2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

數(shù)列章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2025北京海淀高三上期末）2023年，甲、乙兩公司的盈利規(guī)律如下：從2月份開始，甲公司每個(gè)月

盈利比前一個(gè)月多200萬元；乙公司每個(gè)月盈利比前一個(gè)月增加10%.記甲、乙兩公司在2023年第〃個(gè)月

的盈利分別為。⑺，62（?）（單位：萬元）.已知2（1）=1200,2,（1）=1100,則0（〃）-Q（〃）最大時(shí)，〃的值

為（）

（參考數(shù)據(jù)：lgl.1?0.0414,1g2*0.3010）

A.7B.8C.9D.10

2.（2025北京海淀高三上期末）己知等差數(shù)列｛叫的前”項(xiàng)和為S“，生+3%=14,則Sf=（）

A.7B.21C.28D.42

3.（2025北京通州高三上期末）已知數(shù)列｛q,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S“，且4=確「2。向，下列

說法正確的是（）

A.當(dāng)q=l時(shí)，數(shù)列｛〃“｝為遞減數(shù)列

B.數(shù)列｛%｝不可能為等比數(shù)列

C.當(dāng)％>4,V?>2,都有

D.當(dāng)q=l時(shí)，3meN*,^n>m,都有％,>4

4.（2025北京房山高三上期末）已知由正整數(shù)組成的集合A=｛q,%，/，，%）｝，S（A）表示集合A中所有

元素的和，E（A）表示集合A中偶數(shù)的個(gè)數(shù).若S（A）=2025.則E（A）的最小值為（）

A.5B.7C.9D.10

5.（2025北京東城高三上期末）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,前〃項(xiàng)和為S,,,使S"有最小值的一組生和4

可以為（）

A.a1>0,q<-1B.4>0,

C.%<0,0<”1D.%<0,4〉1

6.（2025北京豐臺(tái)高三上期末）各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列2,3,4,a,b,20,30,40為遞增數(shù)列.從該數(shù)

列中任取4項(xiàng)構(gòu)成的遞增數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，則有序數(shù)對(duì)（。，3的個(gè)數(shù)為（）

A.73B.75C.76D.78

7.（2025北京豐臺(tái)高三上期末）已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S",且4=9,則S3=（）

A.7B.13C.18D.63

8.（2025北京朝陽高三上期末）設(shè)｛《,｝是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)上使得對(duì)任意〃eN*,均有

則稱｛%,｝是間隔遞減數(shù)列，其中左稱為數(shù)列｛%｝的間隔數(shù).給出下列三個(gè)結(jié)論：

①若4==，則｛4｝是間隔遞減數(shù)列；

n

②若1=〃.（-2）礴,則如｝是間隔遞減數(shù)列;

③若氏=-；+sinn,則｛%｝是間隔遞減數(shù)列且｛a,｝的間隔數(shù)的最小值是4.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

9.（2025北京朝陽高三上期末）“三分損益法“是古代中國發(fā)明制定音律時(shí)所用的方法，現(xiàn)有一古琴是以一

根確定長度的琴弦為基準(zhǔn)，第二根琴弦的長度是第一根琴弦長度的；，第三根琴弦的長度是第二根琴弦長

度的4"第四根琴弦的長度是第三根琴弦長度的2;，第五根琴弦的長度是第四根琴弦長度的4：琴弦越

333

短，發(fā)出的聲音音調(diào)越高，這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調(diào)由低到高分別稱為“宮，商，角，徵，羽“，貝廣宮

“與“角”所對(duì)琴弦長度之比為（）

A1639D81

4.藥BR.5Cr.§D.R

二、填空題

10.（2025北京昌平高三上期末）已知等差數(shù)列｛4｝與等比數(shù)列｛々J是兩個(gè)無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)歹U.給

出下列四個(gè)結(jié)論：

①數(shù)歹!）｛。"也,｝不是等比數(shù)列；

②若｛%｝與｛￡｝都是遞增數(shù)列，則數(shù)列｛?！?用｝是遞增數(shù)列；

③對(duì)任意的〃eN*,b?,bn+i,bn+2不是等差數(shù)列；

④存在數(shù)列｛4｝,對(duì)任意的，4/eN*,且使得<，為,可不能構(gòu)成等比數(shù)列.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

11.（2025北京昌平高三上期末）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為期,S.=2a,「K〃eN*）,則%=.

12.（2025北京石景山高三上期末）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足。用=〃4+3）,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在力和/,使得｛4｝是等比數(shù)列；

②若4=［且是奇數(shù)，則。“為奇數(shù)；

③若彳=:且％>3,則存在"使得巴V3；

④若北畤且1<%<3,則｛4｝是遞減數(shù)列.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

13.（2025北京西城高三上期末）已知無窮數(shù)列｛4｝滿足--5=123,）.給出下列四個(gè)結(jié)論：

2an

①存在q，使得集合｛"“"〈O"eN*｝中有無窮多個(gè)元素；

②存在4，使得集合?<2,〃eN*｝中有有限個(gè)元素；

③對(duì)于任意的q,集合?<O,"WN*｝中至多有一個(gè)元素;

④當(dāng)q=1時(shí)，集合｛“,〈%+i<2,〃eN*｝=N*.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

14.（2025北京房山高三上期末）《九章算術(shù)》是我國古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)著作，內(nèi)容涉及方程、幾何、數(shù)列、

面積、體積的計(jì)算等多方面.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾

何？’'意思是："一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天

分別織布多少？”由以上條件，該女子第5天織布一尺；若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為一.

15.（2025北京東城高三上期末）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原

理.大衍數(shù)列｛%｝中，對(duì)于笈=1,2,3,L,數(shù)列為I，是公差為4的等差數(shù)列，且｛4｝也是等差數(shù)

列.已知4|=0,%=4,%=24,則4=;｛4｝的前9項(xiàng)和等于.

三、解答題

16.（2025北京海淀高三上期末）已知｛為｝為各項(xiàng)均為整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，且q=1.對(duì)于｛%｝中的任意

一項(xiàng)處（左23）,在｛4｝中都存在兩項(xiàng)%力（，</）,使得4=勿「q或4=".

ai

（1）若％=3,a5=25,寫出&的所有可能值；

⑵若冊(cè)=2025.

①當(dāng)?shù)?3時(shí)，求加的最大值；

②當(dāng)g=2時(shí)，求"2的最小值.

17.（2025北京石景山高三上期末）項(xiàng)數(shù)為優(yōu)（加22）的數(shù)列｛q｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱｛4｝為一個(gè)滿足

“絕對(duì)值2關(guān)聯(lián)”的機(jī)階數(shù)列；

①WXlT￡ql=機(jī)t（其中=《+42++金）；

i=li=li=l

②I4區(qū)；I（i=1,2,,m）.

（1）判斷數(shù)列2是2否2為一個(gè)滿足“絕對(duì)值（2關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列？是否為一個(gè)滿足“絕對(duì)值1關(guān)聯(lián)”的5

階數(shù)列？說明理由；

（2）若數(shù)列｛%｝為一個(gè)滿足“絕對(duì)值2關(guān)聯(lián)”的6階數(shù)列，證明：％的最小值為之；

0

（3）若數(shù)列｛為｝為一個(gè)滿足“絕對(duì)值4關(guān)聯(lián)”的2k+l（keN，）階數(shù)列，求4的最小值.

18.（2025北京通州高三上期末）定義：若正整數(shù)加能表示成〃?=〃+必+廿（。,人為正整數(shù)且“Hb）的形

式，則稱加為“T型數(shù)”，也稱加具有“T結(jié)構(gòu)”.若數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)均為“T型數(shù)”，則稱數(shù)列｛4｝為“T型數(shù)

列”.

⑴寫出7,14,21,28這四個(gè)數(shù)中的“T型數(shù)”；

（2）若｛%｝為等差數(shù)列，且。2=5,%=14,求證｛叫中任意一項(xiàng)均不為“T型數(shù)”；

⑶若數(shù)列｛。“｝,但｝均為“T型數(shù)列”，設(shè)。,=。也，求證數(shù)列匕,｝為“T型數(shù)列”.

19.(2025北京房山高三上期末)已知｛%｝和物/都是無窮數(shù)列.若存在正數(shù)A,對(duì)任意的weN*,均有

\an-bn\<A,則稱數(shù)列⑷與也｝具有關(guān)系尸⑷.

(1)分別判斷下列題目中的兩個(gè)數(shù)列是否具有關(guān)系P⑴，直接寫出結(jié)論；

①%=2"，bn=n+2,〃wN*;

②c,=g「，〃eN*.

weN*,試判斷數(shù)列｛%｝與他｝是否具有關(guān)系P(A).如果是，求出A的最小

值，如果不是，說明理由；

(3)已知｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，若存在數(shù)歹！J｛是｝滿足：｛我｝與｛4｝具有關(guān)系尸(1),且仇-4,

4-4，…，仇01-中至少有100個(gè)正數(shù)，求d的取值范圍.

20.(2025北京東城高三上期末)己知有窮正整數(shù)數(shù)列4：%滿足：fl,e｛1,2,，力,

且當(dāng)?shù)抖?jeN*,l尊/時(shí)，總有。尸。八定義數(shù)列耳：耳,L,%,其中4=4，

4=!，一"7'"丁<即化=2,3,㈤.當(dāng)。：=根時(shí)，稱數(shù)列4具有性質(zhì)「(〃?).

>ak,

(D判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P(l);

①4,3,2,1；②1,2,3,5,4.

(2)已知數(shù)列&具有性質(zhì)尸(加)，求加的最小值；

(3)是否存在數(shù)列4具有性質(zhì)尸七」，且。：+@+1+。：=2025?若存在，請(qǐng)找到使“最小的一個(gè)數(shù)列

4；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(2025北京豐臺(tái)高三上期末)給定數(shù)列A：%,a2,生，明和序列。：(，右，…，9,其中

Tt=[dti,dt2,dt3,dtA)(?=1,2,,s)滿足:①處w{-1,3}(7=1,2,3,4)；②4」++4,3+4,4=°.對(duì)數(shù)歹(JA進(jìn)

行如下s次變換：將A的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)分別加4」，4二，4.3,44后得到的數(shù)列記作

4(A);將((A)的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng)分別加以」，“2,2,4,3,4,4后得到的數(shù)列記作

也⑷;……;以此類推,得到數(shù)列4也(A),簡記為。⑷.

⑴已知數(shù)列A：7,8,4,4,寫出一個(gè)序列。：7],“，使得。(A)為5,6,6,6；

(2)對(duì)數(shù)列44,6,7,8,是否存在序列。：7],T2,Ts,使得。(A)中恰有三項(xiàng)相等？若存在，寫

出一個(gè)序列。，若不存在，說明理由；

⑶對(duì)數(shù)列A：3,7,14,m,若存在序列O：Tx,T2,<(s(10),使得。(A)中恰有三項(xiàng)相等，求機(jī)

的所有取值.

22.(2025北京朝陽高三上期末)己知無窮數(shù)列｛%,｝,給定正整數(shù)機(jī)，若數(shù)列｛4｝滿足以下兩個(gè)性質(zhì)，則

a；+2m,a?<2m,

稱｛%｝為匕,數(shù)列：①qeN*；②%+i=(q

.，*2.

、乙

(1)已知｛g｝和低｝分別為2數(shù)列和乙數(shù)列，且卬=84=10,求明和如

(2)已知正整數(shù)數(shù)列｛4｝是匕數(shù)列.

(i)無窮數(shù)列｛&｝滿足c“=,且能為奇數(shù)，其中d“eN,證明：對(duì)于任意的weN*,%<2"；

(ii)求滿足條件的機(jī)，并寫出與加對(duì)應(yīng)的所有可能取值.

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列求出QS),。2(")及2(")-2(〃)，再構(gòu)造數(shù)列并判斷單

調(diào)性得解.

,1

【詳解】依題意,1200+200("-1)=1000+200",22(n)=U00x(l+10%)'-=1000x1.1%

貝!j21(M)-Qi(ri)=1000(1+0.2n-1.V),令=1+0.2〃一1.1",

貝1］叫+1_町=0.2-1.l"x0.1=0.1(2-l.r'),2>1.To〃lgl.l<lg207.2705,

lgl.10.0414

因此當(dāng)時(shí)，wn+l>wn.當(dāng)〃上8時(shí)，w?+1<wn,即唳最大，

所以當(dāng)2(")-2(〃)最大時(shí)，〃=8.

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求出QS)-2(")的表達(dá)式，再構(gòu)造數(shù)列作差判斷單調(diào)性求出最大值點(diǎn).

2.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬閐,由q+3%=14,

得q+d+3(q+3d)=2(G+q+5d)=2(q+?6)=14,解得ai+a6=7,

所以$6=幽"=21.

故選：B

3.C

【分析】本題通過給定的數(shù)列遞推式，寫出項(xiàng)，分析數(shù)列的單調(diào)性、常數(shù)列情況、分類討論，逐個(gè)判定即

可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)q=l時(shí)，可得1=0；-2a2，即a；-2a2-1=。.

因?yàn)閿?shù)列(??｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，解這個(gè)方程a2=拉手=1+72.

再由。2=—2a§，即(1+5/2)=d—2%,

解得％=2±J號(hào)［豆=］+收二方.

%=1,%=1+0>1,Oj=1+72+72>1+A/2，

可以發(fā)現(xiàn)4</<%，所以數(shù)列｛%｝不為遞減數(shù)列，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

由a“=a“+i(。用-2),因?yàn)??！?gt;0,見+]>0,得出a“+]-2>0,即。用>2.

又由a?=*]一2%解出an+1=1+A/a?+l(?eN+).

由M+l+1>推出+1>a?-l,進(jìn)一步得到an(an-3)<0,

結(jié)合q>0得出%<3,

從而得至1］。<%<3時(shí)，an+l>an；

同理得到%=3時(shí),4+1=4；?！?gt;3時(shí)，an+1<an.

當(dāng)%>3時(shí)，由-2%變形為%+l=（a同-I）?,得出見+1>4,進(jìn)而得到（。用-1）?>4,推出

4+1-1>2,即a“+］>3,所以見>3時(shí)，an+1>3；同理0<a.<3時(shí)，0<%<3.

對(duì)于選項(xiàng)B,?！?3時(shí)，a?+1=an,為等比數(shù)列，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)4>3時(shí)，根據(jù)前面分析的單調(diào)性。用<?！埃詾?gt;3在〃eN+時(shí)恒成立且｛%｝單調(diào)遞減.

當(dāng)外>4時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞減且>3,所以3<%<%恒成立，進(jìn)而所以選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)0<?！?lt;3時(shí)，％<3且%>?！?

當(dāng)q=l時(shí)，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增且4,<3,所以不存在〃eN+使4>4,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由—因?yàn)?。?gt;0,%+1>0,得出?！?1-2>。，即%>2.由

而開+1>%推出斤進(jìn)一步得到4,（%-3）<0,分類討論得到數(shù)列單調(diào)性是關(guān)鍵.

4.B

【分析】先排除有5個(gè)偶數(shù)不可能，再找一個(gè)有7個(gè)偶數(shù)的實(shí)例后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】45個(gè)正奇數(shù)的和不小于1+3+5++（2x45-1）=2025,

因?yàn)锳中有50個(gè)不同的正整數(shù)，故A中不可能有不超過5個(gè)不同的偶數(shù).

取A=｛1,3,5,,2x43-1,18,20,22,24,26,28,38｝,

則A中共有元素個(gè)數(shù)為43+7=50,

這50個(gè)數(shù)的和為43?+18x6+=x2+38=1849+108+68=2025,

故E（A）的最小值為7.

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于組合最值問題，我們一般先找到一個(gè)范圍，再驗(yàn)證臨界值存在即可.

5.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用并項(xiàng)求和推理判斷A；利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式推理判斷B；利用負(fù)數(shù)和

的意義判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,q>0,q<-l,%“一1+%“=42（1+幻，數(shù)列｛%-+%J是首項(xiàng)為4（1+4）<。，

公比為才>1的遞減等比數(shù)列，因此S2“<0,隨著〃的增大$2“逐漸減小，無最小值，A不是；

對(duì)于B,>0,-l<^<0,Sx=ax>（l+q）=S2,

2

當(dāng)“23時(shí),S“一S,=/H（l-q"）-（1一/）］=誓_（1_廣2）>0,即5">星，

l-q1-q

因此對(duì)任意正整數(shù)"，S.NS?恒成立，S”有最小值，B是;

對(duì)于CD,q<0,0<“<1或q<O,q>l,an<0,因此S“<0,隨著"的增大S"逐漸減小，無最小值，CD

不是.

故選：B

6.B

【分析】先由題意確定a,b的可能取值，然后采用分類討論的方法計(jì)算可能的取法數(shù)，進(jìn)而排除不符合

題意的取法，即可求得答案.

【詳解】由題意可知。的取值可從6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18中選?。╝=5或10時(shí)，任取4項(xiàng)可構(gòu)成

等差數(shù)列，不合題意），

6的取值可從7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19中選?。?=1。時(shí)，任取4項(xiàng)可構(gòu)成等差數(shù)歹!J,不合題意），，

且需滿足。<匕，

當(dāng)a=6時(shí)，。的取法有12種；當(dāng)。=7時(shí)，》的取法有11種；

當(dāng)。=8時(shí)，b的取法有10種；當(dāng)。=9時(shí)，b的取法有9種；

當(dāng)。=11時(shí)，b的取法有8種，依次類推，當(dāng)a=18時(shí)，6的取法有1種；

貝卜。力）的可能取法有12+11+…+2+1=1202+1）=78（種），

2

其中當(dāng)。=6/=8時(shí)，2,4,6,8成等差數(shù)列，不合題意；

當(dāng)。=8,6=16時(shí)，2,4,8,16成等比數(shù)列，不合題意；

當(dāng)a=8力=14時(shí)，2,8,14,20成等差數(shù)列，不合題意；

故滿足題意的（。㈤的取法有78-3=75（種），

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答的關(guān)鍵要由題意確定6的可能取值，然后采用分類討論的方法計(jì)算可能取法

數(shù)，進(jìn)而排除不符合題意的取法.

7.A

【分析】根據(jù)題意判斷得數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，進(jìn)而得到其基本量，從而利用等比數(shù)列的求和公式即可得

解.

【詳解】因?yàn)?-3%,%=9工0,

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比4=-3,

又03Hoix(―3)2=9al=9,解得%=1,

卜［1-(-3)1

所以S3==7,

1-(-3)

故選：A

8.B

【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷①；利用間隔遞減數(shù)列的定義可判斷②；取左=6,結(jié)合間隔遞減數(shù)列的

定義可判斷出數(shù)列｛%｝為間隔遞減數(shù)列，再由間隔等差數(shù)列的定義可求得左的最小值，可判斷③.

9,、

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?=2,則數(shù)列%｝為單調(diào)遞減數(shù)列，即。用<%對(duì)任意“eN*恒成立,

n

此時(shí)，k=l,滿足題中條件，①對(duì)；

對(duì)于②，若2-，假設(shè)數(shù)列｛%｝是間隔遞減數(shù)列，

則存在八N*,使得%+?<",，即（"+左）?（一2）"+z<〃.（一2）向，

若“為奇數(shù),貝U有（〃+月可得（-2）*<T

JL\K

因?yàn)椤?<1,顯然當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，合乎題意;

n+k

當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)，（-2y24,不等式（-2）"不成立，故人為奇數(shù);

Yl\K,

若"為偶數(shù)，貝U有（〃+月?（一2）*>〃，可得（-2）*>T

ll~rK,

當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，（-2）”〉一^不成立，

故假設(shè)不成立，即數(shù)列｛%｝不是間隔遞減數(shù)列，②錯(cuò);

對(duì)于③，若?！?一耳+sin及，

n+6./八〃.

因?yàn)闉?6———Fsin(〃+6)+/—sin〃=sin(n+6)-sinn-3<2-3<0

貝！Ian+6<an'所以，數(shù)列｛q｝是間隔遞減數(shù)列,

假設(shè)存在正整數(shù)左，使得4”上<%，即-3+sin（〃+A）<\+sin〃，

可得萬>sin（〃+2）-sin〃，

由于sin（〃+左）—sin幾<1一（一1）=2,當(dāng)且僅當(dāng)sin（〃+左）=1且sin九=一1時(shí)，等號(hào)成立,

3冗

當(dāng)sin〃=—l時(shí)，n=—+277m（/neZ）,這與〃為正整數(shù)矛盾，

故sin（〃+左）-sin”<2,所以，|->2,解得人“，

所以，若a“=-]+sin〃，則｛%｝是間隔遞減數(shù)列且｛4｝的間隔數(shù)的最小值是4,③對(duì).

故選：B.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解數(shù)列不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解:

（1）\fnwN*,晨;

（2）V〃eN*，根2（o〃?N（a“）1Mx；

（3）mneN*，mW（a"）1mx；

（4）mzeN*，〃叱q,o機(jī)"為"『

9.D

【分析】設(shè)基準(zhǔn)琴弦的長度為1,則根據(jù)“三分損益法”得到的另外四根琴弦的長度，并把五根琴弦的長度

從大到小排列，從而可求出“宮”和“角”對(duì)應(yīng)的琴弦長度之比.

【詳解】設(shè)基準(zhǔn)琴弦的長度為1,則根據(jù)“三分損益法”得到的另外四根琴弦的長度依次為，

五根琴弦的長度從大到小依次為L，,粵,金粵，

9ol327

所以“宮”與”角對(duì)應(yīng)的琴弦長度分別為1和黑，其長度之比為萼.

8164

故選：D.

10.①③④

【分析】通過分析每個(gè)結(jié)論，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合特殊例子來判斷其正

確性.

【詳解】結(jié)論①，設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為/（d*O）,首項(xiàng)為4,等比數(shù)列｛媼的公比為4（#1）,首

項(xiàng)為伉.

假設(shè)他“泡］是等比數(shù)列，則（J?gy=%。?an+2-bn+2.

a?=%+（"-l）d,bn=如"T

nn+x

an+l=ai+nd,bn+i=bxq,q.=q+（"+l）d,bn+2=b｝q

辦刖”的平方不等于（％+（”-1）辦如i0+（〃+1）辦甌"I所以數(shù)列｛?他,｝不是等比數(shù)列,結(jié)論

①正確.

結(jié)論②，例如。“=2〃-1是遞增等差數(shù)列，是遞增等比數(shù)列.

（門丫-口3

,afy=-1,a2b2=--,a2b2<afy,所以｛。/2｝不是遞增數(shù)列，結(jié)論②錯(cuò)誤.

結(jié)論③，假設(shè)%也M也+2是等差數(shù)列,則26向=噂+/+2.

bn=刖a,bn+1=如",bn+2=如用

2bd.=b4i,化簡得2g=1+/,即（4-1）2=0,q=l,這與他,｝不是常數(shù)列矛盾，所以對(duì)任意的

neN*也也卅b“+2不是等差數(shù)列，結(jié)論③正確.

結(jié)論④，”“=0+6%

則ap=y/2+y/3p,aq=-Jl+4iq,ar=j2+y/3r（p<q<r,p,^,reN*）,

若％，超，為能構(gòu)成等比數(shù)列，貝l|a；=（百+用/=apar=（后+石夕）（應(yīng)+

化簡得3^+2帆=3/+（。+廠）?,所以=",解得P=q=L與題干矛盾，所以結(jié)論④正確.

2q-p+r

故答案為：①③④.

11.2〃-i

【分析】根據(jù)3=24-1可得：當(dāng)”=1時(shí)％=1,當(dāng)“22時(shí)，S,T=2a,i-l,根據(jù)4,=5“-5"_|(〃22)消去

S“即可得到江=2,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

an-\

【詳解】S〃=2。,-K/N*)①，

「?當(dāng)〃=1時(shí)，$=2%-1=%,解得“1=1；

當(dāng)〃22時(shí)，S〃T=2%_］—1②，

①■②得%=2%-2%—1,而%=1w0,故%w。，「.—=2.

an-l

數(shù)列｛?！埃鞘醉?xiàng)為q=1,公比為2的等比數(shù)列,

.??數(shù)列他”｝的通項(xiàng)公式為?！?2力.

故答案為：2"，

12.①②④

【分析】對(duì)于①取出一個(gè)特殊數(shù)列即可；對(duì)于②只需證明6為奇數(shù)時(shí)，出也為奇數(shù)，以此類推得到冊(cè)為奇

數(shù)；對(duì)于③化簡等式，由%>3,證明%>3,以此類推得到%>3；對(duì)于④由作差法得到

=聞+3A,再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到Ae(0。且1<<3時(shí)函數(shù)〃%)<。得到函數(shù)是遞減函

數(shù)，再由1<%<3時(shí)得至口<%<%,同理可證1<%<3即可得到結(jié)論.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)卬=1"=；時(shí)，4=1,此時(shí)｛凡｝是等比數(shù)列，①正確；

對(duì)于②，設(shè)q=2左+1,優(yōu)eN),貝g=&(4：+3)=：［(2左+1)一+31=%。+%+1,

當(dāng)人為偶數(shù)時(shí)廿+左為偶數(shù)，即%=/+%+1為奇數(shù)；

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)/+左為偶數(shù)，即/+笈+1為奇數(shù)；

即當(dāng)生為奇數(shù)時(shí)，出也為奇數(shù)，同理氏也為奇數(shù)，所以②正確；

對(duì)于③，因?yàn)?=：,則a向=4+之，當(dāng)%>3時(shí)，劣=《+3>上+3=3,

4444444

?3=^-+->-+->3,同理4>3,故不存在〃使得a“V3,③錯(cuò)誤；

4444

對(duì)于④，%+1-%=4(屋+3)-〃,=4。；一?！?34,令函數(shù)/(〃“)=4a；~an+3Z,

因?yàn)镹e(0,；］,函數(shù)7(%)是開口向上的二次函數(shù)，則函數(shù)/(凡)在［1,3］的最大值在端點(diǎn)處取得，

即_f(l)=4X_l或/(3)=124-3,又因?yàn)?e(0,；］,所以/(1)=4X_1VO,/(3)=122-3<0,

即當(dāng)4?1,3)時(shí),/(a?)<0,即%--am=/(4)<0,

又因?yàn)楫?dāng)qe(l,3)時(shí)，a2=^+->-+-=l,

4444

所以當(dāng)％e(l,3)時(shí),\<a2<al,即%e(l,3),貝同理可得a“?1,3),

所以此時(shí)｛%｝是遞減數(shù)列，④正確.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題是數(shù)列的綜合型題目，通過遞推公式找到函數(shù)的一些性質(zhì)，需要結(jié)合數(shù)列的函數(shù)

思想來完成證明.

13.②③④

51

【分析】通過分析數(shù)列的遞推公式。用=7-一，結(jié)合邏輯推理，數(shù)學(xué)歸納等對(duì)不同的結(jié)論分別進(jìn)行討論，

判斷其正確性.

【詳解】分析結(jié)論①，假設(shè)存在6使得集合｛”|a“<O,weN*｝中有無窮多個(gè)元素.

,51551

當(dāng)。時(shí)，%+1=彳>3.那么。"+2=不，

2a“22%

5012515221

因?yàn)?+1>彳，所以0<——<4，則4+2=3------->Z-7=777>2-

2an+152an+l2510

這意味著一旦4<0,后面的項(xiàng)不可能再無限次地小于0,所以①錯(cuò)誤.

分析結(jié)論②，假設(shè)存在《使得集合｛“I%<2,”eN*｝中有有限個(gè)元素.

51八115151c

由4+i=J-----，當(dāng)4>2時(shí)，0<一<不，an+1=--------->---=2.

2a,an22ali22

如果q>2,那么數(shù)列｛為｝從第二項(xiàng)起都大于2,即集合｛〃1%<2,〃€>｝*｝中只有有限個(gè)元素，所以②正確.

515

分析結(jié)論③，假設(shè)”=左時(shí)見<0,則4M=不一一>-.

51,5八12515221

a>-=>2

k+i=T-------，因?yàn)椋?1>彳，所以0<------<三，ak+2=、--------o77n-

2ak+l2%]52ak+l2510

所以對(duì)于任意的4,集合｛"l%<0,〃wN*｝中至多有一個(gè)元素，③正確.

分析結(jié)論④，當(dāng)％=1時(shí)，5一1=39，521?15643

222362-n-22

通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)鳳<。向<2恒成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

先證明"為<2,

當(dāng)〃=1時(shí)，146=1<2,

3,51c

假設(shè)當(dāng)孔=左時(shí)，1工以<2成立，則不4%”=不一一<2,

乙2ak

所以1K%<2成立,

再證明<。用

3

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,“2=萬，1=%<。2<2成立.

假設(shè)當(dāng)”=%時(shí)，144<%+I<2成立.

,515111a,^.-a.八一一

則《+2-幺+1=不(z弓)=-------=------->°，所以4+1<4+2.

a

2k+i2akakak+iaQ+i

所以當(dāng)月=左+1時(shí)也成立，

所以4<。用<2恒成立，

所以當(dāng)4=1時(shí)，集合｛〃|?！?lt;%+i<2,〃eN*｝=N*,④正確.

故正確結(jié)論的序號(hào)是②③④.

故答案為：②③④

14.當(dāng)2"9

3131

【分析】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2,由題意求出數(shù)列的首

項(xiàng)后可得第5天織布的尺數(shù)；再令$=,"2")；50,求出〃，即可得出答案.

"-1-2一

【詳解】由題意可得該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，且數(shù)列的公比為2,前5項(xiàng)的和為5,

設(shè)首項(xiàng)為q,前”項(xiàng)和為S”，

則由題意得$5=4(1-25)=31%=5,=1，

51-231

4

.,??5=|j-x2=|y,即該女子第5天所織布的尺數(shù)為.

令S=五°一2)>50,解得：2">311,所以〃29.

“-―1^2—-

所以若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為9.

故答案為：胃；9.

15.12140

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,利用太極衍生原理由d依次表示生，的，進(jìn)而求出以生；再求出生

即可求出前9項(xiàng)和.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,依題意，對(duì)%,生成等差數(shù)列，公差4=?二?=2,

由〃3,〃4,〃5成公差為“2的等差數(shù)列，得%=。3+24=4+2(2+d)=8+2d,

由成公差為&的等差數(shù)列，得%=%+2&=8+2d+2(2+2d)=12+6d,

而%=24,即12+6d=24,解得d=2,%=12；

Z=4+3d=8,由成公差為U的等差數(shù)列，得〃9=%+2%=4。，

所以｛%,｝的前9項(xiàng)和$9=4+5愛+%+%昔+%+%愛+%+生姜+的

3333

——+2(%+q+ciq)+—cig——x0+2(4+12+24)+5x40—140.

故答案為：12；140

16.(1)%的所有可能值為7,9,15,17.

(2)①1013；②加的最小值為7.

【分析】(1)求出色=5或%=9,再分類討論即可；

(2)首先分析得當(dāng)%=2〃-1時(shí)符合題意且機(jī)=1013,再利用反證法證明即可；

(3)首先證明相=7時(shí)存在符合條件的｛%｝,再證明即可.

2

【詳解】(1)。3=2%-％=5或。3=a=9,

q

當(dāng)％=5時(shí)，因?yàn)?=25=學(xué)，符合條件；

ax

2225

貝！JQ4=2a3-Q]=9或&=2a3一4=7或%,=~~=25或4=~~,

4%3

又因?yàn)椋?｝為各項(xiàng)均為整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，則%=9或〃4=7.

當(dāng)生=9時(shí)，貝lja4=2a3-ax=17或%=2%-%=15或4=&=81或4=a=27,

4a2

當(dāng)〃4=17時(shí)，%=2x17-9=2〃4-。3,符合題意，

152a2

當(dāng)&=15時(shí)，%=25=<=」，符合題意，

9a3

當(dāng)。4=81或27,此時(shí)不滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，故舍去，

綜上，％的所有可能值為7,9,15,17.

(2)①機(jī)的最大值為1013,理由如下：

(i)當(dāng)氏=2〃-1時(shí)符合題意且機(jī)=1013.

(ii)假設(shè)｛q｝中存在偶數(shù)，且首個(gè)偶數(shù)為%(左23),

2

因?yàn)椋?｝為遞增數(shù)列，所以存在，</,使得q=2%-9或%廠良>%,進(jìn)而有

i<j<k.

所以%%為奇數(shù)，此時(shí)2%-%?均不為偶數(shù)，與處為偶數(shù)矛盾.

所以｛4｝中各項(xiàng)均為正奇數(shù)，

又因?yàn)椋?“｝為遞增數(shù)列，所以a“22〃Ll,

即2025>277z-l,m<1013.

綜上加的最大值為1013.

②機(jī)的最小值為7,理由如下：

(i)首先證明根=7時(shí)存在符合條件的｛%｝：

當(dāng)｛%｝前7項(xiàng)為$1,2,3,9,27,45,2025$時(shí)〃z=7,

且可構(gòu)造｛%｝的后續(xù)項(xiàng)使其符合題意(如可取凡=q一；("28)).

(ii)其次證明加26.

由題，當(dāng)i<J?時(shí)，>2,a;>1,

22

以~~——Q；,6/y-(2%_q)—q；-+a-=%(%—2)+q.>0,

進(jìn)而有以4a"(kN3),

所以〃3K4M4K16,〃5K256,

所以相26.

(iii)最后證明根W6.

假設(shè)存在｛為｝符合題意且4=2025,

因?yàn)榛鸸?56,所以當(dāng)i</W5時(shí)，2%-%<2a5-42x256-1<2025,

所以存在i</45,有2025=^-,從而勺=45苑245>162%，

所以J=5,所以45V多445yV180,從而生=45廠(1<r<4,且rwZ)因?yàn)?416,

所以當(dāng)sW4時(shí)，<2?4-^<2x16-1<45,

所以存在s</44,有％=，，從而q=3小5/7口為整數(shù)，

又因?yàn)?4廠44,所以%為5的倍數(shù)，與矛盾.

綜上有用的最小值為7.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是分為兩部分證明，第一部分證明m=7滿足題意，再證明加26

即可.

17.(1)不是一個(gè)滿足“絕對(duì)值|?關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，是一個(gè)滿足“絕對(duì)值1關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，

(3)1

【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值人關(guān)聯(lián)”的加階數(shù)列的定義判斷即可;

66

⑵根據(jù)“絕對(duì)值4關(guān)聯(lián)”的6階數(shù)列得到￡聞=+5,再利用同則有645,解出即可;

i=li=l

2k+l2k+lk

(3)根據(jù)數(shù)列新定義得&區(qū)4(1=1，2,,2左+1),且ZM-Zq=2左，再分離參數(shù)得行而百最后

i=li=l

分類討論即可.

7772

【詳解】（1）-；，-；，-；，1,1不是一個(gè)滿足“絕對(duì)值!■關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，

2

因?yàn)橥?同＞“

777

1」是一個(gè)滿足“絕對(duì)值1關(guān)聯(lián)”的5階數(shù)列，

mm

因?yàn)閆k|—=4-0=4,且同=同=同＜1，|。4|=同=1滿足兩個(gè)性質(zhì).

i=l/=1

（2）因?yàn)閿?shù)列｛?,.）為一個(gè)滿足“絕對(duì)值2關(guān)聯(lián)”的6階數(shù)列，

6I6I66

所以2同一區(qū)q=5，即￡聞=￡卬+5.

又同〈X,所以2MW62,同時(shí)+5>5,

所以6丸N5解得力》"

O

又?jǐn)?shù)列濘，??是一個(gè)滿足“絕對(duì)值!關(guān)聯(lián)”的6階數(shù)列,

6666666

所以％的最小值為!■.

6

（3）數(shù)列｛a,,｝為一個(gè)滿足“絕對(duì)值2關(guān)聯(lián)”的2k+1伏eN*）階數(shù)列，

2左+12后+1

所以|q區(qū)％?=1,2,..,2左+1）,且Zk|-Zq=2Z，

不妨設(shè)％，%，，。產(chǎn)o,aj+l,aj+2,-0,其中1W/V2比+1,

記Z4=x,Z同=＞，不妨設(shè)xNy（否則用-代替為即可）,

i=j+l

2k+l

工同一=(x+y)-(x-y)=2k,所以y=左，工三人.

Z=1Z=1

因?yàn)閗二yW(2k+1-j)2,kWxMjA,

kkkk

所以且"2］，即％不小于和二中的最大者，

2^+l-JJ2k+l-jj

kk

當(dāng)尸左或六左+1時(shí)，.和二中的最大者均為1,所以;121,

2左+1-/J

kk

當(dāng)/＜左或/＞后+時(shí)，＞或者V＞所以＞

1:J12左+、1-j.1,21.

綜上221,當(dāng)數(shù)列｛%｝前七項(xiàng)為正，后人+1項(xiàng)為負(fù)時(shí)取等號(hào)，

kkk

此時(shí)數(shù)列｛4“｝可為：1，1，，1，-上，--，，-￡符合題意.

k+\k+\左+1

所以2的最小值為1.

6

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是理解數(shù)列新定義得=+5,再代入計(jì)算即可.

i=l

18.(1)7,21,28.

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)“T型數(shù)”概念直接寫出答案；

(2)利用反證法分。，b均可以被3整除等七類討論即可;

xmxm一x機(jī)，、一

(3)分(一=一、_＜一和一＞一討論即可.

yryryr

【詳解】(1)7,14,21,28這四個(gè)數(shù)中的"T型數(shù)"有7,21,28.

7=12+1X2+22；21=12+1X4+42;28=22+2X4+42.

(2)因?yàn)椋鹮｝為等差數(shù)列，且%=5,%=14,

所以有4=2,(/=3.

所以a”=3〃—1.

下面用反證法證明：

假設(shè)存在M使即為“T型數(shù)”

22

貝|J有aN=a+ab+b.

①若a,6均可以被3整除，則/+必+〃一定被3整除，

與/+仍+/=3八1矛盾.

222

②若a=3k±\,b=3m,貝aN=a+ab+b=3[3左?±2左+(3k+l)m+3m]+1,

a2+ab+b2=3N—1矛盾.

③若〃=3%+1,/?=3加一1,

22

貝UaN=a+ab+b

=9左2+6左+1+(3k+1)(3根-l)+9m2-6m+l

=3(3k2+2k-^-3km+m—k+3m1—2mj+l

與4+仍+62=3八i矛盾.

④若。=3攵,6=3根±1,結(jié)論與②同.

⑤若a二3左一1,/?=3機(jī)+1,結(jié)論與③同.

⑥若a=3左+1,Z?=3機(jī)+1,

22

貝UaN=a+ab+b

=9k2+6^+1+(3左+1)(3帆+1)+9m2+6m+1

=3(3左2+2k+3km+