第一章《集合與常用邏輯用語》1.1集合的概念【知識梳理】知識點(diǎn)一元素與集合的概念1．元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的．4．集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性．知識點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.知識點(diǎn)三常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR知識點(diǎn)四列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．知識點(diǎn)五描述法一般地，設(shè)A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．【基礎(chǔ)自測】【答案】D故選：D.A． B． C．或 D．或【答案】B綜上所述：實(shí)數(shù)的值為1.故選：BA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B故中共有3個元素.故選:B.4．下列說法中：①集合N與集合N*是同一個集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的有________．【答案】②④【詳解】因為集合N*表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集，所以①③中的說法不正確，②④中的說法正確．【例題詳解】一、集合的概念例1(1)下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（

）A．某班視力較好的同學(xué) B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)集合的定義分析判斷即可.【詳解】對于A，視力較好不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于B，長壽也不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于C，的近似值沒有明確近似到小數(shù)點(diǎn)后面幾位，不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和1，故可以構(gòu)成集合；故選：D.(2)（多選）下列各組中的M，P表示同一集合的是（

）A．M={3，1}，P={(3，1)}B．M={(3，1)}，P={(1，3)}C．M={y|y=1}，P={t|t=1}D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}【答案】CD【分析】利用集合相等的定義判斷.【詳解】在A中，M={3，1}是數(shù)集，P={(3，1)}是點(diǎn)集，二者不是同一集合，故錯誤；在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一個點(diǎn)的集合，二者不是同一集合，故錯誤；在C中，M={y|y=1}={y|y≥1}，P={t|t=1}={t|t≥1}，二者表示同一集合，故正確；在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素為大于或等于4的所有實(shí)數(shù)，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也為大于或等于4的所有實(shí)數(shù)，故M，P表示同一集合，故正確．故選：CD跟蹤訓(xùn)練1(1)以下元素的全體能構(gòu)成集合的是（

）A．中國古代四大發(fā)明 B．接近于1的所有正整數(shù)C．未來世界的高科技產(chǎn)品 D．地球上的小河流【答案】A【分析】根據(jù)集合的知識可選出答案.【詳解】中國古代四大發(fā)明具有確定性，能構(gòu)成集合，故A滿足；接近于1的正整數(shù)不確定，不能構(gòu)成集合，故B不滿足；未來世界的高科技產(chǎn)品不確定，不能構(gòu)成集合，故C不滿足；地球上的小河流不確定，不能構(gòu)成集合，故D不滿足；故選：A(2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，則p=_______，q=_______．【答案】

4

4【分析】根據(jù)A={x|x2+px+q=0}={2}，由2是方程x2+px+q=0的等根求解.【詳解】因為A={x|x2+px+q=0}={2}，故答案為：4，4二、元素與集合例2(1)下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（

）【答案】B【詳解】不屬于自然數(shù)，故A錯誤；不屬于正整數(shù)，故B正確；是無理數(shù)，不屬于有理數(shù)集，故C錯誤；屬于實(shí)數(shù)，故D錯誤.故選:B.A． B．或 C． D．或【答案】D【點(diǎn)睛】本題考查集合的元素個數(shù)，本質(zhì)上考查變系數(shù)的二次方程的根的個數(shù)，解題要注意對首項系數(shù)為零和非零兩種情況討論，考查分類討論思想，屬于中等題.【答案】A故選：A三、集合中元素的特性A． B． C．或 D．【答案】A故選：A.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B故選：B跟蹤訓(xùn)練3(1)集合{3，x，x2–2x}中，x應(yīng)滿足的條件是（

）A．x≠–1 B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3【答案】C【分析】利用集合元素的互異性求解.【詳解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，解得x≠3且x≠–1且x≠0，故選：C．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.故選：D．四、集合的表示方法所以可以取，2，3，4.【點(diǎn)睛】考查描述法、列舉法表示集合的定義，清楚表示整數(shù)集，屬于基礎(chǔ)題.(2)用適當(dāng)?shù)男问奖硎鞠铝屑?，并指明它是有限集還是無限集．=3\*GB3③被5除余1的自然數(shù)的集合；【分析】=1\*GB3①直接解出方程即可，用列舉法；=2\*GB3②解不等式，解集為無限，用描述法表示；(3)元素有無限個，所以用描述法；=4\*GB3④代表元素為y，解集為無限集用描述法表示.跟蹤訓(xùn)練4用列舉法表示下列集合：（2）不大于10的非負(fù)奇數(shù)集；【分析】根據(jù)列舉法的定義進(jìn)行表示即可．（2）不大于10即為小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0，跟蹤訓(xùn)練5表示下列集合：(2)請用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)請用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；【分析】根據(jù)題意逐項代入分析即可求解.【課堂鞏固】1．下列各組對象中不能形成集合的是（

）A．高一數(shù)學(xué)課本中較難的題 B．高二（2）班全體學(xué)生家長C．高三年級開設(shè)的所有課程 D．高一（12）班個子高于1.7m的學(xué)生【答案】A【分析】根據(jù)集合的三要素確定性，互異性和無序性逐個判斷即可；【詳解】對A，高一數(shù)學(xué)課本中較難的題不具有確定性，不能形成集合；對BCD，各組對象均滿足確定性，互異性和無序性，能形成集合故選：A2．下列說法正確的是（

）B．與是同一個集合【答案】A【分析】根據(jù)集合的定義和性質(zhì)逐項判斷可得答案【詳解】集合中的元素具有無序性，故A正確；是不含任何元素的集合，是含有一個元素0的集合，故B錯誤；故選：A.A．1 B．1 C．2 D．2【答案】C【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計算作答.故選：C4．下列關(guān)系中，正確的是（

）【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.故選：CA．矩形B．平行四邊形C．梯形D．菱形【答案】C故選：C.6．（多選）下面說法中正確的是（

）【答案】AC【分析】根據(jù)正整數(shù)集的含義即可判斷A，B，C的正誤，根據(jù)集合中列舉法即可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A，因為是正整數(shù)集，而最小的正整數(shù)是1，故A正確；故選：AC．【答案】13【分析】由題列舉出集合B，即得.1234611234621233124161故答案為：13【答案】2【詳解】根據(jù)題意分2種情況討論：故答案為：210．給出下列說法：其中正確的是______（填序號）．【答案】①③【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合的表示方法，逐項判定，即可求解，得到答案．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法及其應(yīng)用，其中解答中熟記集合的表示方法——列舉法、描述法，以及集合表示方法的改寫是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．11．用列舉法表示下列集合：(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；(4)15的正約數(shù)組成的集合N.【答案】(1){－2，－1,0,1,2}(2)M＝{2,3}(3)B＝{(x，y)|(3,2)}(4)N＝{1,3,5,15}（2）求解出方程的根，即可表示集合；（4）找到的正約數(shù)，即可表示集合.和是方程的根，【點(diǎn)睛】本題考查集合的列舉法，區(qū)分點(diǎn)集和數(shù)集，屬于簡單題.12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列舉法表示該集合（1）所有能被3整除的自然數(shù)【答案】答案見解析．【分析】根據(jù)集合的表示法求解．【課時作業(yè)】1．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng)A＝{2}時，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}【答案】D【詳解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.計算得出p＝－3，q＝4.則(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化為(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；則x－1＝0或x－1＝4，計算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故選：.【答案】A【分析】分別對，，的符號進(jìn)行討論，計算出集合的所有元素，再進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論；故選：A.3．以某些整數(shù)為元素的集合P具有以下性質(zhì)：（1）P中元素有正數(shù)，也有負(fù)數(shù)；（2）P中元素有奇數(shù)，也有偶數(shù)；則下列選項哪個是正確的（

）A．集合P中一定有0但沒有2 B．集合P中一定有0可能有2C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既沒有0又沒有2【答案】A故選:A．A．3 B．1 C． D．【答案】C故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)集合的問題，在解題的過程中，關(guān)鍵是用好集合中元素的互異性對參數(shù)的值進(jìn)行取舍.【答案】C【分析】化簡集合A，根據(jù)集合B中元素的性質(zhì)求出集合B.故選：C6．由大于﹣3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}B．{x|﹣3＜x＜11}C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}【答案】D【詳解】試題分析：先確定集合元素的范圍是﹣3＜x＜11，同時再確定偶數(shù)的形式，利用描述法表示集合．解：因為所求的數(shù)為偶數(shù)，所以可設(shè)為x=2k，k∈z，又因為大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．即大于﹣3且小于11的偶數(shù)所組成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．故選D．點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是利用描述法表示集合．比較基礎(chǔ)．【答案】C【分析】先解方程組，然后再利用集合的表示方法判斷即可對于AB，是用描述法表示方程組的解集，所以AB正確，對于D，是用列舉法表示方程組的解集，所以D正確，故選：CA．0 B．2 C．3 D．6【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運(yùn)算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進(jìn)而可得答案解：根據(jù)題意，設(shè)A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又由集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．考點(diǎn)：元素的互異點(diǎn)評：解題時，注意結(jié)合集合元素的互異性，對所得集合的元素的分析，對其進(jìn)行取舍9．（多選）下列說法中，正確的是（

）B．中最小的元素是0C．的近似值的全體構(gòu)成一個集合D．一個集合中不可以有兩個相同的元素【答案】AD【分析】根據(jù)集合的概念及集合中元素的三個特性：確定性、無序性、互異性即可判斷四個選項的正誤.因為實(shí)數(shù)集中沒有最小的元素，所以B錯誤；因為“的近似值”不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，故C錯誤；同一集合中的元素是互不相同的，故D正確.故選：AD.【答案】ABD故選：ABD.【答案】【分析】根據(jù)集合相等的定義及集合中元素的互異性即可求解.故答案為：.12．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m＝________．【答案】3【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系，分類求得m的值，然后利用集合元素的互異性檢驗取舍.【詳解】由題意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，經(jīng)驗證，當(dāng)m＝0或m＝2時，不滿足集合中元素的互異性，當(dāng)m＝3時，滿足題意，故m＝3.答案：313．用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)構(gòu)成的集合為________．【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}點(diǎn)睛：本題考查集合的描述法的概念及其應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是圖中的陰影部分的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件為集合的元素的公共屬性.【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的描述法，屬于中檔題.16．已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為____．【答案】1【分析】首先根據(jù)題中的條件，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，結(jié)合A＝{1，2}，寫出集合B，并且找到集合B的元素個數(shù).【詳解】因為A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，故答案是1.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中所給的集合中元素的特征，將集合中的元素列出來，從而得到結(jié)果.17．已知方程ax2－3x－4＝0的解組成的集合為A.（1）若A中有兩個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若A中至多有一個元