能力拓展04活用三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【命題方向目錄】

命題方向一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

命題方向二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題

命題方向三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

命題方向四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題

命題方向五：三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

命題方向六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題

命題方向七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題

【方法技巧與總結(jié)】

1、基本性質(zhì)

設(shè)三次函數(shù)為：/(x)=ax3+bx2+cx+d(ab、c、deR且a/0),其基本性質(zhì)有:

由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)解決，故以三

32

次函數(shù)為例來(lái)研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)f(x)=ax+bx+cX+d(a^0)

其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)'(尤)=3℃2+26尤+C(。片0),

判別式為：△=4〃-12ac=4(b2-3ac),設(shè)/'(尤)=0的兩根為玉、x2,結(jié)合函數(shù)草圖易得：

(1)若62-3ac40,則/'(同二。恰有一個(gè)實(shí)根；

(2)若加一3ac>0,且/(占>/(々)>。，則〃x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(3)若——3ac>0,且/a)"(X)=O,則f(x)=O有兩個(gè)不相等的實(shí)根;

(4)若Z?-3ac>0,且/(一)力/)<0,則/(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.

說(shuō)明:(1)(2)/(尤)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y=/(x)與x軸只相交一次，即/(x)在R上為單調(diào)

函數(shù)(或兩極值同號(hào))，所以62-3ac<0(或62-3ac>0,且/(為)"。?)〉。)；

⑸/(元)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線y=/(x)與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以

2

Z?—3ac>0,且f(x1)?f(x2)=0;

(6)/(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線)=/(%)與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即/(%)有一個(gè)極大

值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以從一3公>0且/(^)-/(x2)<0.

性質(zhì)3：對(duì)稱(chēng)性

(1)三次函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)曲線，且對(duì)稱(chēng)中心是；(-2,/(-—))；

3a3a

(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

【典例例題】

命題方向一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

例1.(2023?河南南陽(yáng)?高二校聯(lián)考階段練習(xí))一般地，對(duì)于一元三次函數(shù)“X),若/〃小)=0,貝匹%,〃鵬))

為三次函數(shù)/(X)的對(duì)稱(chēng)中心，已知函數(shù)〃力=*3+依"+1圖象的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為小優(yōu)>0),且/(X)有

三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.一%_3,jB.(—oo,0)

C.(0,+<?)D.(-co,-l)

【答案】A

【解析】由函數(shù)〃力=丁+加+1求導(dǎo)得：f\x)=3x2+2ax,貝I］尸(x)=6x+2。，

由/"(%)=6毛+2。=0解得/=—|>0,則有a<0,

廣(x)=3x(x+等)，當(dāng)x<0或無(wú)>一,時(shí)，當(dāng)時(shí)，/'(x)<0,

則/(x)在(一°0，。),(一~上單調(diào)遞增，在10，一看

上單調(diào)遞減,

因此，當(dāng)x=0時(shí)，〃x)取得極大值/(0)=1,當(dāng)無(wú)=一當(dāng)時(shí)，取得極小值

因函數(shù)無(wú))有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知,

/(0)>0

/(-yXO)

于是得今+1<。，解得”一半

綜上得：a〈一逗

2

實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：A

例2.（2023?江西景德鎮(zhèn)?高二景德鎮(zhèn)一中?？计谀┤糁笖?shù)函數(shù)y="（a>0且awl）與三次函數(shù)y="?的

圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

/2

B.l,e;

C.（l,e）D.(e,+QO)

【答案】A

x3

【解析】當(dāng)工<0時(shí)，y=a>0,y=x<0,此時(shí)兩個(gè)函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn);

當(dāng)x>0時(shí)，由Q*=d得％]11a=31n%,可得Ina=31n.,

x

令/（尤）=平，其中x>0,則直線>=lna與曲線y=/（x）有兩個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)o<x<e時(shí)，y^x）>0,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,

3

當(dāng)XX時(shí)，/。）<0,此時(shí)函數(shù)“X）單調(diào)遞減，貝廳

且當(dāng)X>1時(shí)，/（尤）=4詈1nY>0,作出直線y=lna與曲線y=/（x）如下圖所示:

33

由圖可知，當(dāng)0<lnQ<—時(shí)，即當(dāng)IV〃〈靛時(shí)，

指數(shù)函數(shù)y=a*（a>0且aRl）與三次函數(shù)>=/的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

故選：A.

例3.（2023?四川綿陽(yáng)?高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=依且

/（無(wú)）在x=1和x=3處取得極值.

（1）求函數(shù)/（無(wú)）的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=/（尤）+乙若g（》）=/（x）+f有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【解析】（1）f\x）=3ax2+2bx-3,

因?yàn)椋?九)在X=1和冗=3處取得極值，

所以1=1和x=3是方程/'(X)=0的兩個(gè)根,

"

--

1+3為

ci__---1-

則,3解得3,經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件,

1x3--五b=2

所以/(%)=一§%3+2%2—3%;

—3

(2)由題意知g(x)=—%+2/—3x+19g'(%)=-%?+4x—3,

當(dāng)x>3或無(wú)<1時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)l<x<3時(shí)，gr(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(3,內(nèi)),(9,1)上遞減，在(1,3)上遞增，

4

所以g(x)極大值=g⑶=f，g(尤)極小值=g⑴='一屋

又X取足夠大的正數(shù)時(shí)，g(x)<0,X取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，g(x)>0,

因此，為使曲線y=g(x)與X軸有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合g(x)的單調(diào)性，

/\4

信：g(x)極大值一<°或g(H極小值=-§>。，

、.4

「?，<0或，>—,

3

4

即當(dāng)，<0或時(shí)，使得曲線,=抵%)與無(wú)軸有一個(gè)交點(diǎn).

變式1.(2023?甘肅天水?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)三次函數(shù)/a)=/+bd+G+l的導(dǎo)函數(shù)，(x)=3依(x-l),且

。>2,則函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由/(x)=3ax(x-l)且。>2知，當(dāng)0cx<1時(shí)，/,(x)<0,當(dāng)x<0或x>l時(shí)，>0,則函數(shù)/(尤)

在(-8,0)上單調(diào)增，

在(0,1)上單調(diào)減，在(1,+℃)上單調(diào)增，又/''(x)=3av2+2bx+c=3ot(x-l),則6=今晨=0,

貝lj/(x)=or3一當(dāng)尤2+1,所以y(o)=i>0,/(i)=。一號(hào)+1=1一_|<0,

X/(-1)=-1?+1(0,/(2)=2A+1)0,所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).

故選：D.

命題方向二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題

例4.(2023?玄南?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/'(無(wú))=—§/+/+2ox,8⑴=萬(wàn).——4.

(1)若函數(shù)〃x)在(o,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)G(x)=/(x)-g(x).若0<a<2,G(x)在［1,3］上的最小值為//(a),求/z(a)的零點(diǎn).

【解析】(1)..?/(a)在(0,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，；./'。)=-/+2苫+24>0在(0,+力)上有解，

又/'(x)是對(duì)稱(chēng)軸為x=l的二次函數(shù)，所以尸(無(wú))在(0,+。)上的最大值大于0,

而一(無(wú))的最大值為尸(l)=l+2a,l+2a>0,

解得：a>.

1,1,

(2)G(x)=f(x)-g(x)=--x3+—x2+2<zx+4,

G\x)=-x2+%+2Q,

由G，(x)=0得：1-#^；巨正電，

122

則G(x)在(-oo,%),伍,+oo)上單調(diào)遞減，在(士,9)上單調(diào)遞增，

又：當(dāng)0<。<2時(shí)，不<0,1<X2<3,

G(x)在［1,3］上的最大值點(diǎn)為巧，最小值為G(l)或G⑶，

14

而G⑶-G⑴=-了+4〃，

14711

1°當(dāng)一一+4Q<0,即0<〃<—時(shí)，/I(Q)=G(3)=6Q——=0,得〃=一，

36212

此時(shí)，%(a)的零點(diǎn)為、；

147?5

2°當(dāng)一一+4?>0,即，Wa<2時(shí)，〃(Q)=G(1)=，+2Q=0,得〃=—--(舍).

36612

綜上力⑷的零點(diǎn)為

例5.(2023?高三課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/。)=-；/+尤2+2依，g(x)=g/-4.

(1)若函數(shù)人元)在(0,+e)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)G(元)=/(x)-g(x).若0<。<2,G(x)在［1,3］上的最小值為-g,求G(x)在［1,3］上取得最大值時(shí)，對(duì)

應(yīng)的x值.

【解析】(1)V/(X)在(。,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，

/'(x)=-%2+2x+2a>0在(0,+“)上有解，

即ra)1mx>。在(。,+8)上成立，

而/'(x)的最大值為f(l)=l+2a,

*,*1+2a>0,

角畢得：。>一；.

1.1

(2)G(x)=f(x)—g(x)=--x3+—x29+2ox+4,

G'(x)——x?+x+2a,

由G'(x)=O得：占=匕用?，X?J+與唬

則G(x)在(-co,%),(與+⑹上單調(diào)遞減，在(占,聲)上單調(diào)遞增，

又：當(dāng)0<。<2時(shí)，X］<0,1<X2<3,

G(x)在［1,3］上的最大值點(diǎn)為演，最小值為G(l)或G(3),

14

而G⑶-G6=_§+4a,

1"當(dāng)一g+4a<0,即0<a<(時(shí)，G(3)=6a-1=-1,得.=5，

此時(shí)，最大值點(diǎn)無(wú)2=3+a;

147?519

2°當(dāng)一一+4?>0,即時(shí)，G(l)=—+2?=—,得。=一=(舍).

36634

綜上G(x)在［1,3］上的最大值點(diǎn)為空五.

例6.(2023?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))已知三次函數(shù)八x)=；/一⑷加一1)尤2+(i5冽2-2加-7)無(wú)+2在定義域R上

無(wú)極值點(diǎn)，則優(yōu)的取值范圍是()

A.mV2或機(jī)>4B.機(jī)>2或加W4

C.2<m<4D.2<m<4

【答案】C

【解析】f(x)=-2(4m-l)x+15m2-2m-7,

由題意得導(dǎo)函數(shù)/(力=尤2-2(癡-1卜+15〉-2祖-7無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，

所以X?-2(47W-l)x+15”/-2租-7之0恒成立，

A=4(4〃?-11一4(15/r-2mf=64?r-32m+4-60/?J2+8m+28=4-6九+8)V0,

解得2<m<4,

故選：C.

變式2.（2023?湖南?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）三次函數(shù)〃制=依3一;/+2尤+1的圖象在點(diǎn)（1）（1））處的切線

與x軸平行，則/（x）在區(qū)間（1,3）上的最小值是（）

?8-11八11r5

A.—B.—C.—D.—

3633

【答案】D

【角軍析】:=々%3一]%2+2%+],7（%）=3依2-3%+2,

11a

由題意得尸。）=3〃-1=0,ma=~,/./（x）=-x3-jx2+2x+l,廣（力=——3%+2,令廣（X）=0,得％=1

或x=2.

當(dāng)1〈尤＜2時(shí)，廣（元）＜0；當(dāng)2vxv3時(shí)，/^）＞0.

QOC

所以，函數(shù)＞=〃尤）在區(qū)間（L3）上的最小值為〃2）=§-5＞＜22+2X2+1=§.

故選：D.

變式3.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知三次函數(shù)/（尤）+6/+x+c無(wú)極值，且滿(mǎn)足a+，48,貝!]/-/=

【答案】12

【解析】由題設(shè)（（尤）=依2+2法+1,貝l]A=462-4a〈0，即aNb?〉。,

所以a+2/+器2〃T=8,

當(dāng)且僅當(dāng)a=從=4時(shí)等號(hào)成立,

又。+鏟^8,故。+記=8,可得。=//=4,

所以。2一/=16-4=12.

故答案為：12

命題方向三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

例7.（2023?河北衡水?高二河北武強(qiáng)中學(xué)?？计谥校┘褐魏瘮?shù)

/（x）=-（4〃z-l）尤2+（15〃/-2〃z-7）元+2在xe（-oo,+oo）是增函數(shù)，貝!]m的取值范圍是

A.相<2或加>4B.-4<7W<-2C.2<m<4D.以上皆不正確

【答案】D

【解析】由于函數(shù)在R上遞增，故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，即/'（"=/一2（4根-l）x+15/-2根-7之。恒成立,

其判別式A=4（4m一1）2-4（15”/一2機(jī)一7）V。，解得2（機(jī)＜4,故選￡）.

例8.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）三次函數(shù)/（x）=wi?一無(wú)在（_co,+8）上是減函數(shù)，則加的取值范圍是（）

A.m<0B.m<lC.m<0D.m￡1

【答案】A

【解析】對(duì)函數(shù)，(尤)=如？-工求導(dǎo)，得尸(x)=3〃7-1

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在(-8,+8)上是減函數(shù)，則/'(X)V0在R上恒成立,

即3的2-140恒成立，

當(dāng)，=0,即x=0時(shí)，3M2-1<0恒成立;

當(dāng)公力0,即無(wú)力0時(shí)，^>0,貝1」3m《二，BP3m<[4]，

x\X7min

因?yàn)?之0,所以3根40,即機(jī)K0；

又因?yàn)楫?dāng)機(jī)=0時(shí)，/(%)=-%不是三次函數(shù)，不滿(mǎn)足題意，

所以機(jī)<0.

故選：A.

例9.(2023?湖北十堰?高二統(tǒng)考期末)已知三次函數(shù)/(口=]丁+|￡+5+1(°<6)在R上單調(diào)遞增，則

〃+b+4c

的最小值為_(kāi)___________

b-a

【答案】3+2若

【解析】由題意得尸(力=加+樂(lè)+?！?在區(qū)上恒成立，貝i]a>。，4=62一4公40,

所以〃+Z?+4c_〃2+"+44?！怠?+"+/_a

b-aab-a1ab-a2——I

a

b4+。+4c>1+￡+/

設(shè)/=2〉1,則--------少-------

ab-at-1

設(shè)g(x)=xg'(x)=：J；y2X>1).

2rs°

由g'(x)=x,-：2=。解得X=l+百(x>l),易得當(dāng)*=1+石(%>1)時(shí),g(x)1nhi=3+2月.

故a+b+Ac的最小值為3+2拓.

b-a

故答案為：3+2百.

命題方向四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題

例10.(多選題)(2023?遼寧沈陽(yáng)?高二東北育才學(xué)校?？计谥?對(duì)于三次函數(shù)f(x),若y=/(x)在(0,0)處

的切線與g(x)=4(x)在(1,2)處的切線重合，則下列命題中真命題的為()

A.r(x)=2B.尸⑴=0C.〃x)為奇函數(shù)D.“X)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)

【答案】BD

【解析】設(shè)三次函數(shù)/(%)=/+法2+01+4(〃。0)

???(0,0)在〃力上

f(O)=d=Q

7_n

???切線經(jīng)過(guò)(0,0)與(1,2),故切線斜率為左=三=2

1—0

f(x)=3ax2+2bx+c

f\0)=c=2

g(x)=xf^x)-ax4+Zzx3+2A:2,g(V)=a+b+2=2

g(x)=4ax3+3bx2+4x,g(1)=4Q+36+4=2

j〃+b+2=2=-2

[4〃+36+4=2=[人=2

f(x)=-2d+2x2+2x

/(x)=-6冗之+4x+2

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

r(i)=o,故選項(xiàng)B正確；

W(-x),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

244

/(——X)=2X3-2X2-X+—

327

244

故"X)圖象關(guān)于g，||)對(duì)稱(chēng)，即選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

例11.(2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=%3——

(1)求曲線(=『(x)在點(diǎn)尸(療⑺)處的切線方程;

(2)設(shè)勿＞1,若過(guò)點(diǎn)。(心,〃)可作曲線y=/(x)的三條切線，證明

【解析】(1)尸(x)=3f-6x+l則在點(diǎn)P處的切線方程為=⑺(XT)

整理得y=(3產(chǎn)-6f+l)x-2t3+3產(chǎn)-1

(2)力=(3/-6r+1)，w—2t,+3廠—1

構(gòu)造函數(shù)g(，)=(3——61+1)相—2「+3廣—1—n,

即8(。=-2尸+3(1+機(jī))r-6〃建+〃2-1-”過(guò)點(diǎn)0(〃3)可做曲線,=〃力的三條切線等價(jià)于函數(shù)8(7)有三個(gè)

不同的零點(diǎn).

gz(z)=-6(r-l)(r-m),故函數(shù)g⑺在上單調(diào)遞減，(1,陽(yáng))上單調(diào)遞增,(肛+oo)上單調(diào)遞減,

g⑴<0f-2m-n<0//、

所以〉、、n,即32’,可得一2m<〃</>

g^m)>0[m-3m+m-l-n>0

例12.(2023?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(%)=$3一_|辦2+(〃_]卜+2(〃￡^),/(尤)滿(mǎn)足/(%)+/(—%)=4,

已知點(diǎn)M是曲線y=/(%)上任意一點(diǎn)，曲線在M處的切線為I.

(1)求切線/的傾斜角。的取值范圍；

(2)若過(guò)點(diǎn)PQ根)(根?？勺髑€y=/?的三條切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

[解析](1)因?yàn)?(%)+/(一兄)=4,貝!J；/_；依2+(Q_])x+2_g%3_362_(々_])工+2=4,

,1,

解得〃=0,所以/(%)=]/一%+2,

貝U/(%)=f,故左...一1,tana...-l,

.?.?e[0,乳片,萬(wàn))，.?.切線’的傾斜角的a的取值范圍是[0,乳片,萬(wàn)).

(2)設(shè)曲線y=〃x)與過(guò)點(diǎn)PQ,機(jī))卜片j的切線相切于點(diǎn)卜。,；與3一%+2),

則切線的斜率為％=嫣T,所以切線方程為y-G尤」-X。+2]=(x°2-1)(X-X。)

因?yàn)辄c(diǎn)P(l,在切線上，

所以根_1；毛3_毛+2]=(%2_1)(1_毛),即m=_：/3+/2+],

由題意，該方程有三解

設(shè)8(%)=—1/+%2+1,貝ljg<%)=-2%2+2x=-2x(x-l),令g(%)=0,解得％=0或%=1,

當(dāng)xvO或％〉1時(shí)，g'(x)vO,當(dāng)Ovxvl時(shí)，g'(x)>。，

所以g(x)在(田，。)和(1，+8)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

4

故g(x)的極小值為g(O)=l,極大值為g⑴="

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是(1弓).

變式4.(2023?安徽?高三校聯(lián)考期末)己知函數(shù)〃%)=-33-尤2+蛆+3,在》=0處取得極值.

(1)求小的值;

(2)若過(guò)(2,。可作曲線y=/(x)的三條切線，求f的取值范圍.

【解析1(1)因?yàn)?=――x3—X2+m+3,所以/'(%)——無(wú)之—2x+m,

62

因?yàn)榱?可在％=o處取得極值，所以r(o)=m=o.

經(jīng)驗(yàn)證m=0符合題意；

(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為1毛,-一片+31，

由f(x)=-^x3-x2+3,得廣(尤o)=-g*-2%，

o2

所以方程為-x：+3[=*_2xo](x-Xo),

將(2J)代入切線方程，得t=，；-4x0+3.

令g(x)=q-4x+3,貝Ug[x)=x2-4,

貝皿(*=爐-4=。，解得x=±2.

當(dāng)x<-2或x>2時(shí)，g1x)>0,

所以g(x)在(-8,-2),(2,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)-2<x<2時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減.

所以g(X)的極大值為g(-2)=y.g(X)的極小值為g(2)=〈.

因?yàn)橛腥龡l切線，所以方程-g(x)有三個(gè)不同的解，

y=，與y=g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

725

所以

33

變式5.(2023?陜西西安?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=加-加在點(diǎn)處的切線方程為

3%+y—1=0.

(1)求實(shí)數(shù)。，6的值；

(2)若過(guò)點(diǎn)(-1，M(7-T)可作曲線y=/(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)/，(x)=3ax2-2fex,

由〃司=加-加在點(diǎn)。"⑴)處的切線方程為2尤+y-l=。，

得/(1)=-2,r(l)=-3,故一萬(wàn)二一？故〃=1力=3,

\)3(2-2Z?=-3

(2)由(1)W/,(%)=3X2-6X,

過(guò)點(diǎn)(-1,㈤向曲線y=〃力做切線，設(shè)切點(diǎn)為(小,%),

22

則切線方程為y-(年-3X0)=(3X0-6X0)(X-X0).

因?yàn)榍芯€過(guò)(一1,m)，故加一(%()3—S*)=(3/2—6/o)(l—%o),

整理得到：2%o-6xQ+m=0,

???過(guò)點(diǎn)(-8,機(jī))(機(jī)WT)可做曲線y=/(力的三條切線，

故方程2%；-6%+機(jī)=。有3個(gè)不同的解.

記g(x)=2/一6%+機(jī)，g'(x)=6f-2=6(x+l)(x-l).

工當(dāng)％=-1時(shí),g(x)有極大值機(jī)+4,當(dāng)％=1時(shí)，g(x)有極小值m-5.

故當(dāng)卜，:"'"?。?。，即T<"?<4時(shí)，函數(shù)g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn).

,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-4,4).

變式6.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(力=$3+/+云+°(〃<0)在x=0處取得極值-1.

(1)設(shè)點(diǎn)A(-a,/(-。))，求證：過(guò)點(diǎn)A的切線有且只有一條，并求出該切線方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)(0,0)可作曲線y=/(x)的三條切線，求。的取值范圍；

⑶設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(芯,〃％))、(%,/(々)(司工電)處的切線都過(guò)點(diǎn)(°，0)，證明：(動(dòng).

【解析】(1)證明：/(x)=1x3+ax2+fer+c(a<0),得：f'^x)=j3+2ax+b,

32

由題意可得所以，/(x)=^+ar-l.

此時(shí)，f'(x)=xr+2ax,

當(dāng)x<0時(shí)，/^x)>0,此時(shí)函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<—2a時(shí)，r(x)<0,此時(shí)函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)/(X)在x=0處取得極大值

設(shè)切點(diǎn)為(5,%),則切線方程為y-%=/'&)(%-*0),

即y——XQ—CIXQ+1=(XQ+)(x—XQ),

2

BPy=(片+2<ZXQ)%——XQ—CIXQ—1,

將點(diǎn)(-?,/(-?))的坐標(biāo)代入方程可得片+3就+3?\+?3=0,

即5+/=0,所以x°=-a,即點(diǎn)A為切點(diǎn)，且切點(diǎn)是唯一的，故切線有且只有一條.

所以切線方程為。與+>+#+1=0.

9

(2)因?yàn)榍芯€方程為y=(片+2o￥o)%-§片-腐-1,

把點(diǎn)(。,。)的坐標(biāo)代入切線方程可得;其+M+1=0,

因?yàn)橛腥龡l切線，故方程得;片+麻+1=0有三個(gè)不同的實(shí)根.

、2

設(shè)=—x3+ox29+1(〃<0),

gr(x)=2x2+2ax,令g'(%)=2尤2+2改=0,可得％=0和%=一。.

當(dāng)xe(ro,0)時(shí)，gf(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

當(dāng)xe(0,-a)時(shí)，g<x)<0,g(x)為減函數(shù)，

當(dāng)xe(-a,+co)時(shí)，g,(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

所以，函數(shù)g(x)在x=0處取得極大值,且g(x)極大值=g(0)=l>0,

Q3

函數(shù)g(x)在X=-a處取得極小值，且g⑺極小值=g(一a)=一(3+03+1=+1,

3

因?yàn)榉匠蘥(x)=0有三個(gè)根，則g(-〃)=?+l<0,解得〃<—g,

因?yàn)間-4=ax一#>0,g(-3d!)=-9a3+l>0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，a<-

(3)證明：彳取設(shè)了'(%)=/(％2)，貝IJ片+2叼=考+2%，則(石一％2)(石+%2+2〃)=。，

因?yàn)橛馱%2，所以玉+%2=-2d

一2

—X：++1=0

由(2)可得:兩式相減可得；儲(chǔ)-W)+《片-月)=0.

—x1+ax；+1=0

2

2，

因?yàn)橛窆すす省?%；+%超+片)+〃(%]+x2)=0.

2

把石+%=-2〃代入上式可得，x；+xxx2+x^=3a,

22

所以(玉+九2)2一九1%2=3々2,(—2。)一x1x2=3a,所以x1x2=a.

又由…”0

2,這與矛盾.

所以假設(shè)不成立，即證得/'（%）//'（%）.

命題方向五：三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

例13.（2023?北京西城?高二?？计谥校?duì)于三次函數(shù)〃尤）=加+而+5+44H0）,給出定義：設(shè)y=/'（x）

是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)數(shù)，尸'（X）是八x）的導(dǎo)數(shù)，若方程/。）=0有實(shí)數(shù)解與,則稱(chēng)點(diǎn)（%,/（5））為函數(shù)

y=/（x）的“拐點(diǎn)”.探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”

就是對(duì)稱(chēng)中心，設(shè)函數(shù)/（x）=gd-gx2+j|,則以下說(shuō)法正確的是（）

①函數(shù)"X）對(duì)稱(chēng)中心g,o）

②fp-]++…+/（*]+/]雪]的值是99

UooJUooJUooJuooj

③）函數(shù)/（X）對(duì)稱(chēng)中心

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】C

1113

【解析】/（尤一5彳2+行=>-0）=/一彳=>/"（尤）=2%-1,

令/〃(x)=2x-l=0,解得x=；,+31,

12

由題意可知：函數(shù)〃X）=g^一的對(duì)稱(chēng)中心為g,l

因?yàn)楹瘮?shù)〃到=93-92+^的對(duì)稱(chēng)中心為仁』

3212I，

所以有f（無(wú)）+/（1-尤）=2,

⑴+(2)得，2s=2+2+…+2+2=2x99=5=99,

故選：C

例14.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)〃尤）=加+加+5+〃（4H0）,給出定義：設(shè)尸（x）是函

數(shù)y=〃x）的導(dǎo)數(shù)，/⑺是尸⑺的導(dǎo)數(shù)，若方程/"（尤）=0有實(shí)數(shù)解年,則稱(chēng)點(diǎn)（飛,〃%））為函數(shù)y=〃x）

的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)

稱(chēng)中心.設(shè)函數(shù)g(x)=；x3-/+2x_；,貝Ug(—2019)+g(—2020)+g(2021)+g(2022)=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【解析】因?yàn)間(x)=；/-/+2彳一，所以g'a)=f—2X+2,g"(x)=2x—2,由g〃(x。)=0,得2%-2=。,

解得%=1,而g(l)=l，故函數(shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(U)對(duì)稱(chēng),

故g(M+g(2T)=2,

所以g(—2019)+g(2021)=g(-2020)+g(2022)=2,所以g(—2019)+g(-2020)+g(2021)+g(2022)=4

故選：D

例15.(2023?福建?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知任意三次函數(shù)的圖象必存在唯一的對(duì)稱(chēng)中心，若函數(shù)

f(x)^x'+cvc+bx+c,且Mg,/(%))為曲線y=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心，則必有g(shù)'(M)=0(其中函數(shù)

m3+6m2+13m=10

g(x)=7'(x)).若實(shí)數(shù)加,“滿(mǎn)足”貝()

〃3+6n2+13〃=-30

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】A

【解析】令/(%)=/+6d+13x,貝ir(x)=3f+12x+13,

令〃(%)=+12x+13

〃(x)=6x+12=0,

解得x——2,

又2)=(-2)3+6x(-2)2+13x(-2)=-10.

：?函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,-10)成中心對(duì)稱(chēng).

,m3+6m2+13m=10

因?yàn)閂3,,

n3+67+13〃=-30

所以〃祖)+/5)=-20,

X/，(^)=3X2+12^+13=3(X+2)2+1>0,

所以函數(shù)/(力=丁+6/+13%在R上單調(diào)遞增，

所以”?+〃=2x(-2)=T.

故選：A.

命題方向六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題

例16.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(力=丁+涼+5+〃在(-oo,0］上是增函數(shù)，在［0,2］上是減函

數(shù)，且方程〃%)=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是a,。，2,則〃+尸2的最小值是()

A.5B.6C.1D.8

【答案】A

【解析】由"X)=d+樂(lè)2+s+d得/^)=3/+次+。，因?yàn)椤癤)在(—8,0)上是增函數(shù)，在［0,2］上是減

函數(shù)，所以尸(0)=0,所以c=0,此時(shí)尸(尤)=。的另外一個(gè)根-千22,所以64-3,因?yàn)榉匠蘤(x)=0有

3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是a,夕，2,所以"2)=0,所以d=T(b+2)

且=(x-2)(x-a)(x-〃)=%3_(。+〃+2卜2+(2cr+2/+S)x—2羽,

b--a-p-2,+P=-b-2,

所以

d=-2a0,\cc/3=2Z?+4,

所以02+尸2=(&+尸)2一2叩=(一6一2)2—2(26+4)=62—4,因?yàn)?4—3,所以〃29,所以。,+萬(wàn)?的最小

值是5.

故選：A.

例17.(2023?陜西西安?高三西安中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)/■(%)"+笈2+cx+d("0),尸(x)=g㈤,

給出下列四個(gè)結(jié)論,分別是:①a>0；②“X)在R上單調(diào)；③〃尤)有唯一零點(diǎn)；④存在與，使得g(%)<0.其

中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一定不可能是()

A.①B.②C.③D.@

【答案】C

【解析】g(x)=f(x)=3ax2+2bx+c,

假設(shè)①錯(cuò)誤，則。<0,因此二次函數(shù)g(x)=3ax2+2Zu+c是開(kāi)口向下的拋物線，

因此④一定正確，當(dāng)(2b)2-4-3a-c40時(shí)，即62<3ac時(shí)，②成立，當(dāng)x—>+?時(shí)，

/(x)-?-co,當(dāng)x->-8口寸，/(x)f+oo,所以③有唯一零點(diǎn)正確；

假設(shè)②錯(cuò)誤，則了(無(wú))在R上不單調(diào)，所以有(2b)2-4-3a?c>0,^b2>3ac,兩根為：

占=』7b工-3as=+揚(yáng)口竺,顯然④正確，要想①正確，二次函數(shù)

g(x)=3依?+2次+。是開(kāi)口向上的拋物線，所以函數(shù)從左到右先增后減再增，

要想③正確，只需/■■)<()或/(%)>°，比如當(dāng)。=萬(wàn)=l，c=-2時(shí)可以使①③正確；

假設(shè)③錯(cuò)誤，則〃x)在R上單調(diào)，且a>0,因此g(x)=3加+2Zw+c20,所以④也錯(cuò)誤;

假設(shè)④錯(cuò)誤，則g(x)20,因此②在R上單調(diào)遞增，顯然此時(shí)有。>0,

當(dāng)X—4W時(shí)，/(X)f+8,當(dāng)％->-8時(shí)，f(x)->-00,

所以③/(X)有唯一零點(diǎn)正確，

故選：c

命題方向七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題

例18.（2023?四川綿陽(yáng)?高二四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)?？计谥校┮阎魏瘮?shù)/。）=渡+反2-3x3,6eR）,若

函數(shù)/⑺在點(diǎn)（1,/⑴）處的切線方程是v+2=o.

（1）求函數(shù)”X）的解析式；

（2）若對(duì)于區(qū)間［-2,3］上任意兩個(gè)自變量的值4，巧，都有根，求出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)/(%)=ax3+bx2-3x,

/.f'(x)=?>ax2+2bx-3,

/l)=3a+2b-3=0

由題意知

f(l)=a+Z?-3=-2

解得：a=l,b—0,

f(x)=x3-3x.

（2）由（1）知r（x）=3f_3,令r（“=。得尤=±i,

所以“X）在（-叫-1）和（l,+8）上分別單調(diào)遞增，在（-1,1）上單調(diào)遞減,

而〃-2）=-2,/（-1）=2,/（I）=243）=18,

在區(qū)間［-2,3］±/⑺11m=-2,/⑺二=18,

對(duì)于區(qū)間［-2,3］上任意兩個(gè)自變量耳，巧，

都有|〃工）-/伍）|V“X）1mx-⑺皿=20

m>20.

2

例19.（2023?江蘇蘇州?高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)"X）=§/-加+x的兩個(gè)

極值點(diǎn)玉，々均為正數(shù)，g（x）=10x2-1,且不等式8（%）+8（三）-111%9<2，-1對(duì)于所有的。都恒成立，

則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

【答案】11+野，+"］

【解析】令尸（%）=2加—2依+1=。，

A=4/—8a>0

由題可知，X1+X2=1>0=>?>2,

=—>0

,12la

g(%)+g(冗2)—In玉/=]0x；----卜10^2-----In玉％2

%X?.一

x,+xi

=1----9--In玉/

石元2

=io|1--一2。+In2a

Va

—10-----2。+In2。，

a

令=-----2〃+In2。，a>2,

a

—2a2+(2+10-(2〃-5)(a+2)

//(〃)=

a2a2

當(dāng)2<a<g時(shí)，〃⑷>0,〃(a)單調(diào)遞增,

當(dāng)〃〉1?時(shí)，//(a)<0,用(〃)單調(diào)遞減,

5

?二〃(〃)max=h=1+In5,

?入ryi,In5

??2t—1>1+In5>1H----,

2

故答案為：+

例20.(2023?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)(%,/5)),其中不是f"(x)=0的根，/1(%)是

fM的導(dǎo)數(shù)，/(X)是/'(x)的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)/(尤)=尤3+/+x+Z,圖象的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(-1,2),且不等式

e"-儂:e(]nx+i)之[/(龍)一％3一3九2+e]%e對(duì)任意無(wú)￡0,+00)恒成立，貝”()

A.a=3B.b=2

C.根的值不可能是-eD.加的值可能是

e

【答案】A

【解析】因?yàn)?'(力=3/+2辦+1,所以/"(%)=6%+2a,

又因?yàn)?-1,2)是/(%)的對(duì)稱(chēng)中心，所以<(-1)=2〃—6=。，所以1=3,故A正確；

所以〃力=尤3+3幺+%+"所以〃—1)=—1+3+(—1)+人=2,所以〃=1,故B錯(cuò)誤;

所以/*(%)=%3+3/+%+1,

因?yàn)?一mxe(lnx+l)>[/(x)-x3-3x2+e]對(duì)任意XG(1,+oo)恒成立,

所以〃區(qū)/一”一1對(duì)任意Xe(1,y)恒成立,

lnx+1

g(x)=ex—x—l(x>0),=1>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(o)=o,所以，>x+l,

所以C=x2'=e^r2="的+”>-elnx+x+l,取等號(hào)時(shí)尤=e,

xe

又lnx+l>0,所以彳一無(wú)一"二一如》+二1一"1一、旬叱1=_婕取等號(hào)時(shí)x=e,

lnx+1lnx+1lnx+1

化八

所以胃——L=~，所以機(jī)W-e,故CD均錯(cuò)誤;

lnx+1

\/min

故選：A.

變式7.(2023?高二單元測(cè)試)對(duì)于三次函數(shù)/(力=渥+加+5+1(4彳0),給出定義：設(shè)廣⑺是函數(shù)

y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，/''(X)是/'(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程廣(無(wú))=。有實(shí)數(shù)解與,則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)y=〃x)的

“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)

中心.設(shè)函數(shù)〃司=；工3一晟尤2+得.

(1)當(dāng)根=1時(shí)，求心)+1島卜…+端卜喘)的值;

(2)若不等式2xlnx+r(x)+320恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)函數(shù)”x)=9芭『+j|,

1113

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，f(x)=—X3—X2+一

V73212

因?yàn)?'(尤)=九2-%，

???/⑺=21,

令〃(x)=21=0,解得x=；,

則對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)為/[g]=1,故對(duì)稱(chēng)中心為&』

所以〃x)+〃l-x)=2,

9998

所以/2,.

W0100W0

9899

則/ito+/=2x49+1=99

100WOWO

(2)V2xln^+//(x)+3>0,f'(^x)=x2-mx,

即mx<2xlnx+x2+3,

又x>0,

：.m<2xlnx+—+3在X?(),y)上恒成立.

2

人/、2x\nx+x+3

令/(x):------------------=21nx+x+-.

xX

X/min

二十$《『=&*」

XxXXX

令〃（尤）=。，得x=l或x=—3（舍去）.

當(dāng)xe（O,l）時(shí),?尤）＜0,函數(shù)《X）在（0,1