專題12數(shù)列（解答題）9種常見考法歸類知識五年考情（2021-2025）命題趨勢知識1等差等比數(shù)列基本量的計算及證明（5年5考）考點01等差等比數(shù)列基本量的計算2024·上海2023·新課標Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·浙江1.等差等比數(shù)列基本量的計算是必考內容，要求學生熟練掌握數(shù)列的通項公式、前n項和公式等基礎知識，能夠運用方程思想，通過已知條件建立關于首項、公差、公比等基本量的方程或方程組并求解。2.數(shù)列求和是解答題的重點，分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等求和方法頻繁考查，要求學生能夠根據(jù)數(shù)列的通項公式特征，選擇合適的求和方法。3.數(shù)列與其他知識的綜合考查愈發(fā)常見，這不僅要求學生掌握數(shù)列本身的知識，還需具備良好的知識遷移能力和綜合運用能力，能夠從整體上把握數(shù)學知識體系。考點02等差等比數(shù)列的證明2022·全國甲卷2022·上海2022·浙江2021·全國甲卷2021·全國乙卷2021·上海知識2數(shù)列求和（5年5考）考點03含絕對值的數(shù)列求和2023·全國乙卷考點04分組求和法2024·全國甲卷2023·新課標Ⅱ卷2021·新高考全國Ⅰ卷考點05裂項相消法求和2022·新高考全國Ⅰ卷考點06錯位相減法求和2025·全國一卷2025·天津2024·天津2024·全國甲卷2023·全國甲卷2021·全國乙卷2021·天津知識3數(shù)列綜合（5年5考）考點07等差、等比數(shù)列的綜合2023·天津2022·天津考點08數(shù)列與其他知識的綜合2024·新課標Ⅱ卷2023·上海2023·新課標Ⅰ卷考點09數(shù)列新定義2024·新課標Ⅰ卷2024·北京2023·北京2022·北京2021·北京考點01等差等比數(shù)列基本量的計算1．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）設等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項和．(1)若，求的通項公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．2．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2024·上海·高考真題）若．(1)過，求的解集；(2)存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．考點02等差等比數(shù)列的證明6．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．7．（2021·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.8．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．10．（2021·上海·高考真題）已知數(shù)列滿足，對任意，和中存在一項使其為另一項與的等差中項（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項為0，即，，且，，求的最大值.11．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．12．（2022·上?！じ呖颊骖}）數(shù)列對任意，且，均存在正整數(shù)，滿足.(1)求可能值；(2)命題p：若成等差數(shù)列，則，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由：(3)若成立，求數(shù)列的通項公式.考點03含絕對值的數(shù)列求和13．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．考點04分組求和法14．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.15．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．16．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.考點05裂項相消法求和17．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．考點06錯位相減法求和18．（2023·全國甲卷·高考真題）設為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．19．（2025·全國一卷·高考真題）設數(shù)列滿足，(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設，求．20．（2025·天津·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，．(1)求，的通項公式；(2)，，有，（i）求證：對任意實數(shù)，均有;（ii）求所有元素之和．21．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．22．（2024·天津·高考真題）已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項和為，且．(1)求的通項公式及；(2)設數(shù)列滿足，其中．（?。┣笞C：當時，求證：；（ⅱ）求．23．（2021·全國乙卷·高考真題）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．24．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明考點07等差、等比數(shù)列的綜合25．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)設是等比數(shù)列，且對任意的，當時，則，（Ⅰ）當時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及前項和．26．（2022·天津·高考真題）設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項公式；(2)設的前n項和為，求證：；(3)求．考點08數(shù)列與其他知識的綜合27．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.28．（2023·上?！じ呖颊骖}）令，取點過其曲線作切線交y軸于，取點過其作切線交y軸于，若則停止，以此類推，得到數(shù)列．(1)若正整數(shù)，證明；(2)若正整數(shù)，試比較與大?。?3)若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由．29．（2023·新課標Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．考點09數(shù)列新定義30．（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）設m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；(3)從中任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．31．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．32．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．33．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由