人教A版2019選修第三冊(cè)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2.1一元線性回歸模型1.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義；2.針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．教學(xué)目標(biāo)情境導(dǎo)入PART.01情境導(dǎo)入

恩格爾系數(shù)(Engel’sCoefficient)指的是居民家庭中食物支出占消費(fèi)總支出的比重，是表示生活水平高低的一個(gè)指標(biāo)．其計(jì)算公式：恩格爾系數(shù)＝食物支出金額÷總支出金額．

一個(gè)家庭收入越少，家庭總支出中用來購(gòu)買食物的支出所占的比例就越大，隨著家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭支出中用來購(gòu)買食物的支出所占比例將會(huì)下降.思考：恩格爾系數(shù)是預(yù)測(cè)生活水平高低的一個(gè)模型，那么當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，我們?nèi)绾螌?duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立一個(gè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)？溫故知新1.樣本相關(guān)系數(shù)：2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②|r|≤1；③當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；特別地，當(dāng)|r|＝0時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)|r|＝1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)都落在一條直線上.問題提出

通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.

進(jìn)一步地，如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個(gè)模型研究?jī)蓚€(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測(cè).下面我們研究當(dāng)兩個(gè)變量線性相關(guān)時(shí)，如何利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計(jì)模型，并利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的問題.

一元線性回歸模型PART.02概念講解問題1：一般來說，父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如下表所示.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182利用前面表示數(shù)據(jù)的方法，以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系，再將表中的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)表示為散點(diǎn)圖，如右圖所示.由圖可知散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.概念講解思考1：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個(gè)和第8個(gè)觀測(cè)父親的身高均為172cm，而對(duì)應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個(gè)觀測(cè)中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見兒子的身高不是父親身高的函數(shù)同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來刻畫.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182概念講解我們稱(1)式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖不能由變量x的值確定，但卻能表示為bx+a與e的和，前一部分由x所確定，后一部分是隨機(jī)的.如果e=0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.由于兒子的身高和父親的身高身高有較強(qiáng)的線性相關(guān)，因此我們可以用一次函數(shù)來刻畫父親身高對(duì)兒子身高的影響，而把影響兒子身高的其他因素作為隨機(jī)誤差，得到刻畫兩個(gè)變量之間關(guān)系的線性回歸模型.

若用x表示父親身高，Y表示兒子身高，e表示隨機(jī)誤差.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為與父親身高無關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為

概念講解問題1：為什么要假設(shè)E(e）=0，而不假設(shè)其為某個(gè)不為0的常數(shù)？①因?yàn)檎`差是隨機(jī)的，即取各種正負(fù)誤差的可能性一樣，所以它們均值的理想狀態(tài)應(yīng)該為0.②如果隨機(jī)誤差時(shí)一個(gè)不為0的常數(shù)α，則可以將α合并到截距項(xiàng)a中，否則模型無法確定，即參數(shù)沒有唯一解.③另外，如果α不為0，則表示存在系統(tǒng)誤差，在實(shí)際建模中也不希望模型有系統(tǒng)誤差，即模型不存在非隨機(jī)誤差.概念講解問題2：結(jié)合父親與兒子身高的實(shí)例，說明回歸模型(1)的意義？

E(Y)=E(bx+a+e)=E(bx+a)+E(e)=(bx+a)+0=bx+a問題3：對(duì)于父親身高為xi的某一名男大學(xué)生，他的身高yi一定是bxi+a嗎？

概念講解思考2：結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型(1)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因嗎?在研究?jī)鹤由砀吲c父親身高的關(guān)系時(shí)，產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有:(1)除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等；(2)在測(cè)量?jī)鹤由砀邥r(shí)，由于測(cè)量工具、測(cè)量精度所產(chǎn)生的測(cè)量誤差；(3)實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.典例分析PART.03概念辨析

×2.（多選）在如圖所示的四個(gè)散點(diǎn)圖，適合用一元線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是().AC典例分析1．在一元線性回歸模型中，下列關(guān)于Y＝bx＋a＋e的說法正確的是(

)A．Y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)B．響應(yīng)變量Y是由解釋變量x唯一確定的C．響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D．隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生解：對(duì)于A，一元線性回歸模型中Y＝bx＋a＋e表示的不是確定性關(guān)系，因此不是一次函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，響應(yīng)變量Y不是由解釋變量x唯一確定的，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生，所以C正確；對(duì)于D，隨機(jī)誤差不是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，是不能避免的，只能將誤差縮小，所以D錯(cuò)誤．故選C.C典例分析例1.

若某地財(cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單元：億元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過多少？解：因?yàn)樨?cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中b＝