2022-2024北京重點校高二（下）期末數(shù)學(xué)匯編

統(tǒng)計與概率章節(jié)綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2023北京西城高二下期末）設(shè)隨機變量J的分布列如下：

412345

P%a2〃3%〃5

則下列說法中不正理的是（）

當(dāng)（）時,

A.P（^<2）=l-P（^>3）B.4=1"=1,2,3,4

C.若｛%｝為等差數(shù)列，則4=!D.｛%｝的通項公式可能為而

2.（2023北京人大附中高二下期末）小明有4枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面.他想把4個

硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，則不同的擺法有（）

A.4種B.5種C.6種D.9種

3.（2023北京人大附中高二下期末）甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙從該正方形

四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是

4.（2023北京人大附中高二下期末）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事

件A,“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B,則事件A,B中至少有一件發(fā)生的概率是

,5?1-7r3

A.—B.-C.—D.一

122124

5.（2023北京人大附中高二下期末）一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國

王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢

測.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚.國王用方法一、二

能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別記為Pi和P2.則

A.Pi=P?B.A<p2C.ppp?D.以上三種情況都有可能

6.（2022北京大興高二下期末）從生物學(xué)知道，生男孩和生女孩概率基本相等，都可以近似認為是，如

果某一家庭中先后生了兩個小孩：當(dāng)已知兩個小孩中有女孩的條件下，兩個小孩中有男孩的概率是（）

A.-B.-C.。D.-

4323

7.（2022北京第十一學(xué)校高二下期末）為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進行了

一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時進行了結(jié)業(yè)考試.如圖是該次考試成績隨機抽樣樣本的頻率分布

直方圖.則下列關(guān)于這次考試成績的估計錯誤的是（）

A.眾數(shù)為82.5B.中位數(shù)為85

C.平均數(shù)為88D.有一半以上干部的成績在80?90分之間

8.（2022北京第八中學(xué)高二下期末）甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解出這個問題的概率;，乙解出

這個問題的概率是那么其中至少有1人解出這個問題的概率是

A-IB-1D-i

9.（2022北京西城高二下期末）將一枚均勻硬幣隨機擲4次，恰好出現(xiàn)2次正面向上的概率為（）

A.-Bc"D

4-1-i

二、多選題

10.（2023北京第十二中學(xué)高二下期末）2014—2022年（2022年為上半年）中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）

統(tǒng)計如下，且已知2022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，則下列結(jié)論中正確的是

2014—2022年上半年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）統(tǒng)計圖

口國內(nèi)生產(chǎn)總值（萬億元）同比增長率（％）

140.00--------------20

114.37

120.00...............-10

100.00--------------0

74.64峭0

80.00°“一-10

64.3668.8956.26

60.00-TH---20

40.00--------30

20.00-----40

0.00_L_|_L_J_l_l_l_J__l_J__L_L_50

201420152016201720182019202020212022年

上半年

A.2022年下半年中國GDP為64.75萬億元

B.2022年中國GDP大于2014年與2015年的GDP之和

C.2014—2021年中國GDP同比增長率超過10%的有2017年、2018年、2021年

D.2014—2021年中國GDP同比增長最快的是2021年

三、填空題

11.（2024北京房山高二下期末）為了提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，某市定期舉辦中學(xué)生科技知識競賽.某次科

技知識競賽中，需回答20個問題，記分規(guī)則是：每答對一題得5分，答錯一題扣3分.從參加這次科技知

識競賽的學(xué)生中任意抽取1名，設(shè)其答對的問題數(shù)量為X,最后得分為y分.當(dāng)x=10時，y的值為一；

若尸(y060)=0.7,則P(X<15)=_.

12.(2023北京朝陽高二下期末)某中學(xué)高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)分別為1200,1000,800,為

迎接運動會的到來，按照各年級人數(shù)所占比例進行分層抽樣，選出30名志愿者，則高二年級應(yīng)選出的人

數(shù)為.

13.(2022北京大興高二下期末)拋擲一枚均勻的骰子，記所得點數(shù)為X,則尸(X>3)=.

四、解答題

14.(2024北京東城高二下期末)某次乒乓球比賽單局采用11分制，每贏一球得一分.每局比賽開始時，

由一方進行發(fā)球，隨后每兩球交換一次發(fā)球權(quán)，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局

比分打成10:10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.已知甲、乙兩人要進行一場五局三勝

制(當(dāng)一方贏得三局比賽時，該方獲勝，比賽結(jié)束)的比賽.

(1)單局比賽中，若甲發(fā)球時甲得分的概率為二，乙發(fā)球時甲得分的概率為《，求甲4:0領(lǐng)先的概率；

(2)若每局比賽乙獲勝的概率為(，且每局比賽結(jié)果相互獨立，求乙以3:1贏得比賽的概率.

15.(2022北京通州高二下期末)某校高二年級共有學(xué)生400名，將數(shù)學(xué)和語文期中檢測成績整理如表1

所示.

表1

語文成績

數(shù)學(xué)成績合計

優(yōu)秀不優(yōu)秀

優(yōu)秀7354127

不優(yōu)秀61212273

不優(yōu)秀134266400

表2

語文成績

數(shù)學(xué)成績合計

優(yōu)秀不優(yōu)秀

優(yōu)秀8513

不優(yōu)秀72027

不優(yōu)秀152540

(1)從400名學(xué)生中隨機選擇一人做代表.

①求選到的同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀且語文成績優(yōu)秀的概率;

②在選到同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的條件下，求選到同學(xué)語文成績優(yōu)秀的概率：

（2）從400名學(xué)生中獲取容量為40的有放回簡單隨機樣本，樣本數(shù)據(jù)整理如表2,依據(jù)a=O.O5的獨立

性檢驗，能否認為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？

n(ad-be)2

%05=3.841)

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

16.（2022北京第八十中學(xué)高二下期末）在抗擊新冠肺炎疫情期間，很多人積極參與了疫情防控的志愿者

活動.各社區(qū)志愿者服務(wù)類型有：現(xiàn)場值班值守，社區(qū)消毒，遠程教育宣傳，心理咨詢（每個志愿者僅參與

一類服務(wù)）.參與4B,C三個社區(qū)的志愿者服務(wù)情況如下表：

服務(wù)類型

社區(qū)社區(qū)服務(wù)總?cè)藬?shù)

現(xiàn)場值班值守社區(qū)消毒遠程教育宣傳心理咨詢

A10030302020

B12040352025

/p>

（1）從上表三個社區(qū)的志愿者中任取1人，求此人來自A社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作的概率；

（2）從上表三個社區(qū)的志愿者中各任取1人調(diào)查情況，以X表示負責(zé)現(xiàn)場值班值守的人數(shù)，求X的分布

列；

（3）已知A社區(qū)心理咨詢滿意率為0.85,8社區(qū)心理咨詢滿意率為0.95,C社區(qū)心理咨詢滿意率為0.9,

“芻=1,%=1,全=1”分別表示A，B,C社區(qū)的人們對心理咨詢滿意，“以=0,么=0，〃=?！狈謩e表

示A,B,C社區(qū)的人們對心理咨詢不滿意，寫出方差可以），D國）,以加）的大小關(guān)系.（只需寫出結(jié)

論）

17.（2022北京第二中學(xué)高二下期末）某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的

“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：

從2021年夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分

為A,B,C,D,E五個等級,確定各等級人數(shù)所占比例分別為15%,35%,35%,13%,2%,等級考試科目

成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到［86,100］、

［71,85］、［56,70］、［41,55］、［30,40］五個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)

換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表：

等級ABCDE

比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

Y-YT-T

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算：=

其中X,右分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，（、心分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，y表

示原始分，T表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為工，七時，等級分分別為（、T2

假設(shè)小南的化學(xué)考試成績信息如下表:

考生科目考試成績成績等級原始分區(qū)間等級分區(qū)間

化學(xué)75分B等級[69,84][71,85]

QJ_75R5—T

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)門,根據(jù)公式得：

所以7=76.6。77（四舍五入取整），小南最終化學(xué)成績?yōu)?7分.

已知某年級學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換本年級的化學(xué)等級成績，其中化學(xué)成

績獲得A等級的學(xué)生原始成績統(tǒng)計如下表:

成績95939190888785

人數(shù)1232322

（1）從化學(xué)成績獲得A等級的學(xué)生中任取2名，求恰好有1名同學(xué)的等級成績不小于96分的概率;

（2）從化學(xué)成績獲得A等級的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級成績不小于96分人數(shù)為乙求J的分

布列和期望.

參考答案

1.D

【分析】利用概率的性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)以及裂項法求和依次求解即可.

【詳解】選項A,由已知得4+/+/+%+%=1，其中尸（JV2）=尸?=1）+?6=2）

=al+a2,尸（。23）=尸（。=3）+尸（。=4）+尸（。=5）=%+。4+%,則尸片《2）=1—尸?23）,所以選項A正

確；

選項B,當(dāng)?！?，■（〃=1,2,3,4）時,即％三彳,%=-,a4=—,

224816

則%=1—（%+%+/+%）=77，所以選項B正確；

162

選項C,4+%+/+4+%=（4+。5）+（。2+。4）+4=24+2々3+。3=1,解得/=1，所以選項c正確；

、5111.1111111115,

選項D,~~—7，貝|1=4+%+〃3+〃4+〃5=]-----1-----------1--------H-------------1--------=-W],

H（H+1）nn+1523452233445566

即｛%｝的通項公式不可能為怎=馬不，所以選項D不正確；

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)題意，列出所有滿足題意的擺法即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，列出所有滿足題意的擺法如下（從下到上）：

正-正-正-正，

反-反-反-反，

反-正-正-正，

反一反-正-正，

反一反一反-正.

共5種不同的擺法.

故選：B.

3.C

【詳解】甲共得6條，乙共得6條，共有6x6=36（對），其中垂直的有第=10對，；.P=^=工

3618

本題選擇C選項.

4.C

【詳解】試題分析：由題意可知，事件A與事件B是相互獨立的，而事件A、B中至少有一件發(fā)生的事件

包含A尻AB，AB,又尸（A）=g,P（B）=g所以所事件的概率為

P=P（AB）+P（AB）+P（AB）=l-P（AB）=l-fl-|Wl-^=^,故選c.

考點：相互獨立事件概率的計算.

999801

【詳解】因為口=1-

10010000

989800

10010000

所以P1<。2

故選:B

6.D

【分析】利用列舉法求出基本事件的個數(shù)，和兩個小孩中有男孩包含的基本事件的個數(shù)，再根據(jù)古典概型

即可求出兩個小孩中有男孩的概率.

【詳解】解：某個家庭中先后生了兩個小孩，已知兩個小孩中有女孩，

則基本事件有：

｛女女｝，｛男女｝，｛女男｝,共三種情況，

其中兩個小孩中有男孩包含的基本事件有2個，

2

兩個小孩中有男孩的概率為P=§.

故選：D.

7.C

【分析】A根據(jù)直方圖判斷眾數(shù)的位置即可；B由中位數(shù)定義，找到頻率前〃組中頻率和為0.5的位置即

可；C利用直方圖求出平均數(shù)即可；D求出80~90分之間的頻率，與0.5比較大小即可.

【詳解】由圖知：眾數(shù)出現(xiàn)在［80,85)之間，故眾數(shù)為82.5,A正確；

由(0.01+0.03+0.06)x5=0.5,即中位數(shù)為85,B正確；

由(0.01x72.5+0.03x77.5+0.06x82.5+0.05x87.5+0.03x92.5+0.02x97.5)x5=85.5,C錯誤；

由(0.06+0.05)x5=0.55>0.5,有一半以上干部的成績在80~90分之間，D正確.

故選：C

8.D

【分析】由甲解決這個問題的概率是乙解決這個問題的概率是:，則“至少有一人解決這個問題”的

42

事件的對立事件為“甲、乙兩人均不能解決該問題”，我們可先求出“甲、乙兩人均不能解決該問題”，

然后根據(jù)對立事件概率減法公式，代入求出答案.

【詳解】甲解決這個問題的概率是

4

13

，甲解決不了這個問題的概率是1-;=;,

44

,乙解決這個問題的概率是

，乙解決不了這個問題的概率是1-1=:

22

313

則甲、乙兩人均不能解決該問題的概率為-x—二-

428

35

則甲、乙兩人至少有一人解決這個問題的概率為1-：=2

OO

故選：D.

【點睛】本題考查的知識點是相互獨立事件的概率乘法公式及對立事件概率減法公式，其中根據(jù)已知求出

“甲乙兩個至少有一人解決這個問題”的事件的對立事件為“甲、乙兩人均不能解決該問題”的概率，是

解答本題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】利用,次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生上次的概率計算公式能求出恰好出現(xiàn)2次正面向上的概

率.

【詳解】投擲4次的所有可能結(jié)果為24=16種，

其中恰好出現(xiàn)2次正面向上的事件有C：=6種，

據(jù)此可得，題中所求事件的概率值為：尸=.

168

故選：B.

10.ACD

【分析】由2022年全年中國GDP減去2022年上半年中國GDP可判斷A；2014年與2015年上半年中國

GDP和為大于2022年全年中國GDP,可判斷B；由圖可判斷C,D.

【詳解】對于A,因為2022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，

2022年上半年中國GDP為56.26萬億元，所以2022年下半年中國GDP為121.01-56.26=64.75萬億元，

故A正確；

對于B,因為2014年與2015年中國GDP和為64.36+68.89=133.25>121.01,

故2022年中國GDP小于2014年與2015年的GDP之和，故B錯誤；

對于C,由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長率超過10%的有2017年、2018年、2021年，故C

正確；

對于D,由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長最快的是2021年，故D正確.

故選：ACD.

11.200.3/—

10

【分析】易知當(dāng)X=1O時，答錯10道題，因此得分為20；根據(jù)題意得出隨機變量x與y的關(guān)系式，再由

對立事件概率可求結(jié)果.

【詳解】由題意知，說明答對io道題，答錯io道題，

又答對得5分，答錯得-3分，

所以最后得分y=5X—3(20—X)=8X—60(0WX420),

即當(dāng)X=10時，7=20;

若y260,即8X-60N60,可得X，15,

P(y>60)=P(X>15)=l-P(X<15)=0.7,

P(X<15)=0.3,

故答案為：20；0.3

12.10

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合已知條件直接求解即可.

【詳解】由題意可得高二年級應(yīng)選出的人數(shù)為

1000

x30=10人,

1200+1000+800

故答案為：10

13.-/0.5

2

【分析】分別求出點數(shù)的所有基本事件的個數(shù)和點數(shù)X>3的基本事件的個數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解.

【詳解】解：點數(shù)為X有L2,3,4,5,6共6種情況，

其中點數(shù)X>3有4,5,6,這3種情況,

31

所以尸(X>3)=J=不

o2

故答案為：

4

14.(1)—；

v25

【分析】(1)利用相互獨立事件乘法公式列式計算即得.

(2)確定乙以3:1贏得比賽的事件，再利用相互獨立事件的概率公式計算即得.

44114

【詳解】⑴設(shè)事件A：單局比賽中甲4:0領(lǐng)先，貝1」尸5)=^《'5、5=不，

4

所以單局比賽中甲4:。領(lǐng)先的概率為—.

(2)設(shè)事件3：乙以3:1贏得比賽，即前3局中乙輸1局勝2局，第4局乙勝的事件，

貝(jP(B)=3x|x(1)3=^-,

所以乙以3:1贏得比賽的概率是最2■.

15.(1)①473；②73(2)在犯錯誤的概率不超過0。5前提下，能認為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)

聯(lián).

【分析】（1）①利用表格中的頻數(shù)可得概率；

②利用表格以及條件概率的計算公式，計算可得答案；

（2）利用獨立性檢驗公式代入計算，與％。5=3.841作比較，可得結(jié)論.

【詳解】（1）①設(shè)事件A：選到的同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀且語文成績優(yōu)秀，則P（A）=1S；

/、P（BC}73

②設(shè)事件3：選到同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，設(shè)事件C：選到同學(xué)語文成績優(yōu)秀，則「（。8）=無品=而;

n(ad-be)?40(8x2。-5X7)：748>3.841

⑵.z2

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)15x25x27x13

，在犯錯誤的概率不超過Q05前提下，能認為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián).

3

16.（1）—（2）詳見解析（3）。（務(wù)）＞。（〃）＞。（右）

【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可;

（2）先求出A,B,C三個社區(qū)負責(zé)現(xiàn)場值班值守的概率，得出X的所有可能取值，并計算出相應(yīng)的概

率，即可得出分布列;

（3）根據(jù)方差的意義進行判斷即可.

【詳解】解：（1）記“從上表三個社區(qū)的志愿者中任取1人,此人來自A社區(qū)，并且參與社區(qū)消毒工作”

為事件D,

303

100+120+15037

-3

所以從上表三個社區(qū)的志愿者中任取1人，此人來自A社區(qū),并且參與社區(qū)消毒工作的概率為彳

（2）從上表三個社區(qū)的志愿者中各任取1人，由表可知：A,B,C三個社區(qū)負責(zé)現(xiàn)場值班值守的概率分

口M311

別為6“i

X的所有可能取值為0,1,2,3.

z7222814/\322712721404

P(