明兩個(gè)角相等呢？可以運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)角相等”來(lái)證.新課講解已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C.ABC新課講解ABCD證明：

作底邊的中線AD，則BD=CD.AB=AC

(已知)，BD=CD

(已作)，AD=AD(公共邊)，

∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C

(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).在△BAD和△CAD中方法一：作底邊上的中線.還有其他的證法嗎？新課講解ABCD證明：作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.AB=AC

(已知),∠BAD=∠CAD

(已作),AD=AD(公共邊),∴△BAD≌△CAD(SAS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).方法二：作頂角的平分線在△BAD和△CAD中新課講解

由△BAD≌

△CAD，除了可以得到∠B=∠C之外，你還可以得到哪些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

ABCD【想一想】新課講解解：∵△BAD≌

△CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵

∠ADB+∠ADC=180°，∴

∠ADB=∠ADC=

90°，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線.

ABCD新課講解性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角).ACB如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).歸納總結(jié)新課講解具備其中一條性質(zhì)2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.即：等腰三角形頂角平分線底邊上的高線底邊上的中線另外兩條成立新課講解歸納總結(jié)ACBD12∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC.（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC.（等腰三角形三線合一）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2.（等腰三角形三線合一）數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖,在△ABC中,新課講解

畫出任意一個(gè)等腰三角形的底角平分線、這個(gè)底角所對(duì)的腰上的中線和高，看看它們是否重合？三線合一不重合【思考】為什么不一樣？新課講解（1）等腰三角形的頂角一定是銳角.（2）等腰三角形的底角可能是銳角，也可能是直角、鈍角.（3）鈍角三角形不可能是等腰三角形.

（4）等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.（5）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.（6）等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（

）（

）（

）（

）（

）明辨是非.（

）×××√×√例題講解ABCD

例1

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).分析：（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個(gè)等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用例題講解ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）設(shè)∠A=x

,請(qǐng)把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來(lái).∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.例題講解ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x例題講解方法點(diǎn)撥在含多個(gè)等腰三角形的圖形中求角時(shí)，常常利用方程思想，通過(guò)內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.新課講解如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).例題講解解：∵AB=AD=DC∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.設(shè)∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+x+26°+x=180°，

解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.例題講解例2等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°A例題講解方法點(diǎn)撥：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．例題講解等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為_(kāi)______；等腰三角形一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為_(kāi)__________________；等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為_(kāi)_______.75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°例題講解例3已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥BC.圖②圖①利用等腰三角形的性質(zhì)證明線段間的關(guān)系例題講解證明：(1)如圖①，過(guò)A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG–DG＝CG–EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.圖②圖①G例題講解

在等腰三角形有關(guān)計(jì)算或證明中，有時(shí)需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見(jiàn)的輔助線．例題講解方法點(diǎn)撥如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)求證：EF＝ED.例題講解

例題講解(2)證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，

∴ED⊥BC，

又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，

∴EF＝ED.例題講解課堂練習(xí)第三部分PART

03yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere

C

（第2題）

C

課堂練習(xí)（第3題）

B

課堂練習(xí)

課堂練習(xí)（第4題）

√課堂練習(xí)

30（第5題）課堂練習(xí)

6課堂練習(xí)

課堂練習(xí)

求證：

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