2023年中考數(shù)學(xué)典型例題系列之

函數(shù)篇

第五講二次函數(shù)壓軸題型（原卷版）

K考點(diǎn)尋圖II

【考點(diǎn)七】二次函數(shù)與平行四邊形存在問題?！究键c(diǎn)十四】二次函數(shù)與胡不歸問題。

《關(guān)夕U布方歲

【考點(diǎn)一】二次函數(shù)與線段最值問題。

【方法點(diǎn)撥】

一、平面內(nèi)任意兩點(diǎn)距離公式。

若4（和口）,3（巧,為）

貝=J（%1—々）2+（%—%產(chǎn)或A§2=（王一々）2+（M—%）2

二'平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造相似。

借助平面直角坐標(biāo)系的直角特點(diǎn)，作平行線或垂線，構(gòu)造出“A”“X”型相似或“一線三垂

直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比轉(zhuǎn)化，列出數(shù)量關(guān)系求解。

三、鉛垂線法求最值。

1.圖形示例：

c

2.鉛垂線最值一般解法為：

一設(shè)（設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)并表示出D點(diǎn)）；

二列（表示出PD長(zhǎng)度）；

三配（把PD的長(zhǎng)度看做關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，配方求最值）。

【典型例題】

（2022?四川德陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+2x+c與X軸分別交于點(diǎn)4（1,0）

和點(diǎn)8,與>軸交于點(diǎn)c（o,-3）,連接8C.

⑴求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵如圖，點(diǎn)P為線段8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)5,c重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,

求線段PQ長(zhǎng)度的最大值.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)1]

如圖，拋物線y=x2+5/4與x軸交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左邊），與"軸交于點(diǎn)C,連接/C,點(diǎn)夕

在線段4C上，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q,則線段尸。長(zhǎng)的最大值為多少？

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

如圖，直線尸一;於3與x軸交于點(diǎn)C,與J/軸交于點(diǎn)6,拋物線尸-經(jīng)過其C兩點(diǎn)，點(diǎn)￡

4o4

是直線8c上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)日乍y軸的平行線交直線861于點(diǎn)必則創(chuàng)的最大值為o

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

對(duì)稱軸為直線X=-1的拋物線"=*2+6/C,與X軸相交于4,8兩點(diǎn)，其中點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-3,0）o

（1）求點(diǎn)8的坐標(biāo)。

（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)。是線段〃1上的動(dòng)點(diǎn)，作軸交拋物線于點(diǎn)。，求線段

長(zhǎng)度的最大值。

【考點(diǎn)二】二次函數(shù)與將軍飲馬模型（線段周長(zhǎng)問題）。

【方法點(diǎn)撥】

將軍飲馬模型

1.【兩定一動(dòng)模型】

如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最小。

B

A

P

作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A',連接PA',則PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB

當(dāng)A<P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA/+PB=A/B,此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）

2.【一定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)模型】

在OA、0B上分別取點(diǎn)M、N,使得△PMN周長(zhǎng)最小。

此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于0A（折點(diǎn)M所在直線）'0B（折點(diǎn)N所在直線）的對(duì)

稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P/+MN+NP〃，當(dāng)M、N、P〃共線時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最小。

3.1兩定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)模型】

在OA、0B上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。

考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于0A、0B

對(duì)稱，化折線段PM+MN+NQ為P/+MN+NQ/,當(dāng)X、M、N、Q’共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。

4.【一定兩動(dòng)之點(diǎn)線】

在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。

此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于0A對(duì)稱的點(diǎn)P-將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P/M+MN,即過點(diǎn)P，作

0B垂線分別交OA、0B于點(diǎn)M、N,得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）。

5.模型拓展：【將軍過橋模型】

已知將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何

處能使路程最短？

考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可，問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平

移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A,位置。

問題化為求A,N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置。

【典型例題1】

（2021?四川眉山?統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=x2+6/c與x軸交于A6兩點(diǎn)，3點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

與y軸交于點(diǎn)（0,3）.

⑵點(diǎn)?是X軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線y=K加與直線勿交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)F,

當(dāng)陽序有最大值時(shí)，求戶點(diǎn)的坐標(biāo)；

【典型例題2】

(2022?四川廣元?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x-2與x軸交于點(diǎn)4與y軸交于

點(diǎn)、B,拋物線y=ax2+6/c(a>0)經(jīng)過8兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C.

⑴求a,6滿足的關(guān)系式及c的值；

⑵當(dāng)片；時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△施周長(zhǎng)的最小值;

⑶當(dāng)a=1時(shí)，若點(diǎn)。是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作QDLAB于點(diǎn)、D,當(dāng)初的值最大時(shí),

求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)及初的最大值.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】

(2022?四川遂寧?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，已知點(diǎn)4-2,0),點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)C(4,3),直線/為y=-2x+8,

⑵點(diǎn)F在拋物線上，過點(diǎn)E作所〃y軸，交直線/C于點(diǎn)尸，若點(diǎn)F由點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)〃的過程中，求線段

爐的最大值.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

(2022?山東東營(yíng)?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線/=女2+弧-3(。片0)與x軸交于點(diǎn)A(T,0),點(diǎn)8(3,0),

與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)。，使AACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

如圖，拋物線尸|f一q戶5與x軸分別交于46兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)6的左側(cè)），與V軸交于

C,在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)肌連接用I、MC、AC,則當(dāng)△昭161的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)

是■

【考點(diǎn)三】二次函數(shù)與三角形面積最值問題。

【方法點(diǎn)撥】

三角形面積的常見求法。

一、公式法。

二、割補(bǔ)法。

三'鉛錘法："鉛垂高、水平寬”。

1.圖形示例：

歪三角形（沒有邊與對(duì)稱軸平行）

圖2

SMABC-SAACD-S&BCD

=-CD-AB--CD-BF--CD'AE--CD-BF

2222

=-CD(AB-Bn--CD'BG

22

:LCD?BG

2

①為△/8C的鉛垂高，6G為△W6C的水平寬，S“°」ah

2

2.解題步驟：

(1)求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；

(2)過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D,可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

(3)求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；

(4)根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；

(5)利用公式求得三角形面積.

【典型例題】

(2022?四川廣安?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=辦2+尤+根(a手0)的圖象

與x軸交于4C兩點(diǎn)，與"軸交于點(diǎn)8,其中點(diǎn)8坐標(biāo)為(0,—4),點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0).

⑴求此拋物線的函數(shù)解析式.

⑵點(diǎn)〃是直線下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接加、BD,探究是否存在點(diǎn)。，使得劭的面積最大？若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】

(2022春?四川瀘州?九年級(jí)專題練習(xí))如圖：已知關(guān)于x的二次函數(shù)/c的圖像與x軸交于點(diǎn)/

（1,0）和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）.

⑴求二次函數(shù)的解析式；

⑵有一個(gè)點(diǎn)M在線段笫上運(yùn)動(dòng)，作神JLx軸交拋物線于點(diǎn)凡問當(dāng)"、〃點(diǎn)位于何處時(shí)，△及力的面積最

大，求最大面積.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

（2022?四川遂寧?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖直線、=履+"（左片0）與x軸、y軸分別交于A8兩點(diǎn)，過4,

8兩點(diǎn)的拋物線片江+版+4與x軸交于點(diǎn)C,且C（-l,0）,A（4,0）

⑴求拋物線和直線AB的解析式；

⑵若點(diǎn)戶是拋物線上48兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與48重合），則是否存在一點(diǎn)之，使ARIB的面積

最大？若存在求出的最大面積；若不存在，試說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3]

（2023?陜西咸陽?校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=62+法-6（.20）與乂軸交于點(diǎn)4

B,與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,OB=2,對(duì)稱軸為直線x=-2.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)〃是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD和8,求AACD面積的最大值.

【考點(diǎn)四】二次函數(shù)與直角三角形存在問題。

【典型例題】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*+2x+c(。片0)與X軸交于點(diǎn)AB,與y軸交于點(diǎn)C,連接8C,

OA=1,對(duì)稱軸為x=2,點(diǎn)〃為此拋物線的頂點(diǎn)。

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)?在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)8、C、a為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)戶的坐標(biāo)。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

如圖，在平面直角坐標(biāo)系*勿中，已知拋物線y=a》+6/c與x軸交于4(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與

V軸交于點(diǎn)。(0,3),連接4C,點(diǎn)戶為第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求a、b、c的值；

(2)連接〃、PC、AC,求面積的最大值；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)0,使得為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的

點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

如圖，拋物線y=-寸+6/c與X軸相交于48兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)8與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B

(3,0).C(0,3),點(diǎn)〃是拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)。為線段他上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)戶作如軸于點(diǎn)

若OD=m.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)設(shè)的面積為5,試判斷S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若沒有，請(qǐng)說明理由；

(3)在儂上是否存在點(diǎn)只使△23為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)戶的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)3]

(2022?四川遂寧?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，已知點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)2(4,0),點(diǎn)C(4,3),直線/為y=-2x+8,

且直線/I直線/C,垂足為點(diǎn)。，拋物線為、=內(nèi)2+版+以。H0)經(jīng)過點(diǎn)4B、。三點(diǎn).

⑵點(diǎn)。、。分別在線段48、4?上，連接?。、BQ,若點(diǎn)戶由點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的過程中，是否存在△AP。和

VBP。中一個(gè)是等腰三角形另一個(gè)是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)五】二次函數(shù)與等腰三角形存在問題。

【典型例題】

如圖，直線尸-與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,C和點(diǎn)>4(-1,

0).

(1)求昆C兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求該二次函數(shù)的解析式。

(3)若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D,則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使是以CD

為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

如圖，拋物線丫="2+法+。與》軸交于4(-2,0),3(6,0)兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C,直線/與拋物線交于A,。

兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)E,且點(diǎn)。為(4,3)；

⑴求拋物線及直線/的函數(shù)關(guān)系式；

⑵點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存點(diǎn)G,使AAFG為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐

標(biāo)；

⑶若點(diǎn)。是,軸上一點(diǎn)，且NAOQ=45。，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2]

如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a羊0)的圖象過點(diǎn)M(-2,6)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(-1,生叵),且與x軸

3

交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)aPBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q,使△QBM的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

【考點(diǎn)六】二次函數(shù)與等腰直角三角形存在問題。

【典型例題】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系X勿中，拋物線，=-x?+2/3與X軸交于點(diǎn)48（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)），與，

軸交于點(diǎn)C,拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)。.

圖1圖2

⑴求8,0,〃三點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵如圖1,拋物線上有E尸兩點(diǎn)，且寧7/x軸，當(dāng)△詆是等腰直角三角形時(shí)，求線段爐的長(zhǎng)度;

⑶如圖2,連接8a在直線8C上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)只當(dāng)△陽61面積最大時(shí)，點(diǎn)『坐標(biāo).

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

將拋物線C：y=（X-2）2向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線%再將拋物線G向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得

到拋物線C2

(1)⑵

⑴直接寫出拋物線C,,&的解析式；

⑵如圖（1）,點(diǎn)/在拋物線。（對(duì)稱軸/右側(cè)）上，點(diǎn)8在對(duì)稱軸/上，△以8是以必為斜邊的等腰直

角三角形，求點(diǎn)力的坐標(biāo)；

4

⑶如圖（2）,直線力0,k為常數(shù)）與拋物線4交于￡尸兩點(diǎn)，〃為線段年的中點(diǎn)；直線

k

X與拋物線&交于G,H兩點(diǎn)、,〃為線段G〃的中點(diǎn).求證：直線制/經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

已知：如圖，拋物線y=ax2+6x+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)/(0,6),C(-2,0),tanN/&?=1,點(diǎn)戶

是線段48上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

⑵當(dāng)點(diǎn)夕運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△外8的面積有最大值？

⑶過點(diǎn)『作x軸的垂線，交線段于點(diǎn)伉再過點(diǎn)戶作在￡〃*軸交拋物線于點(diǎn)￡,連接殂請(qǐng)問是否存

在點(diǎn)戶使△夕班為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)『的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

二次函數(shù)/=4入2+6%+2的圖象交x軸于點(diǎn)力(-1,0),6(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)版從點(diǎn)4出發(fā)，

以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)〃作腑軸交直線外于點(diǎn)優(yōu)交拋物線于點(diǎn)。連接

AC,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

3

⑵連接劭，當(dāng)代］時(shí)，求△勿陽的面積；

⑶在直線胸上存在一點(diǎn)匕當(dāng)△陽C是以N8%為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo);

(4)當(dāng)力=1■時(shí)，在直線帆上存在一點(diǎn)0,使得N/仇,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【考點(diǎn)七】二次函數(shù)與平行四邊形存在問題。

【典型例題】

（2022?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)>="2+法+。的圖象與x軸交于0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），

/兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為T,點(diǎn)/（1，根）是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)8（0,1）.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)只連結(jié)PA,PB,設(shè)點(diǎn)"的橫坐標(biāo)為力，AHR的面積為6,求S

與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑶在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)“，使得以4B、M、〃為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫

出所有符合條件的點(diǎn)〃的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2]

（2022?墾利區(qū)二模）已知拋物線j/=af+6/3的圖象與x軸相交于點(diǎn)4和點(diǎn)8（1,0）,與"軸交于點(diǎn)C,

連接AC,有一動(dòng)點(diǎn)〃在線段4c上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)〃作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)F,48=4,

設(shè)點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接力￡、CE,當(dāng)△4CF的面積最大時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)是—（-|,|）；

（3）當(dāng)m=-2時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使以8,C,E,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在,

請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

（2022■四川資陽?中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為41,4）,且與x軸交于點(diǎn)

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖，將二次函數(shù)圖象繞X軸的正半軸上一點(diǎn)尸（〃2,0）旋轉(zhuǎn)180。，此時(shí)點(diǎn)48的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)c、D.

①連結(jié)Afi、BC、CD、DA,當(dāng)四邊形ABC。為矩形時(shí)，求m的值；

②在①的條件下，若點(diǎn)〃是直線了=機(jī)上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)。，使得以點(diǎn)8、C、"、0

為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)八】二次函數(shù)與菱形存在問題。

【典型例題】

（2022?四川廣元?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線G：y=^2+版+C與坐標(biāo)軸交于48,

C三點(diǎn)，其中。4=OC=2O3,。（0,4）是力的中點(diǎn).

⑴求該二次函數(shù)的解析式.

⑵如圖1,若F為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在該拋物線的對(duì)稱軸上，求使得AECD的面積取

最大值時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)EF+b的最小值.

⑶如圖2,將拋物線G向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C2,〃為拋物線G上

一動(dòng)點(diǎn)，兒為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)胴〃使得四邊形加例為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

(2023秋?浙江溫州?九年級(jí)期末)如圖，拋物線y=-/+Zu+c交》軸于點(diǎn)A(0,2),交工軸于點(diǎn)3(4,0)、

C兩點(diǎn)，點(diǎn)。為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與0、3重合)，過點(diǎn)。作DMLx軸，交AB于點(diǎn)交拋物線

于點(diǎn)N.

⑴求拋物線的解析式；

⑵連接⑷V和3N,當(dāng)AABN的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)及AABN的最大面積；

⑶在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)4M,N,戶為頂點(diǎn)，以AM為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2]

(2022春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))已知拋物線yuaf+fcr+c與x軸交于/(―2,0),B(3,0)兩點(diǎn)，

3

與y軸交于點(diǎn)C(0,j).

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)?是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以4C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是以4c為邊的

菱形時(shí)，求點(diǎn)戶的坐標(biāo).

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

(2023秋?浙江溫州?九年級(jí)期末)如圖，拋物線、=-/+法+。交y軸于點(diǎn)A(O,2),交X軸于點(diǎn)8(4,0)、

C兩點(diǎn)，點(diǎn)。為線段。8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與0、3重合)，過點(diǎn)。作_Lx軸，交A3于點(diǎn)交拋物線

于點(diǎn)N.

⑴求拋物線的解析式；

⑵連接⑷V和3N,當(dāng)AABN的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)及AABN的最大面積；

⑶在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)4M,N,戶為頂點(diǎn)，以AM為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)九】二次函數(shù)與矩形存在問題。

【典型例題】

(2022?四川瀘州統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線y=ad+x+c經(jīng)過A(-2,0),

3(0,4)兩點(diǎn)，直線x=3與x軸交于點(diǎn)C.

⑴求"，。的值；

⑵經(jīng)過點(diǎn)。的直線分別與線段AB,直線x=3交于點(diǎn)D,E,且△如。與△OCE的面積相等，求直線DE

的解析式；

⑶尸是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段0C和直線尤=3上是否分別存在點(diǎn)尸，G,使8,F,

G,P為頂點(diǎn)的四邊形是以防為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

(2022?重慶?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-J+bx+c交x軸于點(diǎn)力禾口C(1,0),

交V軸于點(diǎn)8(0,3),拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)￡交拋物線于點(diǎn)尸.

備用圖

⑴求拋物線的解析式；

⑵將線段如繞著點(diǎn)。沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段OE',旋轉(zhuǎn)角為a(00<a<90°),連接

求2E'+；AE'的最小值；

⑶〃為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)凡使得以4B,M,〃為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)21

(2022?貴州黔西?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)4(4,0)的直線與y軸交于點(diǎn)

5(0,4).經(jīng)過原點(diǎn)。的拋物線>=-尤2+云+。交直線四于點(diǎn)c,拋物線的頂點(diǎn)為2

⑴求拋物線y=-x2+bx+。的表達(dá)式；

⑵〃是線段上一點(diǎn)，〃是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN〃y軸且“N=2時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

⑶戶是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)4C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？

若存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)31

(2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，拋物線y=a/+bx+3交x軸于43,0),3(-1,0)兩點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式和對(duì)稱軸.

⑵若/?為拋物線上一點(diǎn)，滿足/3圓=45。，求??的坐標(biāo).

⑶若點(diǎn)戶在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得4C、

久。為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)十】二次函數(shù)與正方形存在問題。

【典型例題】

(2022?四川成都?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x?+6/c的圖象與x軸交于點(diǎn)

4(-1,0),6(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

⑴仁______

⑵若點(diǎn)〃為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)〃作巫〃y軸交8c于點(diǎn)E,過點(diǎn)〃作DFJLBC干點(diǎn)、F,

過點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)G,求出用尸G的最大值及此時(shí)點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)戶是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存

在點(diǎn)K使四邊形。腑。為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)版的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

（2022春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線4=+6x+c經(jīng)過A（-2,0）,

兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)8是該拋物線的頂點(diǎn).

⑴求拋物線4的表達(dá)式;

（2）將右平移后得到拋物線4，點(diǎn)〃，F(xiàn)在右上（點(diǎn)。在點(diǎn)F的上方），若以點(diǎn)4C,D,F為頂點(diǎn)的四邊

形是正方形，求拋物線人的解析式.

【考點(diǎn)十一】二次函數(shù)與定點(diǎn)定值問題。

【典型例題】

（2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖1,拋物線y=ax2+2x+c,交X軸于48兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

廠為拋物線頂點(diǎn)，直線即垂直于X軸于點(diǎn)E,當(dāng)y2O時(shí)，-1<X<3.

圖1圖2

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸是線段班上的動(dòng)點(diǎn)(除8、E外)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)￡).

①當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形ACFD的面積；

②如圖2,直線AO,8。分別與拋物線對(duì)稱軸交于A/、N兩點(diǎn).試問，EM+EN是否為定值？如果是,

請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)】

(2022?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)>="2+法+2的圖象經(jīng)

過點(diǎn)4-1,0),5(3,0),與jz軸交于點(diǎn)C.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵如圖2,直線/為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E.若點(diǎn)。為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)。作直線A。，BQ分別交直線/于點(diǎn)肌N,在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，EN+E7V的值是否為定值？若是,

請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)十二】二次函數(shù)與相似三角形存在問題。

【典型例題】

(2022?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=axz+6x+c交x軸于/(1,0),5兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)

C(0,3),頂點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為1.

⑵在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)?使N4陽+N"?=180。.若存在，求出點(diǎn)戶的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說

明理由；

⑶過點(diǎn)C作直線/與V軸垂直，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為8連接47,AE,DE,在直線/下方的拋物線

上是否存在一點(diǎn)肌過點(diǎn)〃作肺，/,垂足為尸,使以優(yōu)尸，石三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與//跳相似？若存在，

請(qǐng)求出〃點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【對(duì)應(yīng)練習(xí)11

（2022?四川成都?成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線

13

了=-7/+；%+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B,C三點(diǎn).

(1)求證：ZACB=90°；

⑵點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)尸,

點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與AAOG相似，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【對(duì)應(yīng)練習(xí)2]

（2022?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=o?+法-4經(jīng)過點(diǎn)C（-LO）,點(diǎn)3（4,0）,交y軸于點(diǎn)

點(diǎn)〃是該拋物線上第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，隹，x軸于點(diǎn)￡交線段于點(diǎn)。，軸，交"軸于點(diǎn)。.

⑴求拋物線的函數(shù)解析式.

⑵若四邊形HQOE是正方形,求該正方形的面積.

⑶連接必、AC,拋物線上是否存在點(diǎn)//,使得以點(diǎn)。、4〃為頂點(diǎn)的三角形與△48C相似，若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)十三】