2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

二項分布與超幾何分布

一、解答題

1.（2025北京石景山高三上期末）某城市的甲、乙兩個區(qū)，甲區(qū)有500個居民小區(qū)，乙區(qū)有300個居民小

區(qū).為了解甲、乙兩個區(qū)在綠化與垃圾分類兩方面的達標情況，進行了調(diào)查統(tǒng)計，結(jié)果如下：（單位：個）

綠化達標且垃圾分類達

綠化達標垃圾分類達標

標

甲區(qū)300250200

乙區(qū)180150120

（1）從甲乙兩區(qū)的所有居民小區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，求抽到的是“甲區(qū)且綠化達標”的概率；

（2）從甲區(qū)和乙區(qū)中各隨機抽取一個居民小區(qū)，設(shè)J表示這兩個居民小區(qū)中“垃圾分類達標”的個數(shù)，求J的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）城市管理部門計劃按照分層抽樣從甲、乙兩區(qū)抽取40個居民小區(qū)進行評比，在抽取的40個居民小區(qū)中，

設(shè)X為“綠化達標”居民小區(qū)的數(shù)量，丫為“綠化達標且垃圾分類達標”居民小區(qū)的數(shù)量，試判斷方差

D（x）,z）（y）的大小.（結(jié)論不要求證明）

2.（2025北京西城高三上期末）為踐行五育并舉，增強學(xué)生體質(zhì)，某校擬開設(shè)課外體育活動課.現(xiàn)從全校高

一學(xué)生中分層隨機抽樣出100名男生和80名女生，對其選課意愿作調(diào)查統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下：

男生女生

選擇不選擇選擇不選擇

排球50505030

籃球25751565

足球7525575

乒乓球10901070

假設(shè)所有學(xué)生是否選擇排球、籃球、足球、乒乓球相互獨立，用頻率估計概率.

（1）假設(shè)全校共有1800名高一學(xué)生，直接判斷下列結(jié)論的正誤.

結(jié)論A：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計全校有800名高一學(xué)生有選擇足球課的意愿；

結(jié)論8：樣本中男生對排球課和籃球課都不選擇的人數(shù)可以為20；

（2）若從該校全體高一男生中隨機抽取2人，全體高一女生中隨機抽取1人，記這3人中選擇排球課的人數(shù)

為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）記樣本中男生選擇排球、籃球、足球、乒乓球課的頻率依次為再也,％,其方差為s；；樣本中男生不

選擇這四個活動課的頻率依次為必,外,%,以，其方差為或?qū)懗鰏；與s；的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

第1頁/共18頁

3.（2025北京朝陽高三上期末）隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融入我們的日常生活.在教育領(lǐng)

域，//的賦能潛力巨大.為了解教師對//大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取了200名教師，對使用4

B、C、。四種4大模型的情況統(tǒng)計如下：

使用4大模型的種

01234

數(shù)性別

男427231610

女648272415

在上述樣本所有使用3種//大模型的40人中，統(tǒng)計使用/、B、C、。的//大模型人次如下:

//大模型種

ABCD

類

人次32303028

用頻率估計概率.

（1）從該地區(qū)教師中隨機選取一人，估計至少使用兩種4大模型（4、B、C。中）的概率；

（2）從該地區(qū)使用3種//大模型（A、B、C、。中）的教師中，隨機選出3人，記使用8的有X人，求X的

分布列及其數(shù)學(xué)期望￡（x）；

（3）從該地區(qū)男，女教師中各隨機選一人，記他們使用4尤莫型（A、B、C。中）的種數(shù)分別為Y,Z,比

較匕Z的數(shù)學(xué)期望E（y）,E（Z）的大小.（結(jié)論不要求證明）

4.（2024北京一六六中高三上期末）某社區(qū)計劃組織一次公益講座向居民普及垃圾分類知識，為掌握居民

對垃圾分類知識的了解情況并評估講座的效果，主辦方從全體居民中隨機抽取10位參加試講講座活動，讓

他們在試講講座前后分別回答一份垃圾分類知識問卷.試講講座前后，這10位居民答卷的正確率如下表：

編

號

10

正1號2號3號4號5號6號7號8號9號

號

確

率

試

講

講65%60%0%100%65%75%90%85%80%60%

座

、，.

刖

試90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%

第2頁/共18頁

講

講

座

后

根據(jù)居民答卷的正確率可以將他們垃圾分類的知識水平分為以下三個層級:

答卷正確率P”70%70</?<90%90%<j7<100

垃圾分類知識水平一般良好優(yōu)秀

假設(shè)每位居民回答問卷的結(jié)果之間互相獨立，用頻率估計概率.

(1)正式講座前.從該社區(qū)的全體居民中隨機抽取1人，試估計該居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的概率;

(2)正式講座前，從該社區(qū)的全體居民中隨機抽取3人，這3人垃圾分類知識水平分別是“一般”、“良好”、“良

好”.設(shè)隨機變量X為“這3人講座后垃圾分類知識水平達到，優(yōu)秀，、的人數(shù)”，試估計X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(3)在未參加講座的全部居民中再隨機抽取若干人參加下一輪的公益講座并讓他們在講座前后分別填寫問

卷.從講座后的答卷中隨機抽取一份，如果完成該答卷的居民的知識水平為“良好”，他在講座前屬于哪一知

識水平的概率最大？(結(jié)論不要求證明)

5.(2024北京豐臺高三上期末)2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶.某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與

未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異.在某地的兩類人群中各隨機抽取20人的該項醫(yī)學(xué)指標作為樣本，得

到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

“頻率/組距今頻率/組距

O88

O.SO7.O7

O6.O6

.O

O.O55

O.S.O

O4.O4

3

O.O.O.03

O22

O.S

O11

.0

0510152025指標0152025303540指標

患病者未患病者

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值。，將該指標小于。的人判定為陽性，大于或等于。的人判

定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為P(。)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為式“).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計概率.

(1)當(dāng)臨界值。=20時，求漏診率p(a)和誤診率q(a)；

(2)從指標在區(qū)間[20,25]樣本中隨機抽取2人，記隨機變量X為未患病者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記/(?)為該地診斷結(jié)果不符合真實情況的概率.當(dāng)ae[20,25]時,

直接寫出使得取最小值時的。的值.

6.(2024北京昌平高三上期末)某汽車生產(chǎn)企業(yè)對一款新上市的新能源汽車進行了市場調(diào)研，統(tǒng)計該款車

車主對所購汽車性能的評分，將數(shù)據(jù)分成5組：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140],并整理

第3頁/共18頁

得到如下頻率分布直方圖:

(1)求加的值；

(2)該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務(wù)項

目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務(wù)項目.若為這3人提供的售后服務(wù)項目總價值為

X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡(x)；

(3)用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評分不低于110分的人數(shù)為丫，問

M左=o,i,2,…jo)為何值時,p(y=左)的值最大？(結(jié)論不要求證明)

7.(2024北京西城高三上期末)生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學(xué)生和

大學(xué)生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一

款跑步軟件，結(jié)果如下：

跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四

中學(xué)生80604020

大學(xué)生30202010

假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對跑步軟件的喜愛互不影響.

(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件

一的概率；

(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人.記X為這3人中最

喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為為，x2,與，匕，其方差為s；;樣本中的大

學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為乂，%,%,y4,其方差為y；%2,退，%4,%，%,

力,為的方差為S；.寫出S；,S；,S；的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

8.(2024北京海淀高三上期末)甲、乙、丙三人進行投籃比賽，共比賽10場，規(guī)定每場比賽分數(shù)最高者獲

勝，三人得分(單位：分)情況統(tǒng)計如下：

場次12345678910

第4頁/共18頁

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場，求甲獲勝的概率;

(2)在上述10場比賽中，從甲得分不低于10分的場次中隨機選擇兩場，設(shè)X表示乙得分大于丙得分的場數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(3)假設(shè)每場比賽獲勝者唯一，且各場相互獨立，用上述10場比賽中每人獲勝的頻率估計其獲勝的概率.甲、

乙、丙三人接下來又將進行6場投籃比賽，設(shè)升為甲獲勝的場數(shù)，打為乙獲勝的場數(shù)，工為丙獲勝的場數(shù),

寫出方差。化)，?；?，刀化)的大小關(guān)系.

9.(2024北京一六六中高三上期末)為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機抽樣的方式隨機調(diào)查

了100戶居民，獲得了他們每戶月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在50?350kW-h之間，進行適

當(dāng)分組后(每組為左閉右開區(qū)間)，得到如下頻率分布直方圖：

八頻率

W

0.0060----------------——

0.0048-----------------------------

0.0036----------——

0.0024-----------------------------------

0.0008-----------------------------------------1

O50100150200250300350月均用電量/(kW,h)

⑴記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組，從第5組和第6組中任取2

戶居民，求他們月均用電量都不低于300kW?h的概率；

⑵從該地區(qū)居民中隨機抽取3戶，設(shè)月均用電量在50?150kW,h之間的用戶數(shù)為X,以頻率估計概率，求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(x)；

(3)該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于wkW-h的居民用戶每

戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估

計w應(yīng)定為多少合適？(只需寫出結(jié)論).

10.(2023北京豐臺高三上期末)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)(簡稱“非遺”)是優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是一個

國家和民族歷史文化成就的重要標志.隨著短視頻這一新興媒介形態(tài)的興起，非遺傳播獲得廣闊的平臺，

非遺文化迎來了發(fā)展的春天.為研究非遺短視頻受眾的年齡結(jié)構(gòu)，現(xiàn)從各短視頻平臺隨機調(diào)查了1000名非

遺短視頻粉絲，記錄他們的年齡,將數(shù)據(jù)分成6組：口0,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70],并整理

得到如下頻率分布直方圖:

第5頁/共18頁

(2)從所有非遺短視頻粉絲中隨機抽取2人，記取出的2人中年齡不超過40歲的人數(shù)為X,用頻率估計概率,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)在頻率分布直方圖中，用每一個小矩形底邊中點的橫坐標作為該組粉絲年齡的平均數(shù)，估計非遺短視頻

粉絲年齡的平均數(shù)為相，若中位數(shù)的估計值為〃，寫出加與〃的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

11.(2023北京石景山高三上期末)某學(xué)校有初中部和高中部兩個學(xué)部，其中初中部有1800名學(xué)生.為了

解全校學(xué)生兩個月以來的課外閱讀時間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取了100名學(xué)生進行問卷調(diào)查,

將樣本中的“初中學(xué)生，，和“高中學(xué)生，，按學(xué)生的課外閱讀時間(單位：小時)各分為5組:

[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],得到初中生組的頻率分布直方圖(圖1)和高中生組的頻數(shù)分布表(表

1).

圖1初中生組

表1高中生組

分組區(qū)間頻數(shù)

[0,10)2

[10,20)10

[20,30)14

[30,40)12

第6頁/共18頁

[40,50]2

(1)求高中部的學(xué)生人數(shù)并估計全校學(xué)生中課外閱讀時間在［30,40)小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)；

(2)從課外閱讀時間不足10個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，記4為3人中初中生的人數(shù)，求4的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

(3)若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該校高中部抽取10名學(xué)生進行調(diào)查，其中有4名學(xué)生的

閱讀時間在［30,40)的概率為0,1,2,…,10),請直接寫出人為何值時々取得最大值.(結(jié)論不要求證明)

第7頁/共18頁

參考答案

3

L(D?

（2）分布列見詳解，1

⑶。(x)=〃(y)

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用古典概型計算概率即可;

（2）根據(jù)表格求得從甲區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“垃圾分類達標”小區(qū)的概率，以及從乙區(qū)中隨機

抽取一個居民小區(qū)，它是“垃圾分類達標”小區(qū)的概率，再分別求得J=1,2,3的概率，即可寫出分布列，進而

求得數(shù)學(xué)期望;

（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出離散型隨機變量的方差。（x）,o（y）,從而判斷.（學(xué)生作答時，直接寫

結(jié)果即可，無需說明理由）.

【詳解】（1）設(shè)事件4="抽到的是甲區(qū)且綠化達標”,

因為該城市試點區(qū)的所以居民小區(qū)共有500+300=800個,

甲區(qū)且綠化達標的居民小區(qū)共有300個,

則尸⑷嗡8

所以，抽到的是“甲區(qū)且綠化達標”的概率為

8

（2）由題意，4的所有可能的取值為（M,2.

從甲區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“垃圾分類達標”小區(qū)的概率為|^=1,

從乙區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“垃圾分類達標”小區(qū)的概率為嘿=；

2

貝Up(J=0)=C；x(l-g=；,尸佰=1）心/1I21

42

尸(J=2)=C；xI1T

所以4的分布列為:

012

j_j_

P

4~24

所以，數(shù)學(xué)期望E⑷=0x；+lx；+2x：=l.

（3）因為甲區(qū)有500個居民小區(qū)，乙區(qū)有300個居民小區(qū)，共800個,

所以從甲小區(qū)里抽取40x黑=25個，從乙小區(qū)里抽取40x券=15個,

800800

第8頁/共18頁

由表格可知：

3003

從甲區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“綠化達標”小區(qū)的概率為—

從乙區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“綠化達標”小區(qū)的概率為罪=I,

因此，隨機變量'~q40,3,則。(X)=40xg[l-=

由表格可知：

從甲區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū)，它是“綠化達標且垃圾分類達標”小區(qū)的概率為20羌0=]2，

從乙區(qū)中隨機抽取一個居民小區(qū),它是“綠化達標且垃圾分類達標”小區(qū)的概率為12益0=:2，

因此，隨機變量丫?臺[。，1],則D(y)=40x|x「_|j='.

所以，D(x)=z)(y).

2.(1)結(jié)論A正確，結(jié)論B不正確.

(2)

X0123

311135

P

32323232

數(shù)學(xué)期望為：?13

O

(3)必=l-x1,y2=l-x2,y3=l-x3,y4=1-x4,故方差相等.

【分析】⑴結(jié)合題目，利用樣本中選擇足球的人數(shù)的比例求解，黑xl800=800.故結(jié)論A正確.因為選擇排

lot)

球的男生有50人，選擇籃球的有25人，故不可能樣本中男生對排球課和籃球課都不選擇的人數(shù)為20.故結(jié)

論B錯誤.

(2)利用全概率公式求解即可；

(3)根據(jù)題意有如下關(guān)系：乂=1-玉,%=1-尤2，%=1-尤3，乂=1-尤4,結(jié)合方差的性質(zhì)得到兩者方差相等.

【詳解】(1)結(jié)論A正確，結(jié)論3不正確.

(2)(2)一男生選擇排球課的概率估計為=1,

高一女生選擇排球課的概率估計為=1.

80o

隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

第9頁/共18頁

1311511

尸(X=l)=2X—X—X—H——x—x—

2822832

113cl1513

P(X—2)——x—x—F2x—x—x—=—,

'722822832

P(X=3]=-x-x-=—

'722832

所以X的分布列為:

X0123

311135

P

32323232

田廠/、八n31113,513

故^E(X)—0x----F1x-----F2x---F3x—二—

v7323232328

(3)s；.

23

3.(z1)—

v740

9

（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為彳

⑶E（y）＞￡（z）

【分析】（1）用樣本頻率估計總體概率即可求解；

（2）用樣本頻率估計概率，求出“從該地區(qū)使用3種4大模型的40名教師中隨機選1人，該人使用模型十

的概率為則被抽取的人數(shù)X?2（3彳1,由二項分布概率公式即可求解；

（3）求出隨機變量對應(yīng)的概率，利用期望公式分別求出y,z的數(shù)學(xué)期望，再比較大小即可.

【詳解】（1）記事件M為“從該地區(qū)教師中隨機選取一人，至少使用兩種4大模型”,

MH在、_Lr>/A八50+40+2523

貝1J估計二一——

40

（2）記事件N為“從該地區(qū)使用3種//大模型的40名教師中隨機選1人，該人使用模型3”,

303

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，噂）=丁“

X的可能取值為01,2,3,

1

尸(X=0)=C；

64

3

p(X=l)=C；1=2

27

尸(X=2)=C；

64

27

尸(X=3)=C；

64

第10頁/共18頁

X的分布列為

X0123

192727

P

64646464

L/sc1,9c27c279

E(X)—0x--F1x---F2x---F3x—=一

v7646464644

（3）由題意可得該地區(qū)男，女教師人數(shù)分別為：80和120,

皿日分廠人八八4127c23rl610161

貝U易七'（y）=0xF1xF2xF3xF44x——,

v7808080808080

/\648272415234,,「八八/\

￡（Z）—0x---F1x---F2x----F3x----F4x----,E（Yj〉E（Zj.

'7120120120120120120v7v7

4.⑴g

（2）答案見解析

（3）他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.

【分析】（1）先根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，求出居民垃圾分類知識水平恰為“一般”的頻率，可估計相關(guān)的概率.

（2）先明確正式講座前，垃圾分類水平為“一般”和“良好”的人在試講講座后達到“優(yōu)秀”的概率，再求對應(yīng)

的概率，可得X的分布列，并求其期望.

（3）利用條件概率求解判斷.

【詳解】（1）正式講座前，10位選取的居民中，垃圾分類知識水平為“一般”的人數(shù)為5人，所以垃圾分類

知識水平位“一般”的頻率為：y,

所以估計居民垃圾分類知識水平恰為''一般”的頻率為：P=g.

（2）由表中提供的數(shù)據(jù)可得：正式講座前，垃圾分類知識水平為“一般”的人在講座后，達到“優(yōu)秀”的概率

2

估計為：

正式講座前，垃圾分類知識水平為“良好”的人在講座后，達到“優(yōu)秀”的概率估計為：1.

由題意，X的值可以為：0,1,2,3

且:…

所以X的分布列為:

第11頁/共18頁

X0123

420112

P

15454545

b2?八4120c11r216

以EX=0x----F1x-----F2x----F3x—=—.

1545454515

(3)從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“一般”記為事件A,則尸(/)=；,講座后，知識水

3

平為“良好”的概率估計為《；

從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件8,則尸(5)=歷，講座后，知識水平為“良

好”的概率估計為：；

從未參加講座的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“優(yōu)秀”記為事件C,則P(c)=:,講座后，知識水平為“良

好”的概率估計為0；

從參加講座后的居民中抽取1人，垃圾分類水平為“良好”記為事件Z,則尸(D=g.

1332

因為P(如］)=?需=辛|,「("⑷一黯二胃二)尸(C⑷=0.

22

所以他在講座前屬于“一般”知識水平的概率最大.

5.(1)X20)=0.1,式20)=0.05

(2)分布列見解析；期望為g

(3)0=20

【分析】(1)由頻率分布直方圖計算可得;

(2)利用超幾何分布求解；

(3)寫出f(a)的表達式判單調(diào)性求解.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知9(20)=0.02x5=0.1,9(20)=0.01x5=0.05.

(2)樣本中患病者在指標為區(qū)間［20,25］的人數(shù)是20x0.02x5=2,未患病者在指標為區(qū)間［20,25］的人數(shù)是

20x0.03x5=3,總?cè)藬?shù)為5人.

X可能的取值為0,1,2.

C2C°1Cki3c°C23

P(X=0)=^-^=—,尸(X=l)=^y^=—,P(X=2)=^y^=—

點10IC5C；10

隨機變量X的分布列為

X012

第12頁/共18頁

133

P

105W

隨機變量X的期望為E(X)=0x\+lx12x”.

(3)由題，〃a)=q(a)x95%+p(a)x5%,

〃e[20,25]時，令a=，+20,?=0,1,2,3,4,5)

二5義10.01+0.03x5,P1)=5x(0.02一0.02x?

所以/(a)=g(7)=5x/01+0.03x￡|x95%+5x(0.02-0.02x￡|x5%,關(guān)于/的一次函數(shù)系數(shù)為

5(0.03xl9%-0.02xl%)>0,故g(。單調(diào)遞增，貝卜=0即a=20時/⑷取最小值

6.⑴機=0.028；

(2)分布列見解析，期望6900；

(3)4=7.

【分析】(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)計算即可；

(2)利用頻率分布直方圖及離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可；

(3)利用二項分布的概率公式計算即可.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知(0.005+0.025+0.035+m+0.007)xl0=l=>加=0.028；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知評分低于110分的占比0.3,評分不低于110分的占比0.7,

任選3人中其評分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分,

2人不低于110分；3人均不低于110分，

所以X可取9000,8000,7000,6000四種情況，

P(X=9000)=0.33=0.027,p(x=8000)=3x0.32x0.7=0.189,

尸(X=7000)=3x0.31x0.72=0.441,尸(X=6000)=0.73=0.343,

故X的分布列為：

X9000800070006000

尸（X）0.0270.1890.4410.343

貝l|E（X）=9000x0.027+8000x0.189+7000x0.441+6000x0.343=6900；

（3）由題意可知尸（1,）=1><（0.7）&（0.3廣*,

可知當(dāng)左=7時P（Y=k）取得最大值.

,、\P（Y=k\>P（Y=k+\\

證明如下：設(shè)尸“=人）最大，即

第13頁/共18頁

1

k0x（0.7/x（O.3p>Cx（O.7rx（O.3p

x（0.7）"x（O.3）10-'>Cf；1x（0.7廣x（0.3廣"，

0.3>0.7

化簡得0：+1=6.74上《7.7,因為0〈左WIO/EN,故左=7.

3

7.（1）—

v720

3

（2）分布列詳見解析，￡（x）=a

⑶s；＜s；＜s；

【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件乘法公式求得正確答案.

（2）根據(jù)分層抽樣以及超幾何分布的知識求得分布列并計算出數(shù)學(xué)期望.

（3）通過計算s；,麻s；來確定正確答案.

【詳解】（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機抽取1人,

onmq

這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為黑x工=A.

2008020

（2）因為抽取的8人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為8x2^0=2,

80

所以X的所有可能取值為0,1,2,

尸（X=°）=舁C3^5P（X=1）=c泠1^21促5=2="白3

1I,QUx_zgU

所以X的分布列為:

X012

5153

P

142828

51533

所以E（X）=0x—+l><—+2x-=-

v71428284

（3）C〈s；vs；，證明如下:

80…60.40八-20…

X,-------0.4,X）--------0.3,X]—------0.2,XA-------0.1

2002003200200

=0.25,

2_（0.4-0.25）2+（0.3-0.25）2+（0.2-0.25J+0.1-0.25）1

303201201101

80-8，J/2-80-4，J；3-80-4，J；4-80-8

第14頁/共18頁

%1

數(shù)據(jù)：X],乙，“3，、4，%，必，歹3，y，

對應(yīng)的平均數(shù)為百+》2+三+.+“+%+%+%=1

84

所以

(0.4-0.25)2+(0.3-0.25)2+^).2-0.25J+().1-0.25)+仁；)+

13

81280

所以s；<s；<s；.

4

（2）分布列見解析，-

（3）。億）>。0）>。任）

【分析】（1）從表格中可以發(fā)現(xiàn)甲獲勝的場數(shù)為3場，從而得到甲獲勝的概率；

（2）從表格中可以發(fā)現(xiàn)在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，分別是第2場，第3場，第5

場,第8場，第9場，第10場。乙得分大于丙得分的場數(shù)X的取值為0,1,2,通過超幾何分布的知識點，

得到X的分布列及數(shù)學(xué)期望￡（X）.

（3）通過題目條件得到10場比賽甲獲勝的概率為：，乙獲勝的概率為丙獲勝的概率為（，因為甲、

乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，從而得到方差。任），。（為），。（片）的大小關(guān)系.

【詳解】（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲共獲勝3場，分別是第3場，第8場，第10

場.

3

設(shè)A表示“從10場比賽中隨機選擇一場，甲獲勝”，貝！|尸

（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，甲得分不低于10分的場次有6場，

分別是第2場，第3場，第5場，第8場，第9場，第10場，其中乙得分大于丙得分的場次有4場,

分別是第2場、第5場、第8場、第9場.

所以X的所有可能取值為0,1,2.

「

Q0022

P(x=o)=咎=已，尸(X=l)=甘0尸（、=2）=專

5

所以X的分布列為

X012

第15頁/共18頁

182

P

15155

（3）由題意，每場比賽甲獲勝的概率為之，乙獲勝的概率為：，丙獲勝的概率為9,還需要進行6場比賽,

1025

而甲、乙、丙獲勝的場數(shù)符合二項分布，所以

￡）（1；）=6x0.3（1-03）=1.26,D㈤=6x05（1-0.5）=L5,0⑻=6x0.2（1-0.2）=0.96

故。化）＞。（外＞。（4）.

9.（1）—;

v20

（2）X的分布列見解析，E（X）=0.9；

（3）w應(yīng)定為325合適.

【分析】（1）由頻率分布直方圖分別求出100戶居民中第5組和第6組的居民戶數(shù)，再結(jié)合古典概型的概

率公式即可求解.

（2）X~8（3,0.3）,X的可能取值為01,2,3,依次求出各取值的概率，再結(jié)合期望公式即可求解.

（3）依據(jù)條件結(jié)合第98百分位數(shù)的定義即可求解.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，100戶居民中，

第5組居民戶數(shù)為100x50x0.0024=12,第6組的居民戶數(shù)為100x50x0.0004=4,

所以從第5組和第6組中任取2戶居民，他們月均用電量都不低于300kW-h的概率為尸=圣=啟=

1^16NUNU

（2）該地區(qū)月均用電量在50?150kW?h之間的用戶所占的頻率為（0.0024+0.0036）x50=0.3,

所以由題意可知丫~8（3,0.3）,X的可能取值為0,1,2,3,

所以尸（X=0）=（1-0.3）3=0.343,尸（X=1）=C*x0.3x（l-0.3）2=0.441,

尸（X=2）=Cfx0.32x（l-0.3）=0.189,尸（X=3）=0.33=0.027,

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E（X）=3x0.3=0.9.

（3）由頻率分布直方圖可知月均用電量在50~300kW?h之間的用戶所占的頻率為1-0.0008x50=0.96,

設(shè)月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第98百分位數(shù)為b,則6w（300,350）,

所以0.96+（/7-300）x0.0008=0.98nb=325,

所以卬應(yīng)定為3