8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直（第二課時）第八章立體幾何初步人教A版必修二教學目標

理解二面角的有關概念，會作二面角的平面角（重點）01

能求簡單二面角的平面角的大?。y點）02能

理解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理（重點、難點）03

能利用平面與平面垂直的判定定理和性質定理進行證明（重點）04平面內的一條直線，把這個平面分成兩部分，每一部分都叫做半平面。從一條直線引出的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。1.半平面：2.二面角：回顧舊知3.二面角的畫法和記法：面1－棱－面2點1－棱－點2①平臥式：二面角

－l－

l.P.Q②直立式：AB

二面角

－AB－

二面角C－AB－DABCD

AOlB4.二面角的平面角(1)定義:在二面角的棱上任取一點O，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖，

，則∠AOB叫做二面角的平面角.

它的大小與點O的選取無關.二面角的平面角必須滿足：③角的兩邊都垂直于棱①角的頂點在棱上②角的兩邊分別在兩個半平面內二面角的平面角的定義、范圍及作法回顧舊知

二面角的平面角θ的取值范圍為0o≤θ≤180o．我們把平面角是直角的二面角叫做直二面角．(2)二面角的平面角的作法：1、定義法：根據(jù)定義作出來.2、作垂面：作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到。

注意：二面角的平面角必須滿足：（1）角的頂點在棱上。（2）角的兩邊分別在兩個面內。（3）角的邊都要垂直于二面角的棱。

oABoAoABB復習回顧一“作”二“證”三“計算”求二面角大小的步驟1、找到或作出二面角的平面角2、證明1中的角就是所求的角（垂直于棱）3、計算所求的角回顧舊知2.定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直。記作:α⊥β回顧舊知兩個平面互相垂直3.兩個平面垂直的判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直圖形語言：

B符號語言該定理作用：“線面垂直面面垂直”應用該定理，關鍵是找出兩個平面中的其中任一個的垂線.文字語言：

如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β=a，則β內異于a的直線b與a是什么位置關系？相應地，b與α是什么位置關系？為什么？探究顯然，b與a平行或相交．當b//a時，b//α；當b與a相交時，b與α相交．

特別地，當b⊥a時，如圖8.6-30，設b與a的交點為A，過點A在α內作直線c⊥a，則直線b，c所成的角就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β知，b⊥c．又因為b⊥a，a和c是α內的兩條相交直線，所以b⊥α.新知探究平面與平面垂直的性質定理b兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.簡述為：面面垂直線面垂直符號表示：新知探究，得出定理

設平面α⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，則直線a與平面α具有什么位置關系？探究所以直線a與直線b重合，因此a?α．設α∩β＝c．過點P在平面α內作直線b⊥c．由平面與平面垂直的性質定理可知，b⊥β．因為過一點有且僅有一條直線與平面β垂直，新知探究如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內。lbβαcPβαlbcP證明(同一法)：設α∩β＝c，過點P在平面α內作直線b⊥c，根據(jù)上面的定理有b⊥β．因為經過一點只能有一條直線與平面β垂直，所以直線l應與直線b重合．性質定理的推論：新知探究，歸納結論【例9】已知平面α⊥平面β，不在平面α內的直線a⊥β，判斷a與α的位置關系．

典例提升，強化定理1．在互相垂直的兩個平面中，下列命題中正確命題的個數(shù)為

[

]①一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線；②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線；③一個平面內的任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．A．3

B．2

C．1

D．0鞏固練習C【例10】如圖所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

PABC證明：過點A作AE⊥PB，垂足為E．因為平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，因為BC?平面PBC，所以AE⊥BC．又因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．又PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB．所以AE⊥平面PBC，典例提升，深化定理

1.如圖，邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，AC⊥BC.求證：AM⊥平面EBC.證明∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四邊形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，BC，EC?平面EBC，∴AM⊥平面EBC.跟蹤訓練，強化理解2.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，

其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB；(3)求點D到面PAB的距離.

證明(1)(法1)又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.∴BG⊥平面PAD.跟蹤訓練，強化理解如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，

其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB；(3)求點D到面PAB的距離.

證明(1)(法2)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∵PG⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.跟蹤訓練，強化理解如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，

其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB；(3)求點D到面PAB的距離.

(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.跟蹤訓練，強化理解如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，

其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB；(3)求點D到面PAB的距離.

(3)由(1)可知PG⊥平面ABCD，∴PG是三棱錐P-ABD的高，PG=.設點D到面PAB的距離為h,即：點D到面PAB的距離為跟蹤訓練，強化理解課本P163練習10、對于三個平面α、β、γ，如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么直線l與平面γ的位置關系如何？為什么？αβγlab如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面。拓展提升在α內作直線a

⊥n證法1、證明：設在β內作直線b⊥mαβlγbmna垂直于同一平面的兩平面的交線垂直于這個平面。已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求證：a⊥γ.線線垂直線面垂直拓展提升在γ內過A點作直線a⊥n，證法2：設在γ內過A點作直線b⊥m，同理在γ內任取一點A（不在m,n上），abαβlγnmA垂直于同一平面的兩平面的交線垂直于這個平面。已知：α⊥γ，β⊥γ,α∩β=а,求證：a⊥γ.1.已知：平面α的一條斜線l在平面α上的射影為l′，a?α求證：（1）若a⊥l′，則a⊥l；

（2）若a⊥l，則a⊥l′．拓展提升用三垂法作二面角的平面角的一般步驟：1．在其中一個半平面內取恰當?shù)囊稽cP，

過點P作另一個平面的垂線，垂足設為Q；2．過點Q作棱l的垂線，垂足為O，連接OP；3．易知，l垂直O(jiān)P