專題05不等式與不等式組

一、【知識回顧】

【思維導圖】

【知識清單】

【不等式及其解集】

①不等式：用不等號（包括：>、》、w、〈、#）表示大小關(guān)系的式子。

②不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫不等式的解。

③不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

【不等式的性質(zhì)】

性質(zhì)1:如果a>b,b>c,那么a>c（不等式的傳遞性）.

1

性質(zhì)2:不等式的兩邊同加（減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。如果a>b,那么a+c〉b+c（不等

式的可加性）.

性質(zhì)3:不等式的兩邊同乘（除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。不等式的兩邊同乘（除以）同一個

負數(shù)，不等號的方向改變。

【一元一次不等式】

①一元一次不等式：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式。

②不等式的解法：

步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為一；

注意：去分母與系數(shù)化為一要特別小心，因為要在不等式兩端同時乘或除以某一個數(shù)，要考慮不等號

的方向是否發(fā)生改變的問題。

【一元一次不等式組】

①一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元

一次不等式組。

②不等式組的解集：幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的不等式組的解集。解不等式組

就是求它的解集。

③解不等式組：先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示

不等式的解集。

不等式組的解集的確定方法（a>b）：

不等式組在數(shù)軸上表示的解集解集口訣

rx>a

1x>b________1.x>a同大取大；

ba

j

x<b同小取??；

Lx<bI4

------------------b-^

rx<a

H——g,

lx>bb<x<a大小，小大夾中間；

ba

-

Jx>a,無解大大，小小則無解n

1x<bba

二、【考點類型】

考點1：一元一次不等式（組）定義

典例1：（22-23八年級下?山東棗莊?階段練習）已知關(guān)于尤的不等式（爪-l）x|m|>。是一元一次不等

式，那么根的值是

【變式1]（22-23八年級下?全國?假期作業(yè)）給出下列不等式：①|(zhì)x+l>x—/；②廠1>3；③x+夕2；

④讓0；⑤3無一y<5,其中屬于一元一次不等式的是：（只填序號）

【變式2]（22-23七年級下?甘肅慶陽?階段練習）下列不等式組：①②t

2

③{④『J：；。⑤佗:：工-其中是一元一次不等式組的有個?

（%+2>0［->—/lxz+2>4

【變式3］（20-21七年級下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習）已知（k-2）久因T+2<k-4是關(guān)于x的一元一次

不等式，則該不等式的解集為—.

考點2：一元一次不等式（組）的解與解集

典例2；⑵-24八年級下?全國?課后作業(yè)）若（爪+2023）久<m+2023的解集為久>1,則m的取值

范圍是.

【變式11（2024?江蘇宿遷?模擬預測）不等式2x-5<2的最大整數(shù)解是.

2%—4〉3（%—2）

”,、”7的解集為

{4X>——

2（%—2）<%—3①

【變式31（2024七年級下?全國?專題練習）解不等式組［x_二0②解不等式①,得:

解不等式②，得,所以不等式組的解集是.

考點3：一元一次不等式（組）解集的表示

典例3：（2024?湖南婁底?一模）不等式組”?丁的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

______L-1<o

1F11*,>，I，-L—■_

A.-2-101234g-2-101234Q-2-101234

?1?—1?—?—I—>

D.-2-101234

【變式1］（2023?河南新鄉(xiāng)?二模）在平面直角坐標系中，點M（%—4,2%+1）在第二象限，貝卜的取值

范圍表示在數(shù)軸上，正確的是（）

—?—」11?1—1?

A.-2-101234B.-3-2-101234

----11<T~i-??11~?——???<L-i—?—1—?—1—?

C.-2-101234

【變式2］（2023?河南新鄉(xiāng)?二模）不等式組1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

1%+1<2%+4

_!------11I------1?14）1A

A.-5-4-3-2-1O123

B.-4-3-2-1O123

C.-4-3-2-1O123

------1--------1-------1-------1------?------1------(I----->-

D.-4-3-2-1O123

3

【變式3】⑵-22八年級下?貴州六盤水?期末）不等式組I”；；：：）2的解集在數(shù)軸上可以表示為

_?J???1]?1

A.-4-3-2-101234B-4-3-2-101234

C.-4-3-2-101234D.-4-3-2-101234

考點4：不等式的性質(zhì)

典例4：（23-24八年級上.湖南永州?階段練習）下列判斷不正確的是（）

A.若a〉b,則一4a<—4bB.若2a>3a,貝!Ja<0

C.若則ac?>D.若。。2>兒2,則a>匕

【變式1].（23-24七年級上.廣東深圳?期中）〃、仄c大小關(guān)系如圖，下列各式①b+a+（-c）>0；

②（—a）—b+c>0；③高+?+?=1；④be-a>0;⑤|a-h|~|c+b|+|a—c\=—2b.其中正

確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式21（21-22九年級下?安徽宣城?自主招生）已知實數(shù)mb滿足a-b+；c=0,4a+2b+c>0,

4

則下列判斷正確的是（）

A.b>0,b2—ac<0B.b<0,b2—ac>0

C.b>0,b2—ac>0D.b<0,b2—ac<0

【變式3].（20-21六年級下.上海虹口?期中）下列說法中錯誤的是（）

A.若a+3>b+3,則a>bB.若a>b,則；>一一

m2+lm2+l

C.關(guān)于久的方程ax+6=0的解是x=—2D.方程3x+4y=20只有一組正整數(shù)解

a

考點5：解一元一次不等式組

（3x+6>5（%—2）

典例4：（2024.山東濟南.模擬預測）解不等式組：1x-22x-i，并寫出最小整數(shù)解.

I1一亍三丁

2（X+3）>X+3

%x+2,并把解集表示在數(shù)

{2'5

軸上，并寫出其整數(shù)解.

4

【變式2］（22-23八年級下?河南鄭州?階段練習）若一元一次方程的解在一元一次不等式（組）解集

范圍內(nèi)，我們則稱該一元一次方程為該不等式組的“子方程”，這個解在數(shù)軸上對應(yīng)的點稱為該不等式

的子點.

（1）方程①|(zhì)x+1=0；②x-（3K+1）=-5;③3%-1=0是不等式”一等<1的子方程有一（填

序號）.

（2）如圖，M、N都是關(guān)于x的不等式組｛:1個］：的子點，求小的取值范圍

-4-3-2-101234

（3）不等式4x-m<0的所有子方程的解中有且只有2個正整數(shù)，求小的取值范圍.

【變式3］（23-24七年級下.重慶榮昌?階段練習）解下列不等式或不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示

出來.

[2%+7>5(%—1)

⑴[33

I2

(6]—5>3(%+1)

⑵}Uv四一1

I2-3

考點6：一元一次不等式（組）的應(yīng)用

典例6：（23-24九年級下?廣西南寧?階段練習）為提升學生身體素質(zhì)，落實教育部門“在校學生每天

鍛煉時間不少于1小時”的文件精神.某校利用課后服務(wù)時間，在九年級開展“體育賦能，助力成長”

班級籃球賽，共13個班級參加.

5

（1）比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積3分，負一場積1分.某班級在12場比賽中獲

得總積分為32分，問該班級勝負場數(shù)分別是多少？

（2）投籃得分規(guī)則：在3分線外投籃，投中一球可得3分，在3分線內(nèi)（含3分線）投籃，投中一球

可得2分，某班級在其中一場比賽中，共投中22個球（只有2分球和3分球），所得總分不少于50

分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個3分球？

【變式1］（22-23八年級下?河南鄭州?階段練習）疫情期間，政府積極組織各商家開通便民服務(wù)，甲

乙兩商場以同樣的價格出售同樣的商品，在甲商場累計購物超過200元后，超出200元的部分按85%

收費，在乙商場累計購物超過100元后，超出100元部分按照90%收費.

（1）若小明媽媽準備用420元去采購物資，你建議小明媽媽去一商場花費少（直接寫出“甲”或“乙”）；

（2）設(shè)某顧客累計了購物花費尤（x>200）元，若在甲商場購物，則實際花費一元，若在乙商場購物，

則實際花費_元.（均用含x的式子表示）；

（3）某顧客計劃采購一件商品，經(jīng)過測算選擇在乙商場更優(yōu)惠，求該顧客購買該商品的標價范圍.

【變式2］（2023?廣西梧州?三模）紅太陽商場經(jīng)銷甲、乙兩種商品，甲商品每件進價15元，售價20元,

乙商品每件進價35元，售價45元.

（1）若該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件恰好用去2700元，求能購進甲、乙兩種商品各多少件？

⑵該商場為甲乙兩種商品共100件的總利潤（利潤=售價-進價）不小于750元，且不超過760元，

請你幫助該商場設(shè)計相應(yīng)的進貨方案.

（3）在“十?一”黃金周期間，該商場對甲乙兩種商品進行如下優(yōu)惠促銷活動：

打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施

6

不超過300元不優(yōu)惠

超過300元且不超過400元售價打九折

超過400元售價打八折

按上述優(yōu)惠條件，若小王第一次只購買甲種商品一次性付款200元，第二天只購買乙種商品打折后一

次性付款324元，那么這兩天他在該商場購買甲乙兩種商品一共多少件？（通過計算求出所有符合要

求的結(jié)果）

【變式3]（22-23七年級下?浙江溫州?期中）探究獎項設(shè)置和獎品采購的方案.

素材1：如圖，某學校舉辦“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽，分別設(shè)置一等獎、二等獎和三等獎的獎品.已

知一盒水筆比一本筆記本的單價高9元，10盒水筆和10本筆記本的總價為210元.

書獎：3盒水筆和2本筆記本二等獎:2盒水室和1本筆記本書獎：1盒水筆

素材2：為提高今后參賽積極性，學校將原定的獲獎級別及人數(shù)進行調(diào)整，如表:

7

獲獎級別一等獎二等獎三等獎

調(diào)整前人數(shù)（單位：個）51530

調(diào)整后人數(shù)（單位：個）m20n

調(diào)整前后獲獎總?cè)藬?shù)不變.調(diào)整前一、二、三等獎的平均分數(shù)分別為94分、80分、71分，調(diào)整后一、

二、三等獎的平均分數(shù)分別為90分、75分、70分.

素材3：調(diào)整后開始采購，學校有活動經(jīng)費690元和30張“吉祥超市”的兌換券，一張兌換券兌換3

盒水筆或者7本筆記本（一張兌換券只能兌換一種商品）.

【任務(wù)1】分別求一盒水筆和一本筆記本的單價.

【任務(wù)2】求加，w的值.

【任務(wù)3】學校計劃將活動經(jīng)費用完，所需獎品全部在“吉祥超市”采購，請你設(shè)計一個最佳采購方案.

考點7：由不等式組的解集求參數(shù)

典例7：（23-24七年級下?安徽蚌埠?階段練習）新定義：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式

組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程x-1=3的解為x=4,

而不等式組｛:<7的解集為3〈無<5,不難發(fā)現(xiàn)x=4在3<x<5的范圍內(nèi)，所以方程x—1=3

是不等式組｛:<7的“關(guān)聯(lián)方程”?

（1）在方程①3（%+1）-久=9；②4x-8=0；③？+1=%中，關(guān)于x的不等式組［>^-1

的“關(guān)聯(lián)方程”是;（填序號）

3%+132%

3>獨_2的“關(guān)聯(lián)方程”求k的取值范圍；

｛—

23

（3）若關(guān)于x的方程手=36是關(guān)于尤的不等式組］*+j3：的“關(guān)聯(lián)方程，，，且此時不等式組恰

21%—m<2m+1

8

好有4個整數(shù)解，試求機的取值范圍.

【變式1](23-24八年級上?浙江杭州?期末)對于任意實數(shù)a,b,定義關(guān)于@的一種運算如下a@b=

a-2b,例如5@3=5-6=-1,5@(-3)=5-(-6)-11..

(1)比較8@2與2@(-1)的大小，并說明理由.

(2)若尤@2<1,求x的取值范圍.

⑶若不等式組<5的解集為久<2,求m的取值范圍.

【變式2](22-23七年級下?湖南長沙?期末)已知關(guān)于x的不等式組產(chǎn)+；二6

1%—1<n

fl-2%<5

(1)若上不等式組的解集與不等式組(三1W4的解集相同，求機+W的值；

(2)當爪=-1時，若上不等式組有4個非負整數(shù)解，求w的取值范圍.

3(%—1)v(%+3)

【變式3](2023?江蘇揚州?一模)已知關(guān)于x的不等式組?2a%一無解，求。的取值范圍.

23Z>1

考點8：不等式組與方程組結(jié)合問題

、1

典例8：(22-23七年級下?湖南長沙?階段練習)己知關(guān)于xy的方程組=712a.