新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題突破外接球、內(nèi)切球、棱切球問題

方法技巧總結(jié)

知識點一：正方體、長方體外接球

1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

3、補成長方體

(1)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示.

(2)若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體尸-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長。=如圖3所示.

正

(4)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示

圖1圖2圖3圖4

知識點二：正四面體外接球

如圖，設(shè)正四面體ABCD的的棱長為。，將其放入正方體中，則正方體的棱長為變“，顯然正四面體

2

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為R=走=逅。，即正四面體外接球半徑為R=

2244

知識點三：對棱相等的三棱錐外接球

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可

以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題.

爐+c?=nV

如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,6,c,貝1/+°2=〃2,三式相加可得/+62+,2=

<?+/=f

而顯然四面體和長方體有相同的外接球,設(shè)外接球半徑為R,貝|。2+加+d=47?2,所以

2

Im2+n2+t2

~v8■

知識點四：直棱柱外接球

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形)

第一步：確定球心。的位置，。|是AABC的外心，則OQ_L平面ABC；

=7

第二步：算出小圓。［的半徑AR=r,OOt=-^AAl~f(441=/z也是圓柱的高)；

22222222

第三步：勾股定理：OA=O.A+OXOR=(1)+r7?=^r+(1),解出尺

知識點五：直棱錐外接球

如圖，R4_L平面ABC,求外接球半徑.

解題步驟：

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必

過球心O；

第二步：。1為AABC的外心，所以平面ABC,算出小圓。j的半徑:?(三角形的外接圓直

徑算法：利用正弦定理，得，一=―竺=，=2r),OO,=-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2X)2=私2+(2廳o2R=JPA2+(2療；

@R2=r2+OO；oR=M+OO；.

知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型

戶I力2

1、正棱錐外接球半徑：R

C

2、側(cè)棱相等模型：

如圖，尸的射影是AABC的外心

Q三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱相等

o三棱錐尸-ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點尸點也是圓錐的頂點.

第一步：確定球心。的位置，取AABC的外心Q,則尸,O,Q三點共線；

第二步：先算出小圓。?的半徑AQ=r,再算出棱錐的高尸(也是圓錐的高)；

第三步：勾股定理：OA2=A2+QO2=>/?2=(h-7?)2+r2,解出+h.

2h

知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型

方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形.

知識點八：共斜邊拼接模型

如圖，在四面體ABCD中，AB±AD,CBLCD,此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形

拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之.設(shè)點。為公共斜邊BD的中點，根據(jù)直

角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，OA=OC=OB=OD,即點。到A,B,C,。四點的距

離相等，故點。就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊班就是外接球的一條直徑.

A

C

知識點九：垂面模型

如圖1所示為四面體尸-/1BC,已知平面％B_L平面ABC,其外接球問題的步驟如下：

(1)找出和△MC的外接圓圓心，分別記為。?和Q.

(2)分別過。和Q作平面R鉆和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過Q作他的垂線，垂足記為。，連接。?。，則a￡>_LAB.

(4)在四棱錐A-OOQ.中，AD垂直于平面DQOO?,如圖2所示，底面四邊形OqOO?的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

圖1圖2

知識點十：最值模型

這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等

知識點十一：二面角模型

如圖1所示為四面體尸-,已知二面角尸-AB-C大小為a,其外接球問題的步驟如下：

(1)找出"45和"BC的外接圓圓心，分別記為。1和。2?

(2)分別過。和劣作平面RLB和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過a作AB的垂線，垂足記為。，連接.￡>,則a￡>_LAB.

(4)在四棱錐A-OQOa中，AD垂直于平面。GOO?，如圖2所示，底面四邊形0aOO2的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

AA

知識點十二：坐標(biāo)法

對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為O(x,y,z),利用球心到各頂點的

距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長.坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的

定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度.

知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型

1、球內(nèi)接圓錐

如圖1,設(shè)圓錐的高為"，底面圓半徑為廠，球的半徑為R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程

來計算R.如圖2,當(dāng)PC>CB時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖3,當(dāng)PC<CB時，球心在圓錐外部.和本專

題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷.

廿-I-/

由圖2、圖3可知，OC=h-R^R-h,故(〃-⑷？+產(chǎn)=K,所以尺=------.

2h

如圖，圓柱的底面圓半徑為r,高為〃，其外接球的半徑為R,三者之間滿足§)+/=尺2.

3、球內(nèi)接圓臺

，其中小公〃分別為圓臺的上底面、下底面、高.

知識點十四：錐體內(nèi)切球

方法：等體積法，即R=』返

S表面積

知識點十五：棱切球

方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形

題型一：外接球之正方體、長方體模型

【典例1-1】已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為打，則球的表面積為一.

【答案】9萬

【解析】該球為正方體外接球，其半徑R與正方體棱長。之間的關(guān)系為2氏=60,

3

由°=若，可得△=5，所以球的表面積S=4萬代=9%.

答案：9萬

【變式1-1］長方體ABCD-44G。的外接球的表面積為25%,AB=m，AD=&>,則長方體

ABCD-\BXCXD,的體積為.

【答案】1272

【解析】因為長方體ABCD-AgGR的外接球的表面積為25%，

設(shè)球的半徑為R,由題意4%7?2=25%，口=3,2R=5,

22

長方體ABC。-ABC。的外接球的一條直徑為AG=ylAB+AD+A^=5.

因為=AD=>f6>所以J3+6+猛=5,9=4,

則長方體ABC。-A4GR的體積為ABxADx凡=120.

故答案為：12&

題型二：外接球之正四面體模型

【典例2-1】已知圓錐底面圓的直徑為3,圓錐的高為密，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長為。的正四面體的外

2

接球，則此正四面體的棱長，為（）

A.11/2B.—A/2C.3D.—^>/3—5/2j

【答案】A

【解析】由題意可知，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球心為尸，球的半徑為「，圓錐的底面半徑為R,

軸截面上球與圓錐母線的切點為Q,圓錐的軸截面如圖所示，

s

由已知可得AB=S4=SB=3,所以△SAB為等邊三角形，故點尸是ASAB的中心,

連接8P,貝118P平分NS54,所以NPBO=30°,故tan30°=',

R

解得一坐R=gx棄坐，故正四面體的外接球的半徑一心.

33222

又正四面體可以從正方體中截得，如圖所示，

從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長為。時，截得它的正方體的棱長為變a,而正四面體的四個頂點都在

2

正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

所以2r=^=^^~a=6,解得a=

故選：A

【變式2-1】已知正四面體S-ABC的外接球表面積為6兀，則正四面體S-ABC的棱長為（）

A.1B.aC.73D.2

【答案】D

【解析】［正四面體S-A5C的外接球表面積為6兀，

47t/?2=6n,解得R=（負(fù)值舍去），

2

設(shè)四面體的棱長為。，取3C的中點E,連接AE,

設(shè)頂點S在底面ABC的射影為。，則O是底面VABC的重心，連接SD,則外接球的球心在SD上，設(shè)為0,

連接40,

則45=立〃，AD=-AE=-a,

233

mOD=SD-SO=^-a-^-,

在直角△AOD中，AO2=AD2+OD2,即

即?胃2若，得/-2°=0,得”=。（舍）或"2.

故選：D

題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型

【典例3-1】已知四面體ABC。中，AB=CD=2-45,AC=BD=回,AD=BC=a，則四面體ABC。

外接球的體積為（）

A.4571B.”叵C.竺叵D.24A/5TI

22

【答案】C

【解析】設(shè)四面體ABCD的外接球的半徑為R,

則四面體ABC。在一個長寬高為a,b,c的長方體中，如圖，

D

a2+Z72=20,_________

則戶+,2=29,故玄="2+方+）=巫,

22

a+c=41,22

故四面體ABCD外接球的體積為V=3兀斤=士兀*竺匡=竺典，

3382

故選：C

【變式3-1】在三棱錐S-ABC中，SA=BC=5,SB=AC=441，SC=AB=后,則該三棱錐的外接球

表面積是（）

A.5071B.1007rC.150TID.200K

【答案】A

【解析】因為&4=8C=5,SB=AC=聞,SC=A8=取，

所以可以將三棱錐S-ABC如圖放置于一個長方體中，如圖所示：

設(shè)長方體的長、寬、高分別為。、6、c,

a2+b2=41

貝|J有/+。2=25,整理得/+。2+。2=50,

Z?2+c2=34

則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑,

=50=（2勒=7?=乎

所以有a2+b2+c2

所以所求的球體表面積為：S=47i7?2=4x7tx=50兀.

故選：A.

題型四：外接球之直棱柱模型

【典例4-1】已知直三棱柱ABC-ABIG的6個頂點都在球。的球面上，若

AB=3,AC=l,ZBAC=60°,A4,=2,則該三棱柱的外接球的體積為（）

.40n40同兀?3205/3071口

2727

【答案】B

【解析】設(shè)^4耳￡的外心為0］,VABC的外心為。2,連接。。2,02氏。3,如圖所示,

由題意可得該三棱柱的外接球的球心。為。02的中點.

在VABC中，由余弦定理可得8C?=AB2+AC2—2ABXACCOSZBAC

=3?+/一2x3xlxcos60°=7,則8c=",

由正弦定理可得VABC外接圓的直徑2廠=—竺=攣，貝

sin60°V3V3

而球心O到截面ABC的距離d=OO2=AAl=l,

設(shè)直三棱柱ABC-AB￡的外接球半徑為R,

由球的截面性質(zhì)可得尺2=屋+/=y+1得］=y,故R=

所以該三棱柱的外接球的體積為v=g兀爐=g兀x［等］="雪，

故選：B.

【變式4?1】已知直三棱柱A3C-A4G的6個頂點都在球。的表面上，若A5=AC=1,AA=4,

2兀

ZBAC=-f則球。的表面積為（）

A.16KB.20TIC.28KD.32兀

【答案】B

2冗

【解析】如圖所示，在VA2C中，AB=AC=1,MZBAC=y,

27ri—

由余弦定理得=A52+AC2—2AB?ACCOSN3AC=1+1—2X1X1COS——=近，

3

設(shè)底面VABC的外接圓的半徑為小由正弦定理得2r=.B二2,即QA=I

sinABAC

再設(shè)直三棱柱ABC-A4G外接球的球心為0,外接球的半徑為R,

在直角△OQA中，可得R=也4+00；=4+（空）2=正+2。=布,

所以球。的表面積為5=4就2=43（6）2=20兀.

故選：B.

題型五：外接球之直棱錐模型

【典例5-1】《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉瑞”，已知“鱉STP-ABC中,

TT

PA_L平面ABC,PA=AB,ZABC=-,AB+BC=6,貝?。荨镑M膈”尸―ABC外接球體積的最小值為一.

【答案】8A/6TT

【解析】根據(jù)題意三棱錐P-ABC可以補成分別以2C,AB,以為長、寬、高的長方體，如圖所示,

P

其中PC為長方體的對角線，則三棱錐P-ABC的外接球球心即為PC的中點，

要使三棱錐尸-ABC的外接球的體積最小，則尸C最小.

設(shè)AB=x,則*x,BC=6-x,|PC|=+十叱=彌%-2.+24，

所以當(dāng)x=2時，|PCLn=26，則有三棱錐尸-ABC的外接球的球半徑最小為后，

所以Knin=-^=8底%.

故答案為：8瓜.

【變式5-1】在三棱錐尸一MC中，AB=BC=10,ZABC=120°,。為AC的中點，BD_L平面ABC,且

PD=15,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為—.

【答案】500K

【解析】在VABC中，AB=BC=10,ZABC=120°,

由余弦定理得AC-=AB?+BC?-2AB-BC-cosZABC=300,

所以AC=10g,設(shè)VABC的外接圓。?的半徑為「，

則由正弦定理得2r=-^―=10^,解得r=10

sin/ABCsin120°

結(jié)合圖形分析：

因為。為AC的中點，尸口，平面ABC,且尸￡>=15,

在RtAABD中，AD=^AC=5y/3,BD=JAB。-AD。=5，

又QB=r=10,則圓心。|到。點的距離為0,0=5.

另設(shè)三棱錐P-ABC的外接球球心。到平面ABC的距離為OO、=d,設(shè)外接球的半徑為R,

則Rt^OQB中，OXB~+OO^=OB-,即10?+屋=公，

22

直角梯形。1。尸。中，<9]￡>+(PD-OOX)=OP-,即5?+(15—d)z=爐，

解得d=5,R2=125,所以S=4jtR2=500兀.

故答案為：500it.

題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型

【典例6-1】已知正三棱臺ABC-A與G的上、下底面邊長分別為6，2白，且側(cè)棱與底面所成角的正切

值為3,則該正三棱臺的外接球表面積為()

A.97rB.10A/2TIC.兀D.20兀

【答案】D

【解析】分別取VABC、△AB]G的中心瓦產(chǎn)，連結(jié)跖，過A作人“，4尸，

B、

40

因為=由正弦定理得2AE=」展，得AE=1,同理可得A尸=2,所以4^=1，

因為正三棱臺ABC-AB|G，所以EF_L平面A^G，EFWAM,

所以AM,平面ABCi，所以的M為側(cè)棱AA與底面所成的角，

所以AM=AM-tanNAA]M=3,所以砂=471/=3,

設(shè)正三棱臺的外接球球心。，因為E為上底面截面圓的圓心，產(chǎn)為下底面截面圓的圓心，

所以由正三棱臺的性質(zhì)可知，其外接球的球心。在直線所上，

2221

設(shè)外接球。的半徑為R，所以。4=OA=R,OA=AE+OE,=AlF+OF~,

即R2=F+OE2,I=2。+0片,

當(dāng)。在EF的延長線上時，可得,尺2一12一收一32=3,無解；

當(dāng)。在線段Ef上時，軸截面中由幾何知識可得病方+^/^==3,解得R=君，

所以正三棱臺ABC-的外接球表面積為5=4兀4=20TT.

故選：D

【變式6-1】在正三棱錐A—BCD中，BC=CD=DB=2,AB=AC=AD=^3,則三棱錐A—BCD的外接

球表面積為（）

.27?！赴栓D27兀-27Tl

A.B.9兀C.D.

254

【答案】C

【解析】方法一：如圖，取正三角形88的中心為尸，連接4尸，尸C,

則三棱錐A-BCD的外接球球心。在AP上，連接OC.

在正三角形88中，BC=2,所以pc=2xBCsin二=冬叵.

33

在Rt/XAPc中，AC=6，^VXAP=VAC2-PC2=

設(shè)外接球的半徑為R，

222g9

由0<?2=042,OP+PC=衣,解得人乖,

所以三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4標(biāo)=T

故選:C.

方法二：在正三棱錐A-38中，過點A作底面BCD于點尸,

則尸為底面正三角形88的中心,

因為正三角形88的邊長為2,所以*|xBCs『W

因為AB=6，所以AF=jAB2一BF?=姮

3

如圖，以尸為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)三棱錐A-BCD的外接球球心為0(0,0㈤，半徑為R.

4心g］，解得〃=京，

由002=042,得］+川二

3

所以R2=g+〃2=*,

77TT

則三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4成2=詈

故選：C.

題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型

【典例7-1】在三棱錐S-ABC中，S4=SB=ai=CB=AB=2,二面角S-AB-C的大小為60。，則三棱

錐S-ABC的外接球的表面積為.

?田上、52,52%

【答案】丁》/于

【解析】取的中點。，連接SRCD,因為&4=SB=C4=CB=AB=2,

所以△&4B和4ABe都是等邊三角形，所以SD，AB,CD，A5,

所以NSDC是二面角S—AB—C的平面角，即NSDC=60。，

設(shè)球心為0,△SAB和ABC的中心分別為EE,則OE_L平面ABC,平面&4B,

因為DE=DF=<6乂2=旦,。。公共邊，所以O(shè)DEmAODF,

323

所以NODE=ZODF=30°,

DET2

因為cosNODE=——，所以O(shè)￡>=；；11

cosNODE百3

T

所以。A=V<9￡>2+AD2=

所以三棱錐S-ABC的外接球的表面積為4兀OT=:兀

故答案為：W兀

【變式7-1】三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2^[3,AB=2AC=6,ABAC=^,則該三棱錐外接球的

表面積為.

【答案】48n

【解析】因為AB=2AC=6,ZBAC=^,所以由余弦定理可得cos/R4C=宏空旦=工，解得

32x3x62

8c=36，所以8。2+3=.2,

所以ASC是以為斜邊的直角三角形，

因為尸A=尸3=PC=2A/3,

所以點P在平面A3C內(nèi)的射影是715c的外心,

即斜邊A3的中點，且平面PAB_L平面A3C,

于是R4B的外心即為三棱錐ABC的外接球的球心，

因此的外接圓半徑等于三棱錐尸-ABC的外接球半徑.

因為PA=P8=26,AB=6,

尸片+尸匕信12+12-36

所以cos/APB=

2PA?PB-2x12~2

于是sin/APB=巡

2

AB6rr

2R=________——4J3

根據(jù)正弦定理知一E4B的外接圓半徑R滿足一sinNAPB也

T

所以三棱錐P-ABC的外接球半徑為R=2』,

因此三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4位2=48%.

故答案為：48兀

題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型

【典例8-1】（2022年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3班和

其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTIB.128兀C.144兀D.19271

【答案】A

【解析】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑大"所以24='1-,24=江-,即4=3,弓=4,設(shè)球

sin60sin60

心到上下底面的距離分別為4,4,球的半徑為R,所以4=JR2-9,人=質(zhì)-16,故|4-4|=1或

4+4=1,即仲2一9一收一16,1或7F萬+VFN=1，解得K=25符合題意，所以球的表面積為

s=4欣2=100兀.

故選：A.

)

【變式8-1】已知某圓臺的上底面圓心為口,半徑為「，下底面圓心為?！卑霃綖?廠，高為〃，若該圓臺

h

的外接球球心為。，且00=2002，則不=()

A.y/3B.3C.72D.2

【答案】B

【解析】由圓臺的上底面圓心為。一半徑為r,下底面圓心為。2,半徑為2r,高為無，

2/?，。。2=g,

如圖所示，因為o°=2OQ,所以oq=§

所以產(chǎn)+(引2=(24+廓，解得3產(chǎn)=:,所以”3.

r

故選：B.

/TT%

/iP,■]

題型九：外接球之垂面模型

【典例9-1】如圖，在三棱錐P—ABC中，ZACB=60°,2AC=BC=PB=PC,平面「5c，平面ABC,

。是3c的中點，9=4后，則三棱錐尸-A8的外接球的表面積為()

B.40TI

D.80K

【答案】C

【解析】依題意，..PCS為等邊三角形，且高產(chǎn)。=46，則PC=CB=PB=8,

而AC=CD=4,又ZACB=60。，貝UACD為等邊三角形，

平面P3C_L平面ABC,PDA.BC,平面ABC一平面PBC=BC,PDu平面P3C,于是PD_L平面ABC,

令,ACD的外心為G,三棱錐尸-ACD外接球的球心為。，則OGL平面ACD,

又三棱錐P-ACD的外接球球心。在線段PD的中垂面上，此平面平行于平面ACD,

因此0G=1尸。=2退，等邊，ACD外接圓半徑r=2x4sin60=迪，

233

三棱錐P-ACD的外接球R,則A?=OG?+/=12+（苧了=弓，

所以三棱錐P-ACD的外接球的表面積S=4兀&=竽，

故選：C

【變式9-1］如圖，在梯形ABCD中，AB〃CZ）,AS=4,8C=CD=D4=2,將.ACD沿對角線AC折起,

使得點。翻折到點尸，若面PACL面A3C,則三棱錐尸-ABC的外接球表面積為（）

D.32兀

【答案】B

【解析】如圖,

設(shè)M為AC的中點，。2為A3的中點，。］為AAPC的外心，。為三棱錐尸-ABC的外接球球心,

則0Q1面ABC,00,1.面APC.

由題意得/ACB=90,，。2為VABC的外心，

在△轉(zhuǎn)（7中，XAPC=120,AP=PC=2,AC=2y/3,

所以。"=1,

又四邊形。。為矩形，

OO2=O,M=I,設(shè)外接球半徑為R,

222

則R=O2B+O2O=5,外接球表面積4兀R2=20乃,

故選：B.

題型十：外接球之二面角模型

【典例10-1］如圖，在三棱錐尸-ABC中，PA=PB=^5,CA1AB,AB=AC=2,二面角尸—AB—C

的大小為120。，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為

49,494

【答案】——71/-------

33

【解析】取和A3的中點分別為。1，D,過點P作PEL面ABC于點E,

連結(jié)尸。，。。/DE,ABu平面ABC,故PE_LAB,

又PA=PB,則尸。_LAB,又PDcPE=P,PD,PEu平面PDE,

故AB_L平面尸DE,DEu平面PDE,故AB_LQE

則4DE為二面角P-M-C的補角，ZPDE=60,

因為PA=P8=?,AB=AC=2,則尸D=2,且PE=6,OE=1,

易知。Oi=l,DOX±AB,BC=20=2AO]

因為VABC為等腰直角三角形，所以。i是VABC的外心.

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球的球心為0,則。面ABC,易知PE//OQ,

作0QLPE,易知OQEQ為矩形，。。=￡。=1+1=2,

設(shè)OQ=h,0A=R,則在％AO0中，R2=h2+2,

22

且Rr^PQ。中，7?=(^-/1)+4,解得改=五，

4Q

所以外接球表面積為s=4%我=；兀.

【變式10-1]在邊長為1的菱形ABCD中/胡。=60。，將AABD沿3。折起，使二面角A-5D-C的平面

角等于120。，連接AC,得到三棱錐A-3CD,則此三棱錐A-BCD外接球的表面積為.

747

【答案】

【解析】取80的中點E,連接AE,CE,

因為ABCZ)為菱形，所以NAEC即為二面角A-BD-C的平面角，

因為/54。=60。，所以△曲)和△C3O均為正三角形，

取AE靠近E的三等分點G,取CE靠近E的三等分點產(chǎn)，

過點下作平面88,過點G作。G,平面AB￡>,OF,OG交于點0,

則。為三棱錐A-BCD外接球的球心，連接。旦。8,

由對稱性知AOGEMAOEE,則斯=@,BE=~,

62

120°

因為NOEF=——=60°,

2

所以O(shè)E=_J=0

cos6003

所以外接球的半徑OB=y/BE2+OE2=

77兀

所以外接球的表面積為47rx

題型十一：外接球之坐標(biāo)法模型

【典例11-1］如圖，在三棱錐A-3CD中，AD，AB,A3=AO=2,AC。為等邊三角形，三棱錐A—BCD

7

的體積為:，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為.

【答案】4M5-2a)

【解析】

過C作C"_L面板）于H,

ii1o

則三棱錐4-3CD的體積為丫=§S謝?6=3'5乂2'2-。//=4，所以C〃=l,

取A。中點M,連接CM,MH,

因為ACD為等邊三角形，所以相

又0;/_1面至。，ADu面AB。，所以AD_LCH,

又CMcCH=C,所以4。_1面。加”，

MHu面CMH,所以AD_LAffi\

在RtCMH中，CM=#,CH=1,所以MH=垃,

以AS,A。為蒼丫軸，垂直于42,A。方向為z軸，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，

A（0,0,0）,B（2,0,0）,D（0,2,0）,C（A/2,1,1）,

設(shè)球心。，。在面的投影為N,

由|OA|=|OB|=|OD|得|A^|=|A?|=|ND|,

所以N為RtA4BD的外接圓圓心，所以N為RtAABD斜邊的中點，故設(shè)0（1,11）,

由|OA|=|0C|得12+仔+,=（后解得,=]—近，

所以爐=|。4「=F+I2+0-0）2=5一2拒，

故外接球的表面積為4兀爐=4兀（5-2夜），

故答案為：47t（5-20）

【變式11-1]如圖①，在RtABC中，C=|,AC=BC=2,D,E分別為AC,A3的中點，將VADE

沿DE折起到△ADE的位置，使如圖②.若尸是4B的中點，則四面體的外接球體積是

D.落

【答案】B

【解析】依題意CD，DE,A}DLDE,A。DC=D,ARDCu平面4DC,所以DEI平面A^C,

又AD_LC。，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則0（0,0,0）、C（l,0,0）、E（0,l,0）、3（1,2,0）、A（。，。」）、

,依題意△DCE為直角三角形，所以△DCE的外接圓的圓心在CE的中點設(shè)外接球

的球心為半徑為R,貝“DM|=|MF|=R,即

R=+M2機;，解得m=o,所以R=乎，所以外接球的體積

V=&兀R3=昱兀；

33

故選：B

題型十二：與球有關(guān)的最值問題

【典例12-1］如圖，已知直三棱柱ABC-A與G的底面是等腰直角三角形，M=2,AC=3C=1,點。

在上底面AAC（包括邊界）上運動，則三棱錐O-A5C外接球表面積的最大值為（）

Q

243兀

D.2#}t

64

【答案】B

【解析】因為VABC為等腰直角三角形，AC=BC=1,

所以VABC的外接圓的圓心為AB的中點。1，且AO】=*,

設(shè)A片的中點為E，連接。田，則。田/源4,則QE，平面ABC,

設(shè)三棱錐。-ABC外接球的球心為0,由球的性質(zhì)可得。在QE上,

（0

設(shè)0Q=x,DE=t0<t<—,外接球的半徑為R,

即產(chǎn)=4無二，Xo<r<—,則

228

因為尿=尤2+2，所以日介。

2642

3

所以三棱錐D-ABC外接球表面積的最大值為471x5=6%.

【典例12-21（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若

該球的體積為36萬，且3V/V3相，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.D.[18,27]

B.c.T'T

【答案】C

【解析】???球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

［方法一］：導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a,高為力，

則尸=2a2+/J2,3~=2a~+,

所以6〃=廣，2。2c

ii?/4/21r/6

所以正四棱錐的體積V=wS/i=wx4a2x/i=wX儼一）x"八一記

3333669136

所以丫，=,4/3一4

916

當(dāng)3W/V2后時，r>0,當(dāng)2指</W3百時，r<0,

所以當(dāng)/=2"時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為三,

2781

又/=3時，V=—,I=3G時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為27:，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是彳三

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以丫=：//2=寅6/2-/”=；（12-2切"松（12-2?+"+'=當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)〃=4取到），

當(dāng)力4時,得。專，貝心普獸》弓

當(dāng)/=3后l時，球心在正四棱錐高線上，此時/e3+3、9，

與a*na筆,正四棱錐體積乂=；"％=?卓）2=,故該正四棱錐體積的取值范圍是

L4，3」,

【變式12-1】已知A,B,C,。是體積為3手兀的球體表面上四點，若AB=4,AC=2,BC=243,

且三棱錐A—80的體積為2vL則線段C￡）長度的最大值為（）

A.2石B.372C.V13D.2石

思路詳解：因為球的體積為生叵兀，故球的半徑R滿足"好兀="爐，故R=5

333

而AB=4,AC=2,BC=2>/3,AB2=AC2+BC2,ZACB=1,

故SACB=g/26x2=2石，

設(shè)點。到平面ABC的距離為人，貝U；x/zx2石=2道，故/?=3,

點。在球的截面圓上，設(shè)截面圓所在的平面為明因為/z>R,所以平面a與平面ABC在球心的異側(cè)，

設(shè)球心到平面ABC的距離為d,而AACB外接圓的半徑為：AB=2,則］=戶7=1,

故球心到平面a的距離為3-1=2,故截面圓的半徑為75^4=1,

設(shè)點。在平面ABC上的投影為E,則E的軌跡為圓，圓心為△ABC的外心即AB的中點，

當(dāng)CE最長時CD最長，此時CE=2+1=3,故C￡）長度的最大值為7EFT萬=34.

故選:B.

【變式12-2］（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的

四個頂點均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.-B.1C.且D.克

3232

【答案】C

【解析】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABC。，四邊形ABC。所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對角線夾角為a,

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時等號成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點O到底面48CO所在小圓距離一定時，底