豐臺區(qū)2025年九年級學業(yè)水平考試綜合練習（二）

數(shù)學試卷

考生須知

1.本試卷共6頁，共兩部分，三道大題，28道小題.滿分100分.考試時間120分鐘.

2.在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和考號.

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

5.考試結束，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形的識別.解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，一個圖形

沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內，把一個圖形繞著某個

點旋轉180度，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.根據(jù)中心對稱

和軸對稱的定義，進行判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意;

B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意;

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意;

故選：C.

2.據(jù)2024年中國國土綠化狀況公報顯示，我國森林蓄積量超200億立方米，森林覆蓋率超25%,將

20000000000用科學記數(shù)法表示應為（)

A.0.2xl012B.2x10"C.2xlO10D.20xl09

【答案】c

【解析】

【分析】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中1<忖<10,

〃為整數(shù).確定力的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.

【詳解】解：20000000000=2x101°.

故選：C.

3.如圖，點。在直線AB上，OC±AB.若"OE=90°,ZAC>E=120°,則NCOD的大小為（）

A.60°B.50°C.40°D,30°

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查垂直的定義及鄰補角的定義.由題意易得NBOE=60°,ZCOE=30°,進而可

求解.

【詳解】解：：點。在直線上，ZAOE=nQ0,

：.ZBOE=ZAOE=6Q°,

:OCYAB,

NCOB=90°,

：.ZCOE=90°-NBOE=30°,

?1,ZDOE=90°,

：.ZCOD=90°-ZCOE=60°,

故選：A.

4.已知a>Z?>0,則下列結論正確的是（）

A.—Z?<一。<0B.—a<-b<0C.ci—b<0D.b-a<—a

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了不等式的基本性質，解決本題的關鍵是根據(jù)不等式的基本性質把a>6>0進行判斷.

【詳解】解：A選項：a>3>0,根據(jù)不等式的基本性質三，可知—6<0,故A選項錯誤;

B選項：a>b>0,根據(jù)不等式的基本性質三，可知一。<一6<0，故B選項正確；

C選項：a>b,根據(jù)不等式的基本性質一，可得：a-b>0,故C選項錯誤；

D選項：6>0,根據(jù)不等式的基本性質一，可得：b-a>-a,故D選項錯誤.

故選：B.

5.若關于x的一元二次方程%2+6%+"=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)加的值為（）

A.36B.9或—9C.-9D.9

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，

根據(jù)一元二次方程根的判別式可知—4ac=62—4^=0,求出解即可.

【詳解】解：：一元二次方程/+6%+m=0有兩個相等的實數(shù)根，

吩—4-ac=62—4/77=0>

解得m=9.

故選：D.

6.不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，從中隨機摸出一個小球，放回

并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（）

1113

A.—B.-C.-D.一

4324

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與第一次摸到紅球，第二次摸到綠球

的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

:共有4種等可能的結果，第一次摸到紅球，第二次摸到綠球有1種情況,

第一次摸到紅球，第二次摸到綠球的概率為

故選：A.

【點睛】本題考查了畫樹狀法或列表法求概率，列出所有等可能的結果是解決本題的關鍵.

7.工人師傅常用角尺平分一個任意角.做法如下：如圖，是一個任意角，在邊Q4,08上分別

取0M=0N,移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點N重合.過角尺頂點C的射線0C便是

NAOB的平分線.這種方法是通過判定,M0C=N0C得至UZM0C=ZN0C,其中判定

MOC^_NOC的依據(jù)是（）

A,三邊分別相等的兩個三角形全等

B.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定方法，進行判斷即可.

【詳解】解：由題意，可知：OM=ON,CM=CN,OC=OC,

,MOCgsNOC（SSS）；

故選A.

8.如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB,。為對角線的交點.將矩形ABCD繞點。逆時針旋轉90°得到

矩形A'3'C'D',連接AD',BA1，CB',DC,給出下面三個結論：

①連接OC,則NAOC'=90°；

②點0到AB的距離小于點0到AD'的距離；

7。

③若AB=。，則八邊形ABA'B'CDC'D'的面積為一

2

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

B.①③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】利用旋轉的性質可說明NAOC'=90°,以此可判斷①；通過說明..ABH,Z\AED',_CDF，

CG3'都是等腰直三角形，四邊形是矩形，四邊形A'3'GH是矩形，四邊形CDFG是矩形，四邊形

D'C跖是矩形，再說明四邊形EEGH是正方形，從而可用。表示出八邊形ABA'B'CDC'。'的面積，化簡

后作比較可判斷③;

仿判斷③的方法，設A3=x,分別求出點。到A3的距離與點。到AD的距離，再作比較后判斷②.

V將矩形ABCD繞點、。逆時針旋轉90°得到矩形A'B'C'D',

，點。的對應點是C,

...ZCOC=90°,

AZAOC=90°,故①正確;

如圖,

V將矩形ABCD繞點0逆時針旋轉90°得到矩形A'B'C'D',

，AD的對應邊是AO'，的對應邊是3'C',AB的對應邊是A3',的對應邊是3'C',CD的對

應邊是C'。'，

AD±Aiy,BCYB'C,AB=AB-BC=B'C,CD=C'D',AD=Ab>

：.ZAEH=9Q°,

?.?四邊形A3CD是矩形，

AAEAB=ZABH=90°,AB=CD,

???四邊形A8HE是矩形，

.：AB=HE，AE=BH，

同理可得：四邊形AB'GH是矩形，四邊形CDFG是矩形，四邊形D'C'"是矩形,

AB'=GH,AH=B'G,CD=FG,CG=DF,D'C=EF,DE=C'F,

VAB=CD,AE=BH,CG=DF,

：.BH+GH+GC=AE+EF+FD,

：.GH=EF,

同理可得：EH=FG,

1?*AB=AB,，AB=HE,AB'=GH,

:.GH=EF=EH=FG,

,：ZAEH=90°,

：.NFEH=9。。,

四邊形￡EGH是正方形，

正方形EFGH繞點。逆時針旋轉90°與其本身重合，

???點E的對應點是X,

:將矩形ABCD繞點。逆時針旋轉90°得到矩形AB'C'D',

，點A的對應點是A,

AE繞點。逆時針旋轉90°得到A'H,

AE=AH,

同理可得：BH=B'G,CG=C'F,DF=D'E，

；AE=BH,AE=AH,

：.BH=AH，

XZA,HB=90°,

/.是等腰直角三角形，

同理可得：^AEDf,_CDF，CG?都是等腰直角三角形，

:?AE=BH=NH=B'G=GC=DF=C'F=D'E,

VAB=a,AD=2AB,

EF=a,AD=2AB=2a，

：.AE=DF=^(AD-EF)=^a,

八邊形ABAB'CDCD'的面積為4s+4s矩形入曲+§正方形EFGH

=4x-x+4x-axa+a2=-a2

222

故③正確;

過點。分別作0/LAD于點/，Q/LA5于點/,OKLAD'于點K,設=尤,

'/AD=2AB,

AD=2AB=2x,

?.?四邊形ABC。是矩形，對角線AC、BD交于點0,

A0=0B,點。為3D的中點

***AJ=-AB=—x,點、J為AB的中點，

22

：.JO=-AD=x,即點。到A3的距離為x,

2

■：AE^AB,是等腰直角三角形，

2

/.AD'=①AE=42x-AB=—x，

22

-：AB=x,AD=2x,ZBAD=9Q°,

???BD=yjAB2+AD2=舊+(2x)2=氐,

???AO=-BD=—x，

22

?/AO=OD',

，K為AD'的中點，

?'。_1.八，_1①_V2

,,AK——AD——x-----x-......x，

2224

???KO=YJAO2-AK2=-與X=￥工=,2*1=后X”，

即點。到AB的距離小于點。到AD'的距離，故②正確；

綜上所述，①②③都正確，

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，矩形的性質，勾股定理，等腰三角形三線合一，等腰直角三角

形的性質等知識點，解題關鍵是利用特殊平行四邊形的性質證明相關線段相等.

第二部分非選擇題

二、填空題(共16分，每題2分)

9.若Jx-8在實數(shù)范圍內有意義,則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】G8

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得尤-8K),然后進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

廠8川，

解得：xN8.

故答案為：

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式g(a20)是解題的關鍵.

10.分解因式：27/—8/=

【答案】2(7M+2w)(m-2w)

【解析】

【分析】本題主要考查了分解因式，熟練掌握分解因式的方法，是解題的關鍵.先提公因式2,然后用平方

差公式，分解因式即可.

【詳解】解：2加2—8/=2（加2—4"2）=2（加+2"）（加一2"）.

故答案為：2（利+2〃）（加一2〃）.

31

11.方程一」=一的解為

5x+l2x

【答案】x=l

【解析】

【分析】方程兩邊同時乘以2%（5尤+1）化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以2x（5x+l）,得6x=5x+l,

解得：x=1,

經檢驗，X=1是原方程的解，

故答案：x=l.

【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵.

12.在平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)y=幺（左>0）的圖象經過點（3,%）和（1,%），則為%（填

”或“<”）.

【答案】<

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)上>0,可知函數(shù)y=&（4>0）的圖象經過第一、三

X

象限，在每個象限內y隨1的增大而減小，因為3>1〉0,所以

k

【詳解】解：函數(shù)y=—（左>0）的圖象經過第一、三象限，

x

■.在每個象限內y隨％的增大而減小，

3>1>0,

%<為.

故答案為：<.

13.某商場計劃進某款運動服200件，了解了某段時間內銷售的40件該款運動服的尺碼，數(shù)據(jù)如下:

尺碼MLXLXXLXXXL

銷售量/件5159101

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該商場進尺碼需求最多的這款運動服的數(shù)量為件.

【答案】75

【解析】

【分析】本題考查了眾數(shù)以及用樣本估計總體，熟練掌握用樣本估計總體的方法是解題的關鍵.根據(jù)題意銷

3

量最多的乙碼所占的比例為一，計算即可得到答案.

8

【詳解】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得銷售的40件運動服中，乙碼的最多，為15件，

153

L碼運動服所占比例為,

408

3

該商場進尺碼需求最多的這款運動服的數(shù)量為200x-=75件，

故答案為：75.

14.如圖，PA,PB是。的切線，A,8是切點.若NAO5=130°,則NAPO=

【答案】25

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的性質，全等三角形的性質和判定，

先根據(jù)切線的性質及切線長定理得NQ4P=NOBP=90°,再證明RtAOP^Rt.BOP,根據(jù)全等三角形

的性質得ZAOP=ZBOP,ZAPO=ZBPO,然后結合已知條件答案可得.

【詳解】解：是。的切線,

NOAP=NOBP=90°.

；OP=OP.AO=BO,

/.RtBOP,

：.ZAOP=ZBOP.

VZAOB=130°,

130°

ZAOP=ZBOP=——=65°,

2

：.ZAPO=90°-65°=25°.

故答案為：25.

15.如圖，在正方形A3CD中，點E在。上，AE，6D相交于點E,DF=DE.若A3=l，則CE

【答案】2-0

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握正

方形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.

【詳解】解：在正方形ABCZ）中，AB=1

：.AB=AD=CD^1,ZBAD^9Q°AB//CD,

BD=y/AB2+AD2=72>ZDEF=ZBAF，

DF=DE,

???ZDEF=ZDFE，

:.ZBAF=ZDFE，

,/ZDFE=ZAFB,

，ZAFB=ZBAF,

：.BF=AB=1,

???DF=BD-FB=4^-1，

DE=0-\，

???CE=CD-DE=2-y/2-

故答案為2-0.

16.甲、乙兩人需要把A、3、C、。四個零件進行加工，每個零件都需要先由甲進行粗加工，再由乙進

行精加工，甲、乙兩人在各自的工序中完成一個零件的加工后才能開始加工另一個零件.這四個零件兩道

工序所需的時間（單位：分鐘）如下：

零件ABCD

粗加工1151611

精加工821112

在不考慮其他因素的前提下，若甲按“A-3-C-?！钡南群箜樞蚣庸ち慵?，則四個零件全部完成粗加工

和精加工至少需要分鐘；若使四個零件全部完成粗加工和精加工的時間最短，則甲按的先后

順序加工零件.

【答案】①.55②.A—5”

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算,根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算出按“A-3-C-?！钡南群箜樞蚣庸ち慵?

四個零件全部完成粗加工和精加工至少需要的時間；要使加工時間最短，應盡量縮短最后一個精加工的時

間并使乙前期等待時間盡量少，故2零件應最后加工，。零件應最先加工，然后分類討論計算出每一種情況

下的加工時間，比較即可.

【詳解】解：若甲按“A-B-C-的先后順序加工零件，則四個零件全部完成粗加工和精加工至少需要

的時間為：

11+5+16+11+12=55（分鐘）；

按照"D—A—C—3”順序，則加工時間為：11+11+16+5+（11—5）+2=51（分鐘），

按照“D—C—A—5”順序，則加工時間為：11+16+11+8+2=48（分鐘），

，按照“D—C—A—5”順序加工，可使四個零件全部完成粗加工和精加工的時間最短.

故答案為：55；“D—C—A—B”.

三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20—21題，每題6分，第22—23題，

每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應寫出

文字說明、演算步驟或證明過程.

17.計算：2cos30°+（g）+|-^2|-（3-^）°.

【答案】373+2

【解析】

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)累，二次根式的化簡，零指數(shù)哥，掌握相關運算法則

是解題關鍵.先計算特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)累，二次根式的化簡，零指數(shù)累，再計算乘法，最后

計算加減法即可.

0

【詳解】解：2cos30°+

=2x@+3+26—1

2

=3用2.

3%-2.

------->x-3

18.解不等式組：《2

5(%-1)<2%+1

【答案】-4<x<2

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，再根據(jù)口訣：同大取大、同小取

小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集即可.

3x-2z-x

-------->^-3(1)

【詳解】解：原不等式為2

5(%-1)<2%+1(2)

解不等式①，得無>T,

解不等式②，得九<2,

原不等式組的解集為—4<x<2.

a+b2b1

19.已知6+3〃—7=0，求代數(shù)式的值.

a-ba+b7^

【答案】7

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，以及代數(shù)式求值，正確把所求式子化簡成3a2+3〃是解題的

關鍵.

先把所求式子化簡得到"+3必，再4+3〃—7=0得出/+3〃=7，由此即可得到答案.

【詳解】解：原式=(°：)).(a—b)(a+b)

(a-b)(a+b)

—Q?+2ab+Z??—2ab+2b?

=a2+3b2.

'?"2+3/—7=0,

4+3尸=7.

原式=7.

20.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,AB=BC,E是AB的中點，E是對角線AC的中點,

（1）求證：四邊形AEED為菱形；

（2）連接交AC于點G,若DE=2,sinZACD=-,求AF的長.

4

【答案】（1）見解析（2）AF=3^~

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位線的性質得出防〃3C,EF=~BC,根據(jù)A3=3C,得出AE=Eb，即可得

2

出答案；

11CD-DG」

（2）根據(jù)菱形性質得出AF1DE，=DG=—DE,解直角三角形得出一sin/AC?！?—

224

求出GC;而F=岳，根據(jù)P為女中點，得出最后求出結果即可■

【小問1詳解】

證明：是A3的中點，E是對角線AC的中點,

AAE=-AB,EF是VABC中位線，

2

/.EF//BC,EF=-BC,

2

?：AB=BC,

:.AE=EF.

?：AD//BC,

：.ADEF.

DF//AB，

四邊形AEED是平行四邊形.

AEFD是菱形.

【小問2詳解】

解：：四邊形AEED是菱形DE=2，

???AFLDE>GF=LAF,DG^-DE,

,22

AZDGF=90°,DG=1.

又在￡>GC中，sinZACD=-

4

CD=^fE5=T=4

4

GC=VCD2-DG2=A/15>

?方為AC中點,

AF=FC,

：.GF=-FC,

2

?廠口V15

33

?"2715

??AF=-------

3

【點睛】本題考查中位線的性質，菱形的判定及性質，勾股定理，解直角三角形的相關計算，解題的關鍵是

熟練掌握菱形的判定方法，中位線的性質.

21.2024年12月29日，“CR450”動車組樣車在北京發(fā)布，標志著“CH450科技創(chuàng)新工程”取得重大

突破.北京南站與上海虹橋站之間的鐵路長約為1300km,若“CH450”動車投入使用后，某日上午

8:00,“CH450”、“復興號CH450”兩輛動車同時分別從北京南站、上海虹橋站出發(fā)，相向而行，

勻速行駛，當日上午10:00相遇.此后，“復興號CH450”動車的速度提升了70km/h,當日12：30

到達北京南站.若“CH450”動車的速度不變，則“CR450”動車當日12：00前是否可以到達上海虹

橋站，并說明理由.

【答案】"CR450”動車可以在當日12:00前到達，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，有理數(shù)的混合運算的應用，掌握速度=路程+時間是解題關鍵.設

相遇前“復興號CH450”動車的速度為xkm/h,根據(jù)題意列方程求出x=250,進而求出“CR450”動

車的速度，得到“CR450”動車的行駛時間，即可求解.

【詳解】解：“CH450”動車可以在當日12:00前到達，理由如下：

設相遇前“復興號CH450”動車的速度為xkm/h.

由題意可知，2x+2.5（x+70）=1300.解得x=250.

所以“CR450”動車的速度為/------=400km/h.

2

所以“CR450”動車的行駛時間為強=3.2511.

400

所以“CR450”動車到達上海虹橋站的時間為當日11：15,可以在當日12:00前到達.

22.在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)丁="+可左。0）的圖象經過點（2,1）和（0,—1）,與過點（0,3）且垂

直于y軸的直線交于點A.

（1）求該函數(shù)的解析式及點A的坐標；

（2）當無<4時，對于X的每一個值，函數(shù)y=gx+〃的值大于函數(shù)y=依+3（左。0）的值且小于3,直

接寫出”的值.

【答案】（1）函數(shù)的解析式為y=x-l,A（4,3）

（2）1

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法的應用，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

（1）利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點A的縱坐標為3,代入函數(shù)解析式求出點A的橫坐標

即可；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出當y=；x+〃過點（4,3）時滿足題意，代入（4,3）求出〃的值即可.

【小問1詳解】

解：把點（2,1）和（0,—1）代入y=kx+b（k豐0）得：

2k+b=l

<b=-l'

該函數(shù)的解析式為y=x-i,

由題意知點A的縱坐標為3,

當y=%-1=3時，

解得：x=4,

/.A（4,3）；

【小問2詳解】

解：由（1）知：當x=4時，y=x-l=3,

因為當x<4時，函數(shù)y=」x+”的值大于函數(shù)y=尤-1的值且小于3,

2

所以當丁=（%+〃過點（4,3）時滿足題意，

代入（4,3）得：3=—x4+n,

解得：n=1.

23.某校調研教師、學生、家長對科技節(jié)的滿意度.

（1）從全校教師和學生中分別隨機抽取了10人和50人對科技節(jié)的滿意度進行評分（百分制），對他們的

評分進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.教師評分:

79848585888888899093

b.學生評分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成4組：第1組60<*<70,第2組70Vx<80,第3組

80Vx<90,第4組90<x<100）：

c.師生評分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

教師86.988m

學生81.38n87

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

①加的值為,〃的值位于學生評分數(shù)據(jù)分組的第組；

②若在分析學生評分數(shù)據(jù)時發(fā)現(xiàn)一個記錄為“70”的數(shù)據(jù)有誤，如果去掉該數(shù)據(jù)，那么其余49個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與原來的50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別相比，一定變大的是（填

“平均數(shù)”“中位數(shù)"或''眾數(shù)”）；

（2）學校邀請了四位家長對科技節(jié)的“活動豐富”與“學生參與”的滿意度進行評分（百分制），評分如

【答案】（1）①88,3；②平均數(shù)；

（2）94

【解析】

【分析】本題考查求中位數(shù)，眾數(shù)和方差，直方圖，熟練掌握相關數(shù)據(jù)的計算方法，從統(tǒng)計圖中有效的獲取

信息，是解題的關鍵：

（1）①根據(jù)眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)為排序后，位于中間一位或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，進行

判斷即可；②根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)，平均數(shù)的確定方法，進行判斷即可；

（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，結合吊〈耳，列出不等式進行求解即可.

【小問1詳解】

解：①教師評分中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)位88,故眾數(shù)為88,即：m=88；

由直方圖可知，學生評分數(shù)據(jù)的第25個和第26個數(shù)據(jù)均位于第三組；故中位數(shù)位于第三組；

②學生評分的眾數(shù)為87,與數(shù)據(jù)70無關，故眾數(shù)不變，中位數(shù)由第25個數(shù)據(jù)和第26個數(shù)據(jù)的平均數(shù)變

為第25個數(shù)據(jù)，中位數(shù)可能不變，也可能變小，平均數(shù)受極端值影響，去掉一個比平均數(shù)小的數(shù)，平均

數(shù)會變大，故一定變大的是平均數(shù)；

【小問2詳解】

e=1x（90+93+94+91）=92；s；=-xP（90-92）2+（93-92）2+（94-92）2+（91-92）21=2.5,

44L—

司=；=（91+91+93+3）=27},

'：x1<x2,

..?空土（292,解得：k>93,

4

當左=93時：吊=；x（91+91+93+93）=92

s；=；義［（91—92）2+（91—92）2+（93—92『+（93—92）1=2<25）滿足題意；

當上=94時：吊=（x（91+91+93+94）=92.25

22

=lxr（9l-92.25）2+（91-92.25）2+（93-92.25）+（94-92.25）1=1.6875<2.5,滿足題意；

當上=95時：%2=1x（91+91+93+95）=92.5

s；=；義［（91—92.5）2+（91—92.5）2+（93—92.5）。（95—92.5『］=2.75>2.5,不滿足題意；

當左>95時，4>2.5,不符合題意；

故整數(shù)左的最大值為94.

24.如圖，A3是?O的直徑，點在C。上，。。，5。于點石，

（1）求證：NCBD=NBAD；

（2）過點A的切線交。。延長線于點尸.若tan/BA￡）=L,BC=8,求。尸的長.

2

25

【答案】（1）見解析⑵OF=—

3

【解析】

【分析】（1）垂徑定理，得到8=30，圓周角定理得到NGBr>=N8A。即可；

（2）垂徑定理，得到5E=CE=4,解RtBED,求出DE的長，設1O的半徑為廣，在RtZXOEB,勾

股定理求出廠的值，證明4s△50￡,列出比例式進行求解即可.

【小問1詳解】

證明：；OD±BC于點EQD是:-0的半徑，

CD=BD-

：.ZCBD=ZBAD.

【小問2詳解】

解：±BC于點E,0D是。的半徑，BC=8,

：.BE=CE=4,ABED=ZBEO=90°.

,：ZCBD=ZBAD,tmZBAD=~,

2

tanZCBD=tanNBAD=—.

2

DE

在Rt.BED中，tanNCBD=----.

BE

：.DE=2.

設;。的半徑為

OE=r-2.

在Rt/XOES中，OE?+BE。=OBz.

A(r-2)2+42=r2.

r=5.

OE=3.

1/AFM。的切線，

：.AF±OA.

：.ZFAO=9Q°,

：.ZFAO=ZBEO.

又：ZFOA^ZBOE,

/\FO^/\BOE.

.OF_OA

，'~OB~~OE，

D

AB

F

【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，切線的性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，熟練

掌握相關知識點，是解題的關鍵.

25.某小組設計了一款自動澆花裝置，小組同學調節(jié)澆花裝置出水管，使其沿水平方向.水滴從出水點水

平噴出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分.從水滴離開出水點到落地點的過程中，水滴距離地面的

豎直高度為y（單位：m）,水平距離為x（單位：m）,建立如圖1所示的平面直角坐標系.

圖2

a.通過儀器測量，小組同學記錄了水滴離開出水點后的運動時間為/（單位：S）時的多組數(shù)據(jù)，其中幾

組數(shù)據(jù)如下:

時間t/s00.100.200.30

水平距離

00.100.200.30

x/m

豎直線高度

h0.750.600.35

y/m

從小組同學通過學習知道，水滴運動時，水平距離了與時間/的關系為x=W（v為水滴離開出水點時的

速度，單位m/s）

根據(jù)以上信息，解決下列問題：

（1）v的值是；

（2）場的值是，水滴從離開出水點到落在落地點，需要經過s;

（3）將如圖2所示的一個高為0.2m的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N在圖1所示的工軸上，且

ON=0.4m.若該裝置可以調節(jié)出水點的高度（出水管保持水平），要使水滴運動時恰好經過花盆頂端中心

M（不考慮其他因素），則需要將出水點向（填“上"或“下”）平移m.

【答案】（1）1；（2）0.8,0.4；

（3）上，0.2

【解析】

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，正確理解題意求出對應的函數(shù)關系式是解題的關鍵.

（1）根據(jù)水平距離x與時間/的關系為x=結合表格中的數(shù)據(jù)求解即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出對應的拋物線解析式，再求出當尤=0時的函數(shù)值即可求出的值；再求出y=0

時，尤的值即可得到答案；

（3）設平移后的拋物線解析式為y=-5必+0.8+/,由題意得，拋物線y=-5爐+0.8+/經過點

（0.4,0.2）,利用待定系數(shù)法求出/的結果即可得到答案設平移后的拋物線解析式為y=-5必+0.8+/,

由題意得，拋物線y=-5x2+0.8+/經過點（0.4,0.2）,

【小問1詳解】

解：由題意得，v=0.10+0.10=l；

【小問2詳解】

解：設拋物線解析式為y=以2+bx+c,

把（0.10,0.75）,（0.20,0.60）,（Q30,Q35）代入到y(tǒng)=加+法+c中得

'O.Ola+O.班+c=0.75

<0.04〃+0.2b+c=0.60,

0.09a+0.3b+c=0.35

a——5

解得卜=0,

c=0.8

???拋物線解析式為y=-5x2+0.8,

在y=-5x2+0.8中，當％=0時，y=-5x2+0.8=0.8,

/z=0.8；

在y=-5犬2+0.8中，當>=-5/+0.8=0時，解得x=0.4或％=-0.4（舍去），

???水滴從離開出水點到落落地點，需要經過0.4+1=0.4s；

【小問3詳解】

解：設平移后的拋物線解析式為y=-5必+0.8+/,

由題意得，拋物線y=-5x2+0.8+/經過點(0.4,0.2),

/.0.2=-5X0.42+0.8+/,

解得/'=0.2,

???要使水滴運動時恰好經過花盆頂端中心以(不考慮其他因素)，則需要將出水點向上平移0.2m.

26.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線丁=。爐一2。2雙。彳0).

(1)當。=1時，求拋物線的頂點坐標；

(2)已知4(%,%),現(xiàn)々，%)，。(X3，%)是拋物線上的三個點.若對于一3?為(一1,%=2,

%=3a,都有%＜%＜%，求。的取值范圍.

【答案】(1)(L-1)

2

(2)—＜。＜1或一2＜。＜一1

3

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質.

(1)將拋物線解析數(shù)化為頂點式，即可求解；

(2)根據(jù)拋物線解析式得到拋物線的對稱軸為x=a.根據(jù)拋物線的開口方向分兩種情況討論:①若a＞0,

則當時，，隨天的增大而增大；當xKa時，丁隨x的增大而減小.②若。＜0,則當xNa時，y隨尤

的增大而減??；當時，＞隨x的增大而增大.再分別分三種情況討論三個點的函數(shù)值大小，即可求解.

【小問1詳解】

解：當a=l時，拋物線、=爐一2%.

y=(1)2T.

拋物線的頂點坐標為(1,—1)；

【小問2詳解】

I?：Vy=ax1—2a1x=a^x—a^—a3,

：.拋物線的對稱軸為x=a.

對于一3＜玉＜一1,々=2,x3=3a；

①若〃>o,則當九2〃時，y隨1的增大而增大；當光時，y隨x的增大而減小.

*/-3<Xj<-1,x3=3a,

/.xx<a,x3>a.

設點A(K，%)關于對稱軸x=a的對稱點為A(%,%)，

則％〉〃，x4-a=a-x1.

：.xi=2a-x^.

/.+1<x4<2^+3.

2

(I)當OvaV一時，有％2〉〃.

3

x3=3a,

a<x3<x2,

.,?%<%,不符合題意.

2

(II)當一時，有九2>〃.

3

x3=3a,2〃+1<%<2a+3,

a<x2<x3<x4,

%<%<%，符合題意;

（III）當時，令%4=2〃+1,則〃<犬4<九3.

.?.％<%，不符合題意.

②若avO,則當xNa時，V隨X的增大而減小；當尤4。時，y隨犬的增大而增大.

,/%=2,x3=3a,

x3<a<x2.

設點B（x2,y2）關于對稱軸％。的對稱點為夕（天,%），

貝U毛<4，a-x5=2-a.

：.x5=2a-2.

(I)當2時，有3aW-6,x5<-6.

令名=-6,則3a</<a,即曰</。.

為<為，不符合題意.

(II)當一2<。<一1時，有-6<3a<—3,則

若一3W%Wa,有七<$<%。，則%<%<%，符合題意；

若a<%<一1,

設點A關于對稱軸％。的對稱點為A〃(無6,%)，

則工6<a,xl-a-a-x6.

x6-2a-xY.

/.2a+1<x6<a,

x5<x3<x6<a.

：.%<%<%，符合題意.

(III)當一l〈a<0時，有

.?.%<%，不符合題意.

『2

綜上所述，。的取值范圍是一<。<1或一2<。<一1.

3

27.在VA3C中，AB=AC,ZBAC=a,。是VA3C內一動點，連接。6,將線段繞點。順時

針旋轉180°-a得到線段DE,連接CE.

圖1圖2

(1)如圖1,當點E與點A重合時，求證：ADLBC；

(2)如圖2,當點E在VABC外部時，DE與AC交于點F,取CE中點P,連接AP、DP,直接寫

出NAPZ)的大小，并證明.

【答案】（1）見解析（2）NAPD的大小為90°,見解析

【解析】

【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，四邊形內角和等知

識，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵.

（1）根據(jù)旋轉的性質和等邊對等角的性質，得到==進而得出NR4D=NC4D,再根

2

據(jù)等腰三角形三線合一的性質證明即可；

（2）延長。尸至點G,使得PG=DP,連接A。、AG,CG.證明一0cPG（SAS）,從而得到

DE//CG,再根據(jù)四邊形內角和和鄰補角的定義，得到=進而證明.ABD^ACG（SAS）,

再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質求解即可；

【小問1詳解】

證明：由題意可知，DB=DA,ZBZM=1800-cr,

ZABD=ZBAD=-a,

NCAD=—a,

2

ZBAD=ZCAD,

'：AB=AC,

：.ADJ.BC.

【小問2詳解】

解：NAPD的大小為90°.證明如下：

如圖，延長。P至點G,使得尸G=D尸，連接AD、AG,CG.

,*,P是CE中點,

：.PE=PC.

丁/EPD=/CPG,

,￡PD^CPG(SAS).

AED=CG,4E=/PCG.

：.DE//CG.

：.ZDFC=ZACG，

VZBAC=a,ZBDE