線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算第2.2節(jié)

矩陣的運(yùn)算

二、一、矩陣的線性運(yùn)算三、矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算二、矩陣的乘法運(yùn)算四、方陣的行列式五、矩陣的共軛運(yùn)算線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算一、矩陣的線性運(yùn)算1、矩陣的加法說(shuō)明：(1)只有同型矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算；（2)矩陣的加法運(yùn)算即對(duì)應(yīng)位置的元素相加.

定義3

設(shè)有兩個(gè)

矩陣則矩陣

與的和記作

，并規(guī)定為

線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算矩陣加法運(yùn)算規(guī)律：設(shè)

都是

矩陣，則

設(shè)

矩陣

，記稱

為矩陣

的負(fù)矩陣，由此定義矩陣的減法為兩同型矩陣相減即對(duì)應(yīng)位置的元素相減.顯然有線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算2、數(shù)與矩陣的乘法定義4注意：矩陣數(shù)乘與數(shù)乘行列式運(yùn)算的差異.例如但數(shù)

與矩陣

的乘積記作

或

，規(guī)定為線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算數(shù)與矩陣相乘的運(yùn)算規(guī)律：設(shè)

都是

矩陣，

為數(shù)，則

矩陣加法運(yùn)算和數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算合起來(lái),統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.問(wèn)題：矩陣經(jīng)線性運(yùn)算（加法和數(shù)乘）所得結(jié)果與參與運(yùn)算的矩陣有何一樣和參與運(yùn)算的矩陣是同型的.矩陣的線性運(yùn)算具有封閉性.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

手機(jī)、電腦中保存的數(shù)字圖像其實(shí)是用矩陣描述的.利用矩陣的線性運(yùn)算可以簡(jiǎn)單地實(shí)現(xiàn)圖像的融合、遮罩等效果.例如，設(shè)圖1中的日出照片對(duì)應(yīng)的矩陣為

，心形圖案對(duì)應(yīng)的矩陣為.對(duì)兩個(gè)矩陣分別執(zhí)行線性運(yùn)算，效果如圖2.圖1兩矩陣對(duì)應(yīng)的圖像圖2

兩圖像矩陣運(yùn)算后的結(jié)果線性代數(shù)線性方程組和矩陣引例

n個(gè)變量

與m個(gè)變量

之間的關(guān)系式

線性變換的系數(shù)

構(gòu)成矩陣

稱為線性變換的系數(shù)矩陣.表示一個(gè)從變量

到變量

的線性變換，其中

為常數(shù).線性變換和矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.二、矩陣的乘法運(yùn)算(矩陣與矩陣相乘)線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

歷史上，英國(guó)數(shù)學(xué)家AutherCayler為了描述線性變換的復(fù)合而引入矩陣乘法運(yùn)算的.

設(shè)有兩個(gè)線性變換

將（2）代入（1），便得新的線性變換

線性變換(1)與(2)的乘積線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

線性變換與矩陣對(duì)應(yīng)，于是新的線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣定義為線性變換（1）和（2）對(duì)應(yīng)矩陣的乘積，即線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算并把此乘積記作

定義5

設(shè)

是一個(gè)

矩陣，

是一個(gè)

矩陣，矩陣乘法運(yùn)算的定義那么規(guī)定矩陣

與矩陣

的乘積是一個(gè)

矩陣

，其中只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，兩矩陣才能相乘.注線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算乘積矩陣的型號(hào)：“要兩頭”說(shuō)明可乘原則：“中相等”乘積矩陣中的元素：乘積矩陣

的

位置上的元素

如下計(jì)算：對(duì)應(yīng)元素乘積之和線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算線性變換的矩陣表示形式

線性變換可表示為記為相當(dāng)于用矩陣左乘

得到線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算線性方程組的矩陣表示形式

線性方程組可表示為記為未知數(shù)矩陣常數(shù)項(xiàng)矩陣系數(shù)矩陣線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算例2.3設(shè)矩陣求解有意義，未必有意義.發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算例如在矩陣乘法中必須注意矩陣相乘的順序.是

左乘

的乘積；是

右乘

的乘積.即使

與

都有意義，它們也不一定相等.即使

與

都有意義，并且同型，它們也不一定相等.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算例2.3

設(shè)求

與

解發(fā)現(xiàn)（1）一般地（2）兩個(gè)非零矩陣的乘積可能等于零矩陣.即線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算例2.4

設(shè)求

及

解該題發(fā)現(xiàn)說(shuō)明消去律不成立！線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

矩陣乘法一般不滿足的運(yùn)算律（1）矩陣乘法一般不滿足交換律，即一般地，（因?yàn)榫仃嚦朔ㄟ\(yùn)算是有條件的.）（2）矩陣乘法一般不滿足消去律.（什么條件下可消去A呢？）矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;結(jié)合律分配律（假定運(yùn)算均可行）線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算對(duì)于兩個(gè)n階方陣,若,則稱方陣

與

是可交換的.例如若

則所以.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算矩陣乘法相關(guān)的一些結(jié)論（1）同階對(duì)角陣的乘積“橫著刷進(jìn)去”（2）對(duì)角陣與矩陣的乘積“按行刷進(jìn)去”線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算“豎著刷進(jìn)去”“按列刷進(jìn)去”（3）有關(guān)單位矩陣的乘積可見：?jiǎn)挝痪仃嘐

在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用.（4）純量矩陣與任何與其同階的方陣都是可交換的線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算思考：矩陣A與A何時(shí)可乘？A為方陣時(shí)方陣的冪設(shè)

為

階方陣，定義

的冪為其中

為正整數(shù).即

就是

個(gè)

連乘（

約定

）.由矩陣乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，不難得知方陣的冪滿足運(yùn)算律：其中

為非負(fù)整數(shù).線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算對(duì)于兩個(gè)階方陣與，一般來(lái)說(shuō)只有

可交換時(shí)等號(hào)成立.由于矩陣的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，所以由結(jié)合律，括弧隨便打若則線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算例

2.4

設(shè)

求解由歸納法，不難得到，所以線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算拓展：矩陣乘法的簡(jiǎn)單應(yīng)用矩陣乘法在圖形變換中的應(yīng)用圖像處理，3D游戲，虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)中矩陣乘法在機(jī)械臂控制的應(yīng)用多個(gè)機(jī)械關(guān)節(jié)完成的復(fù)合動(dòng)作(平移、旋轉(zhuǎn))就是通過(guò)若干個(gè)矩陣乘法運(yùn)算來(lái)控制機(jī)械臂完成指定動(dòng)作的.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算三、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義

6

把

矩陣

的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)

矩陣,稱為

的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例如線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置的運(yùn)算規(guī)律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）穿脫原則下面證明（4）.

設(shè)記則顯然故即運(yùn)算規(guī)律（2）和（4）可推廣到有限個(gè)矩陣的情形.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算例

2.5

已知解法1所以求因?yàn)榻夥?線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

設(shè)

為

階方陣，如果滿足

，即則稱

為對(duì)稱矩陣.例如是一個(gè)對(duì)稱矩陣.對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.

定義7線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

設(shè)

為

階方陣，如果滿足

，即則稱

為反對(duì)稱矩陣.例如是一個(gè)反對(duì)稱矩陣.

反對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)：主對(duì)角線上的元素全為0,其它元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)元素互為相反數(shù).

定義8可見線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算

例2.6

設(shè)列矩陣

滿足

，

為

階單位矩陣

，

證明

是對(duì)稱矩陣，且證因?yàn)樗?/p>

是對(duì)稱矩陣.注意

是n階方陣，與E可交換.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算四、方陣的行列式

定義9

由

階方陣

的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣

的行列式，記作

或例如注意

方陣和行列式是兩個(gè)不同的概念.方陣是一個(gè)正方形數(shù)表，行列式是正方形數(shù)表（方陣）按一定的運(yùn)算法則所確定的一個(gè)數(shù).線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算方陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

為

階方陣，

為數(shù)，則（由行列式性質(zhì)1

）（由矩陣的數(shù)乘運(yùn)算及行列式性質(zhì)3）雖然不一定有.線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算證

設(shè)下面證(3).則記

階行列式而由行列式的性質(zhì)，又有線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算加到第n+1列故線性代數(shù)矩陣的運(yùn)算例2.7

設(shè)