定義命題證明（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+9類題型）

01思維導(dǎo)圖

定

義

命

題

證

明

【知識(shí)點(diǎn)4】多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理

02知識(shí)速記

【知識(shí)點(diǎn)1］命題、定理、證明

1.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.

要點(diǎn)提醒：（1）命題的結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)

推出的事項(xiàng).

（2）命題的表達(dá)形式：“如果……，那么…….”，也可寫(xiě)成：“若……，則……

（3）真命題與假命題：

真命題：題設(shè)成立結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題.

假命題：題設(shè)成立而不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題.

2.定理：定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理證實(shí)得到的另一個(gè)真命題，定理

也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).

3.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明.

要點(diǎn)提醒：

（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過(guò)的定義、基本事

實(shí)、定理等.

(2)判斷一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需列舉一個(gè)反例即可.

【知識(shí)點(diǎn)2】平行線的判定和性質(zhì)

1.平行線的判定

判定方法1判定方法2判定方法3

兩條直兩條直線被第三條直線所兩條直線被第三條直線所截，兩條直線被第三條直

線平行截，如果同位角相等，那如果同位內(nèi)角相等，那么這兩線所截，如果同旁內(nèi)角

的判定么這兩條直線平行，即同條直線平行，即內(nèi)錯(cuò)角相等，互補(bǔ)，那么這兩條直線

位角相等，兩直線平行兩直線平行平行，即同旁內(nèi)角互

補(bǔ)，兩直線平行

符號(hào)語(yǔ)那么/1=/2那么Nl=/2那么/1+/

言2=180°

那么AB//CD那么AB//CD

那么AB//CD

2.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，即兩直線平行，同位角相等.

性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，即兩直線平行，同位角相等.

性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

【知識(shí)點(diǎn)3】三角形的內(nèi)角和定理與外角定理

1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°.

要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問(wèn)題：

①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；

②己知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；

③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系.

2.三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角.如圖，NACD是AABC

的一個(gè)外角.

2

要點(diǎn)詮釋：

(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的

延長(zhǎng)線.

(2)三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角.所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外

角，因此，我們常說(shuō)三角形有三個(gè)外角.

3.三角形的外角性質(zhì)：

(1)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

(2)三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.

要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依

據(jù).另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì).

4.三角形的外角和：三角形的外角和等于360。.

要點(diǎn)詮釋：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°,可推出三角形的

三個(gè)外角和是360°.

【知識(shí)點(diǎn)4】多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理

［多邊形內(nèi)角和:〃邊形的內(nèi)角和為(〃-2)?180°(心3).

要點(diǎn)詮釋：

(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形

的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于吐2)二180°；

n

2.多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

要點(diǎn)詮釋：

⑴在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和."邊形的外角和恒等于

360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；

(2)正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于隨；

n

(3)多邊形的外角和為360。的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等

外角的度數(shù).

3

03題型歸納

題型一命題的判定與逆命題

例題：（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”是（填“真”或“假”）命題.

【答案】假

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題真假、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明

【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)，難度比較小.利用平行線的性

質(zhì)對(duì)命題進(jìn)行判斷即可確定答案.

【詳解】解：,??兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，

二命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”錯(cuò)誤，是假命題，

故答案為：假.

鞏固訓(xùn)練

I.（2024八年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列命題中，其逆命題成立的是（填序號(hào)）.

①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個(gè)角是直角，那么它們度數(shù)相等；③如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們

的平方相等.

【答案】①

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題真假、寫(xiě)出命題的逆命題

【分析】本題考查了互逆命題及真假命題的定義，熟練掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵

把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.判斷事物的語(yǔ)句叫命題，正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤

的命題稱為假命題；先根據(jù)互逆命題的定義寫(xiě)出逆命題，再判斷真假即可.

【詳解】①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題；

②如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等，它的逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么它們是直角，是假命題；

③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等，它的逆命題是：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)

相等，是假命題.

所以，逆命題成立的是①；

故答案為：①

2.（2024八年級(jí)上?上海?專題練習(xí)）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：

①如果。〃6,a-Lc,那么b_Lc；②如果6〃a,c//a,那么6〃c；③如果6J_a,c±a,那么6_Lc；④

4

如果b_La,c_La,那么6〃c.其中假命題的是__.（填寫(xiě)序號(hào)）

【答案】③

【知識(shí)點(diǎn)】平行公理的應(yīng)用、判斷命題真假

【分析】本題考查兩直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握垂直于同一直線的兩條直線平行，平行于同一直

線的兩條直線平行.根據(jù)兩直線的位置關(guān)系一一判斷即可.

【詳解】①如果?！?，ale,那么正確，是真命題；

②如果c//a,那么6〃c,正確，是真命題；

③如果c.La,那么6_Lc,錯(cuò)誤，應(yīng)該是b〃c,故原命題是假命題；

④如果b_L。，cla,那么6〃c,正確，是真命題.

假命題有③，

故答案為：③.

題型二利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

例題：（23-24七下?甘肅蘭州第三十五中學(xué)?期中）圖1是男子競(jìng)技體操項(xiàng)目雙杠的靜止動(dòng)作，圖2是其俯視示

意圖，已知，若42與8。的夾角為105。，Zl=55°,則N2的度數(shù)為

【答案】130°

【來(lái)源】甘肅省蘭州市第三十五中學(xué)2023-2024學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，結(jié)合圖形構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)8作利用平

行線的性質(zhì)與判定即可求解.

BD//b,ZABD=/1=55°,

5

Z2+Z￡>5C=180°,

■：ZABC=\Q50,

NDBC=NABC-NABD=50°,

Z2=180°-ZDBC=130°.

故答案為：130。.

鞏固訓(xùn)練

1.已知兩個(gè)三角板按如圖方式擺放，其中II所，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，則的度數(shù)是

【答案】15。/15度

【來(lái)源】下學(xué)期期中綜合測(cè)試卷

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與三角板有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即

可.

【詳解】解：由題意，得：NBAC=45。,/DEF=60。

■：AC\\EF,

：.ABAC=NABF=45°,

ZABD=/DEF-ZABF=15°；

故答案為：15°.

2.一大門(mén)的欄桿如圖所示，2/垂直于地面4E1,垂足為/,CD平行于地面4E,若/4BC=115。，則/BCD

的度數(shù)為.

CD

-------------

AE

【答案】155°

【來(lái)源】2024-2025學(xué)年下學(xué)期期中綜合測(cè)試卷

【分析】本題主要考查垂線的定義及平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；

過(guò)點(diǎn)2作3尸||/￡,由題意易得5F〃CD,NB4E=90。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

6

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)5作5尸|[4￡,如圖所示:

vCD//AE,

:.BF〃CD,

???BA上AE,

???/BAE=90°,

vBF\\AEf

.?./ABF=180°-/BAE=90°,

vZABC=115°,

ZFBC=/ABC-/ABF=115°-90°=25°,

-BF//CD,

NCBF+/BCD=T80。，

/BCD=180。—ZCBF=180。—25。=155。；

故答案為：155。.

3.（24-25七上?黑龍江哈爾濱第六十九中學(xué)校?期中）某興趣小組利用幾何圖形畫(huà)出螳螂的簡(jiǎn)筆畫(huà)，如圖，已

知/5/。=125。,/8〃?！?/。=85。，則N4CQ=

【答案】30

【來(lái)源】黑龍江省哈爾濱市第六十九中學(xué)校2024-2025學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由平行線

的性質(zhì)可得NC尸。=NC/N,由外角的性質(zhì)可得N4CD=NCD￡-NCFD,即可求得答案.

【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)即交4c于點(diǎn)R取直線45上一點(diǎn)N,點(diǎn)N位于點(diǎn)Z右側(cè)，

7

c

■：ZBAC+ZCAN=180°,

7DE

N

BA

ZCAN=180°-ABAC=55°,

AB\\DE,

:.ZCFD=ZCAN=55°,

ZACD=ZCDE-ZCFD=85°-55°=30°,

故答案為：30.

題型三根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定綜合問(wèn)題

例題：(24-25七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))如圖已知：EF//AD,Zl=Z2,ABAC72°,求4G。

的度數(shù).

解：???EF//AD,

Z2=()

又?:Zl=Z2,

N1=________

AB//()

ZBAC+=180°,()

ZBAC=12°,

ZAGD=

Z3；DG,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；ZDGA,兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)；108°

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵;

8

根據(jù)平行線性質(zhì)推出』2=/3,根據(jù)平行線判定推出1|以，根據(jù)平行線判定推出

ABAC+ADGA=\^°,求出即可.

【詳解】解：?.?斯〃4D,

.?,Z2=Z3（兩直線平行，同位角相等）

又；Zl=Z2,

.-.Zl=Z3,

：.AB//DG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

ZBAC+ZDGA=l^O°,（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

ABAC=72°,

ZAGD=108°；

故答案為：Z3,兩直線平行，同位角相等；Z3；DA,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；ZDGA,兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)；108°

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)上?陜西渭南?期末）如圖，已知點(diǎn)E、尸在直線4B上，點(diǎn)G在線段CA上，連接交

于點(diǎn)〃，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)NCED=NGHD,NC=NEFG.

（1）求證：AB//CD；

（2）若DE_LG尸，ZD=26°,求—2EC的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)詳解

（2）ZBEC=116°

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、垂線的定義理解

【分析】（1）由同位角相等，兩直線平行可得CEU尸G,從而得到/C=/DG尸，可求得=

即可判定/刈

（2）結(jié)合（1）可得/CEZ）=/DHG=90。，ZBED=ZD=26°,從而可求/BEG的度數(shù).

本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系.

【詳解】（1）證明：???NCED=NG7ffi）,

9

:.CE\\GF,

ZC=ZFGD,

?//C=/EFG,

ZFGD=ZEFG,

/.AB\\CD；

（2）解：vDE1GF,

.\ZGHD=90°.

由（1）可得：CE\\FG,AB\\CDf

ZCED=/DHG=90°,/BED=ZD=26°,

/./BEC=ZCED+/BED=116。.

2.（23-24七年級(jí)下?貴州遵義?階段練習(xí)）如圖，AB//CD,NA=NC,//皿的平分線成交的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)￡,。的平分線。尸交45的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

(1)求證：AD//BC；

(2)若NE=35。，求N5Z)尸的度數(shù).

【答案】(1)詳見(jiàn)解析

(2)35°

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的

關(guān)鍵.

(1)由平行線的性質(zhì)得出NC=NC5尸，再結(jié)合乙4=/。得出44=NC5方，即可得證；

(2)由平行線的性質(zhì)得出結(jié)合角平分線的定義得出尸=9，推出尸，即

可得解.

【詳解】(1)證明：???

ZC=ZCBF

???ZA=ZC,

ZA=ZCBF

10

AD//BC；

(2)解：???AB//CD,

/ABD=ZBDC

???BE平分/ABD,DF平分/BDC

/DBF=-/ABD,ZBDF=/CDF=-ZBDC

22

/./DBF=ZBDF,

:.BE//DF

ZCDF=ZE=35°,

/DBF=ZCDF=35°.

題型四與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題

例題：（23-24七年級(jí)下?上海虹口?期中）如圖，已知ZEDC=SO°,/ECD=53。,NB=105。,

那么NZC3=.

【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，

首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NCm=180。-/瓦力-/。=47。，然后由平行線的性質(zhì)得到

/A=/CED=47。,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】???/即。=80。，ZECD=53°,

ZCED=180°-/ECD-ZD=47°,

???AB//ED,

；./A=/CED=47。,

???ZB=105°f

ZACB=\S00-ZA-ZB=28°.

故答案為：28°.

鞏固訓(xùn)練

11

1.（23-24七年級(jí)下?陜西渭南?期中）如圖，在三角形A8C中，點(diǎn)。，H,E分別是邊AB,BC,。上的

點(diǎn)，連接DE,DH,F為DH上一點(diǎn)、,連接EF,若Nl+/2=180。，Z3=Z5=65°,ZC=52°.ZFEC

的度數(shù)為°.

【答案】63

【分析】由Nl+N2=180。，Z\+ZDFE=180°,得到/2=NOPE,根據(jù)平行線的判定，得到,根

據(jù)平行線的性質(zhì)，得到/EEC=//,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出//的度數(shù)，即可求解，

本題考查了，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

【詳解】解：???Nl+N2=180°,/1+/D尸E=180°,

.-.Z2=ADFE,

AB//FE,

ZFEC=ZA,

zA=1800-zB-zC=180°-65°-52°=63°,

:"FEC=NA=63°,

故答案為：63.

2.（23-24七年級(jí)下?陜西咸陽(yáng)?期中）如圖，AN平分/BAM,BM平分NABN,AN工BM于點(diǎn)、C,ZMBN=25°,

則下列說(shuō)法：①NBCN=90°；@AMHBN■③NZXW=50。；@ZMAN=60°,其中正確的是.（填

序號(hào)）

【答案】①②③

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)垂直

的定義得出NBCN=90。，即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出

ZBAM=2ZBAN,ZABN=2ZABM=2ZMBN,根據(jù)//C3=90°,得出乙+NA8N=180°,即可判斷

12

AM//BN,得出②正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義得出ND/M=N/8N=50。，即可判斷

③，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得4凡3=90。-/四3"=90。-25。=65。，再根據(jù)4W/8N,得至U

NMAN=NANB=65°,即可判斷④.

【詳解】解：

"BCN=90。,故①正確；

AN平分ZBAM,BM平分ZABN,

...ZBAM=2ZBAN,ZABN=2NABM=2ZMBN,

AN±BM,

NACB=90°,

ZBAN+ZABM=90°,

NBAM+2ABN=2（NBAN+=2x90°=180°,

.-.AM//BN,故②正確；

?:ZMBN=25。,BM平6&BN,

：.ZABN=5Q°,

AM//BN,

:.NDAM=ZABN=50°,故③正確；

???NBCN=90°,

ZANB=90°-ZMBN=90°-25°=65°,

AM//BN,

AMAN=ZANB=65°,故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的說(shuō)法有①②③.

故答案為：①②③.

3.（23-24七年級(jí)下?上海浦東新?期中）如圖，將一副直角三角板放在同一條直線上，其中

2OMN=30。,ZOCD=45°.將三角尺繞點(diǎn)。以每秒10。的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間

為f秒.在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊。。恰好與邊平行，/的值為.

13

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和為180度，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向，再逐一

把滿足條件的圖作出來(lái)，再結(jié)合圖形以及運(yùn)用平行線的性質(zhì)列式計(jì)算，即可作答.

【詳解】解：如圖：

ZOMN=30°,ZOCD=45°,

.-.Z1=ZMNO=90°-30°=60°,卬=ZCDO=90°-ZOCD=45°,

oo

.?.Z2=180-(180°-Zl+ZZ)1)=15,

即/DOD]=90°+15°=105°,

???將三角尺OCD繞點(diǎn)O以每秒10。的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為f秒.

.?.10°/=105°,

t=10.5；

如圖：

14

\t

G

當(dāng)C2D2與邊MN平行時(shí)，

???ZOMN=30°,ZOCD=45°,

Z3=ZMNO=90°-30°=60°,ZZ>2=ZCDO=90°-ZOCD=45°,

.?.Z4=180°-(180°-Z3+ZZ>l)=15°,

即/。皿=90°-15°=75°,

???將三角尺OCD繞點(diǎn)O以每秒10。的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為f秒.

.?.10°/=360°-75°,

t=28.5；

綜上：邊恰好與邊平行，/的值為10.5或28.5

故答案為：10.5或28.5

題型五與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題

例題：（23-24七年級(jí)下?江蘇南京?期末）如圖，在中，AD平分NBAC,過(guò)點(diǎn)A作即〃3c.若

ZEAB=40°,ZC=80°,則/ADC=.

【答案】70。/70度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線的相關(guān)求解，先根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互

補(bǔ)求出4c的度數(shù)，從而求出N8/C的度數(shù)，根據(jù)角平分線以及三角形內(nèi)角和即可得出結(jié)果.

15

【詳解】解：:E尸〃8C,ZC=80°,

AEAC=180°-ZC=180°-80°=100°,

ABAC=ZEAC-NEAB=100°-40°=60°,

-■?平分/A4C,

ZCAD=-ZBAC=30°,

2

ZADC=180°-ZDAC-ZACD=180°-30°-80°=70°,

故答案為：70°.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?上海浦東新?階段練習(xí)）如圖，在"SC中，NBDC=125。,如果N/8C與NNC2的平

分線交于點(diǎn)D,那么N4=度.

【答案】70

【分析】本題考查了三角形角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得

^ZABC+^ZACB,從而可求N/3C+44c8,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求解.

【詳解】解：■:NBDC=125。,

:.ZDBC+ZDCB=55°,

???。與N/C3的平分線相交于點(diǎn)。，

2DBC=-NABC,NDCB=-ZACB,

22

:.-ZABC+-ZACB=55°,

22

:.ZABC+ZACB=1W°,

N/=180。-(/ABC+ZACB)

=180°-110o=70°.

故答案為：70.

2.(23-24七年級(jí)下?遼寧大連?期中)如圖，在中，BD、分別平分/4BC、/ACB,BG、CG分別平

16

分三角形的兩個(gè)外角/EBC、NFCB,NG=48°,則=

【答案】132

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，根據(jù)角平分線和三角形的內(nèi)角和定理，推出

〃=90。+；//,ZG=90°進(jìn)而得到ZD+NG=180。，即可得出結(jié)果.

，2

【詳解】解：；BD、C0分別平分/4BC、NACB,

NDBC’NABC,

ZDCB=-ZACB

22

ZD=180°-(ZDBC+ZDCB)

=180°-^(ZABC+ZACB)

=18O°-1(18O0-Zy4)

=900+-ZA

2

BG、CG分別平分三角形的兩個(gè)外角NE3C、NFCB

NGBC=-NEBC,ZGCB=-NFCB

22

NG=180°-(/GBC+NGCB)

180°-1(Z￡SC+ZFCB)

=180°-^(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-；(2/N+180°-//)

=180°-1(180°+Z^)

90°--ZA

2

Zr>+ZG=90o+-Z^+90o--Z^=180°

22

.?."=180°-/G=132°；

故答案為：132.

17

3.(23-24七年級(jí)下?湖南衡陽(yáng)?期末)如圖，在A4SC中，NB=30。,ZC=70°,/E平分/R4C,ADIBC

于點(diǎn)。.

(1)求N8/E的度數(shù).

⑵求NEZD的度數(shù).

【答案】(1)40。

(2)20°

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三

角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì).

(1)由三角形內(nèi)角和定理可求得4c的度數(shù)，/E是角平分線，故NBAE=NEAC=；/BAC；

(2)在RtA40c中，可求得N7X4c的度數(shù)，于是NEAD=NEAC-NCAD.

【詳解】(1)解：,.-N8=30。，ZC=70°,

/.=180°-Z5-ZC=80°,

vAE平分A4,

ZBAE=ZEAC=-ZBAC=-x80°=40°；

22

(2)解：vADIBC,

:.ZADC=90°,

???ZC=70°,

/./CAD=180°-ZADC-ZC=20°,

ZEAD=ZCAE-ZCAD=40°-20°=20°.

題型六三角形的外角的定義及性質(zhì)

例題：(23-24七年級(jí)下?四川樂(lè)山?期末)如圖，在“8。中，點(diǎn)。在5c的延長(zhǎng)線上，/4=70。，

//CD=120。，則—°,

18

A

【答案】50

【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩

個(gè)內(nèi)角和即可解題.

【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)得：ZACD=ZA+ZB,

■二//=70°,//CD=120°,

ZB=ZACD-ZA=120°-70°=50°,

故答案為：50.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖，已知直線/]〃4，4=54。，Z2=100°,則乙4=

【答案】46

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)兩直線

平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可.

【詳解】解：Nl=54。,Z2=100°

ZABC=Z1=54°

N2=//+ZABC,即乙4=N2-ZABC=100°-54°=46°

故答案為：46.

2.（23-24七年級(jí)下?江蘇淮安?期末）如圖，的兩個(gè)外角的平分線交于點(diǎn)P.若/APC=64。，貝|

NA=.

19

B.

【答案】52。/52度

【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵在于找出角

度的數(shù)量關(guān)系.利用角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，可得

NPBCJ80°—Be,"CB=180°J由々%=64。，利用三角形內(nèi)角和定理可得

ZBPC=180。-(NPBC+NPCB),即可得到ZBPC=+ZACB)=64°,即可求出-4的度數(shù).

180。-/43c]800_4C2

【詳解】解：根據(jù)題意得:NPBC,ZPCB=

22

ZBPC=64°,

ZBPC=180°-(ZPSC+NPCB),

：.NBPC=g(NHBC+N4CB)=64°,ZABC+ZACB=128°,

ZA=180°-(ZABC+NACB)=52°,

故答案為：52°.

3.（23-24七年級(jí)下?江西南昌?期末）已知直線/t//l2,將含30。角的直角三角板按如圖所示擺放.若Z2=140°,

則Zl=

【答案】110。/110度

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)和外角和定理，對(duì)頂角角度相等，根據(jù)題意可知三角板的為/3=30。,

22=140。，再根據(jù)外角和定理及同位角和對(duì)頂角定理，即可得到答案.

【詳解】解：與。。角的直角三角板，Z2=140°,

.?.Z4=140°-Z3=110°,

20

又???4〃，2,根據(jù)平行線同位角相等得：/4=/5,

???N5與N1為對(duì)頂角,

,?.Z5=Z1=11O°,

故答案為：110°.

題型七多邊形內(nèi)角和問(wèn)題

例題：（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)八邊形的內(nèi)角和是.

【答案】1080。

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，直接套用多邊形的內(nèi)角和（〃-2）/80。進(jìn)行計(jì)算可求八邊形的內(nèi)角

和，

【詳解】解：內(nèi)角和：（8-2）X180O=6X1800=1080°.

故答案為：1080。

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級(jí)下?上海?階段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是2880。，則這個(gè)多邊形是邊形.

【答案】18

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為（〃-2）x180。是解答本題的關(guān)鍵.根

據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是〃邊形，根據(jù)題意，得

（〃-2）xl80°=2880°,

???〃=18.

故答案為：18.

2.（2024?河北邯鄲?一模）已知一個(gè)正”邊形的內(nèi)角和與外角和的差為360。，貝ij〃=.

【答案】6

21

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，解一元一次方程，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式

-2）/80。，外角和等于360。列出方程求解即可，注意利用多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，任何多邊形的外

角和都是360。是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題知，正〃邊形的內(nèi)角和為（“-2>180。，正〃邊形的外角和為360。，

又???正〃邊形的內(nèi)角和與外角和的差為360。，

2）-180°-360°=360°,

解得：〃=6,

故答案為：6.

題型八多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用

例題：（23-24八年級(jí)下?浙江杭州?期末）如圖，Zl>N2、N3、N4是五邊形/8CDE的外角，且

Zl=Z2=Z3=Z4=70°,則Z/ED的度數(shù)是（）

A.1000B.108°C.110°D.120°

【答案】A

【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，由多邊形的外角和定理可得N5=80。，進(jìn)而根據(jù)

鄰補(bǔ)角性質(zhì)即可求出//ED的度數(shù)，掌握多邊形的外角和等于360。是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由多邊形的外角和定理可得，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

???Zl=Z2=Z3=Z4=70°,

.?.Z5=360°-70°x4=80°,

ZAED=180°-80°=100°,

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，如果

Zl=50°,Z2=40°,那么/3的度數(shù)等于（）

22

A.20°B.18°C.15°D.12°

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形、正方形、正五邊形的內(nèi)角和、三角形的外角和，先求出等邊三角形、正

方形、正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角和等于360。列出等式計(jì)算即可求解，掌握正多邊形

的內(nèi)角和公式和外角和等于360。是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角為60。，

正方形的每個(gè)內(nèi)角為90。，

正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為”2)x180。=]08。，

的外角和等于360。，

ZEBF+ZDCE+ZDAF=360°,

即Z1+60。+N2+90°+N3+108。=360°,

??.Zl+Z2+Z3=102°,

vZ1=50°,Z2=40°,

.-.Z3=12°,

故選：D.

2.（23?24八年級(jí)上?貴州黔東南?期中）如圖所示，七邊形4BCQEFG中，AB,的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O,

若圖中/I,Z2,Z3,/4的和為240。，則N3OD的度數(shù)為（）

23

C.50°D.60°

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的外角和，任意多邊形的外角和均為360。，延長(zhǎng)8c交OD于點(diǎn)77,可得

ZCDO+ZHCD+ZOBH=360°-240°=120°據(jù)此即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)&C交OD于點(diǎn)如圖所示:

且Nl,Z2,Z3,N4的和為240°,

ACDO+ZHCD+ZOBH=360°-240°=120°

即：ZOHB+ZOBH=120°

ZBOD=180°-(ZOHB+ZOBH)=60°

故選：D

題型九多邊形內(nèi)角和與外角和綜合

例題：(23-24八年級(jí)上?新疆昌吉?期中)如圖，在五邊形ABCDE中，AE//CD,zA=100°,zB=120°

(1)若40=110。，請(qǐng)求/￡的度數(shù)；

(2)試求出/C及五邊形外角和的度數(shù).

【答案】(l)NE=70。

24

(2)ZC=140°,五邊形外角和的度數(shù)是360。

【分析】本題主要考查多邊形內(nèi)角和、外角和及平行線的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)多邊形內(nèi)角和、外角和及平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：???/￡〃CD,

.?.ZZ>+ZE=180°,

.?.NE=180°-/。=180°-110°=70°；

(2)解：五邊形/8CDE中，Z^+Z5+ZC+ZD+Z￡=(5-2)x180°=540°,

???/￡>+/￡=180°,ZA=100°,ZB=120°,

ZC=540°_(ND+ZE}-ZA-ZB

=140°；

五邊形外角和的度數(shù)是360。.

鞏固訓(xùn)練

1.(22-23八年級(jí)下?河北保定?期末)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了“多邊形內(nèi)角和與外角和”后深入思考，繼續(xù)

探究多邊形的一個(gè)外角與它不相鄰的內(nèi)角之和具有的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖1,NCBD與/A,NC之間的數(shù)量關(guān)系為.若NN=50。，ZCBD=\\5°,貝l|NC=

⑵如圖2,NCBE是四邊形/BCD的外角，求證：/C5￡=44+NC+ND—180°.

(3)若〃邊形的一個(gè)外角為x。，與其不相鄰的內(nèi)角之和為了°,則無(wú)，丁與〃的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】(1)NC8D=N/+/C,65°；

(2)見(jiàn)解析;

(3)y-x=180(〃-3).