專題2.9角的軸對稱性（直通中考）

【要點回顧】

【知識點一】角的平分線的性質(zhì)

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

【知識點二】角的平分線的判定

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

【知識點三】角的平分線的尺規(guī)作圖

角平分線的尺規(guī)作圖

A

（1）以0為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交0A于D,交0B于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于LDE的長為半徑畫弧，兩弧在/AOB內(nèi)部交于點C.

2

（3）畫射線0C.

射線0C即為所求.

近幾年以來，角平分線和線段垂直平分線多以作圖的為背景出現(xiàn)，同時融入了角平分線

和垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行證明和求值。

一、單選題

1.（2022?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（）

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C.NDBF+NDFB=90°D.ZBAF=ZEBC

2.（2022?浙江舟山?中考真題）用尺規(guī)作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（）

3.（2023?福建?統(tǒng)考中考真題）閱讀以下作圖步驟:

①在。4和上分別截取OC,。。，使OC=OD；

②分別以C,。為圓心，以大于：CD的長為半徑作弧，兩弧在/AQ5內(nèi)交于點M；

③作射線加，連接如圖所示.

根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（）

B.Z1=Z3S.CM=DM

C.Z1^Z2B.OD=DMD./2=/3且=

4.（2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作/肱W的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論

A.AD=AEB.AD=DFC.DF=EFD.AF1.DE

5.（2022?四川資陽?中考真題）如圖所示，在AABC中，按下列步驟作圖:

第一步：在AB、AC上分別截取AD、AE,使AD=AE；

第二步：分別以點。和點E為圓心、適當(dāng)長（大于DE的一半）為半徑作圓弧，兩弧交于點R

第三步：作射線■交BC于點M；

第四步：過點M作于點N.

C.ZCAM=ZBAMD.ZCMA=ZNMA

6.（2022?遼寧,統(tǒng)考中考真題）如圖，OG平分團(tuán)MON,點A,8是射線OM,ON上的點，連接A8.按以

下步驟作圖：①以點8為圓心，任意長為半徑作弧，交A8于點C,交BN于點。；②分別以點C和點。

為圓心，大于gc。長為半徑作弧，兩弧相交于點E；③作射線8E,交OG于點P.若EABN=140。，^MON

=50。，則回OPB的度數(shù)為（）

C.55°D.65°

7.（2021?四川廣元?統(tǒng)考中考真題）觀察下列作圖痕跡,所作線段CD為URC的角平分線的是（）

A.B.

8.（2021?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）如圖,RSABC中，ZABC=90°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)

論錯誤的是（）

A.DB=DEB.AB=AEC.NEDC=NBACD./DAC=NC

二、填空題

9.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，NC=90。，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，

以小于AC長為半徑作弧，分別交AC,AB于點N；②分別以“，N為圓心，以大于;的長為半

徑作弧，在N3AC內(nèi)兩弧交于點。；③作射線A。，交BC于點D.若點。到的距離為1,則8的長

為.

10.（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線AB〃CD,直線E尸分別與AB,CD交于點E,尸，小

明同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖：

（1）點E為圓心，以任意長為半徑作弧交射線￡B于點交射線收于點N；

（2）分別以點M,N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在NBE廠內(nèi)交于點尸；

（3）作射線EP交直線8于點G；若NEGF=29。，則ZBEF=度.

11.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，①在OA08上分別截取線段。，OE,使O￡>=OE；②分別

以“￡為圓心，以大于;DE的長為半徑畫弧,在NAOB內(nèi)兩弧交于點C；③作射線OC.若ZAOB=60°,

貝I]ZAOC=

A

D.

C

OEB

12.（2023?吉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AMC中，AB^AC,分別以點8和點C為圓心，大于gsC的

長為半徑作弧，兩孤交于點。，作直線AD交于點E.若N54C=110。，則—BAE的大小為度.

13.（2022?湖南郴州?統(tǒng)考中考真題）如圖.在AABC中，ZC=90°,AC=BC.以點A為圓心，以任意長

為半徑作弧交A8,AC于D,E兩點；分別以點，E為圓心，以大于長為半徑作弧，在/胡C內(nèi)兩

弧相交于點尸；作射線AP交BC于點E過點尸作/G1AB,垂足用G.若AB=8cm,則AMG的周長

等于cm.

14.（2022?北京?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AD平分若AC=2,DE=1,則5AAe=

15.（2022,湖南株洲,統(tǒng)考中考真題）如圖所示，點。在一塊直角三角板ABC上（其中NABC=30。），OM±AB

于點M,ONLBC于點、N,若OM=ON,則/ABO=度.

c

16.（2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，求的度數(shù)1

17.（2021?福建?統(tǒng)考中考真題）如圖，AD是AABC的角平分線.若NB=90。,BD=6,則點。到AC的

距離是.

18.（2021?湖南長沙?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分/交于點。，DEJ.AB,

垂足為E,若BC=4,DE=1.6,則3D的長為.

三、解答題

19.（2022?山東青島?統(tǒng)考中考真題）己知：RtAABC,?B90?.

求作：點尸，使點P在"RC內(nèi)部，且PB=PC,NPBC=45°.

A

20.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC中，點。在邊AC上，且

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出NA的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）若（1）中所作的角平分線與邊BC交于點E,連接DE.求證：DE=BE.

2L（2022?陜西?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC,C4=CB,NACD是的一個外角.請用尺規(guī)作圖法,

求作射線CP,使C尸〃AB.（保留作圖痕跡，不寫作法）

22.（2022?廣東?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知NAOC=/BOC,點P在。C上，PDLOA,PELOB,垂

足分別為。，E.

求證：VOPD^VOPE.

A

23.（2021?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）如圖，在放AABC中，0ACB=9O°,且AC=AD

（1）作asac的平分線，交BC于點E；（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接。E,證明

24.（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9："平分一個已知角."

即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在。4和。8上

分別取點C和，使得OC=8,連接CO,以CO為邊作等邊三角形CDE,則OE就是—AC?的平分線.

請寫出0E平分/AOB的依據(jù)：:

類比遷移：

（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：ACDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=上即可.他查閱資料：

我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在NAO3的邊上分別取OM=ON,移動

角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M,N重合，則過角尺頂點C的射線0C是-403的平分線，請說明

此做法的理由；

拓展實踐：

（3）小明將研究應(yīng)用于實踐.如圖4,校園的兩條小路和AC,匯聚形成了一個岔路口A,現(xiàn)在學(xué)校

要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A

的距離和休息椅。到岔路口A的距離相等.試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在

對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。尸垂直平分42,BE是-ABC的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和

角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得。/垂直平分AB,BE是-ABC的角平分線，

AF=BF,ZBDF=90°,ZABF=NCBE,

ZABF=ZBAF,ZDBF+ZDFB=90°,

:.ZBAF=NEBC,

綜上，正確的是A、C、D選項，

故選:B.

【點撥】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩

銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】根據(jù)作圖軌跡及角平分線的定義判斷即可得出答案.

【詳解】A、如圖，

由作圖可知：OA=OC,AB=BC,

又回03=03,

0AOAB=^OCB,

^\ZAOB=ZCOB,

團(tuán)QB平分/AOC.

故A選項是在作角平分線，不符合題意;

B、如圖

由作圖可知：OA=OB,OC=OD,

又回NCO3=NAOD,

SAOBC=^OAD,

SOA=OB,ZOAD=ZOBC,ZOCB=ZODA,

SAC=BD,

0ZCEA=/BED,ZECA=Z.EDB,

0AAEC=ABED,

SAE=BE,

0/EAO=ZEBO,OA=OB,

團(tuán)AOAE=AOBE,

SZAOE=ZBOE,

EIOE平分/AO3.

故B選項是在作角平分線，不符合題意；

C、如圖，

O'B

由作圖可知：ZAOB=ZMCN,OC=CD,

^CD//OB,ZCOD=ZCDO,

◎NDOB=NCDO,

SZCOD=ZDOB,

團(tuán)0。平分/A03.

故C選項是在作角平分線，不符合題意；

D、如圖，

由作圖可知：OA=BC,OC=AB,

又回03=03,

團(tuán)AAOB=^CBO,

團(tuán)ZAOB=NOBC,/COB=ZABO,

故D選項不是在作角平分線，符合題意;

故選：D

【點撥】本題考查了角平分線的作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,再結(jié)合=可得ACOM四△DQW(SSS),由全等

三角形的性質(zhì)可得N1=Z2即可解答.

【詳解】解：由作圖過程可得：OD=OC,CM=DM,

SDM=DM,

0ACOM%DOM(SSS).

0Z1=Z2.

0A選項符合題意；

不能確定OC=C0,則Zl=N3不一定成立，故B選項不符合題意；

不能確定8=加，故C選項不符合題意，

不一定成立，則—2=Z3不一定成立，故D選項不符合題意.

故選A.

【點撥】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，理解尺規(guī)作圖過程是

解答本題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】根據(jù)作圖可得即，進(jìn)而逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得==故A,C正確；

回AE在DE的垂直平分線上，

回AF1DE,故D選項正確，

而止=跖不一定成立，故B選項錯誤，

故選：B.

【點撥】本題考查了作角平分線，垂直平分線的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】根據(jù)題意可知，A”平分即可得出正確答案.

【詳解】解：由題意可知，AM平分/C4B,

國/C不一定等于90。，?CMNMN,因此A選項不正確；

團(tuán)/C不一定等于90。，回AC不一定等于AN,因此B選項不正確；

EIAM平分/C4B,SZCAM=ZBAM,因此C選項不正確；

回/C不一定等于90。，回NCM4不一定等于N7W4,因此D選項不正確；

故選c.

【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖一一角平分線，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握角平分線的作圖

方法是本題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】根據(jù)條件可知3P平分/ABN求出/P3N,根據(jù)。G平分NMON求出NBOG,進(jìn)而利用

ZPBN=Z.POB+NOPB即可求出答案.

【詳解】解：由作法得平分445N

NPBN=-NABN=-xl40°=70°,

22

EIOG平分

ZBOP=-ZNOM=lx50°=25°,

22

ZPBN=ZPOB+ZOPB,

ZOPB=ZPOB-ZPBN=70-25=45°.

故選：B.

【點撥】本題主要考查角平分線的定義，三角形的外角的定理，根據(jù)題目條件發(fā)現(xiàn)角平分線是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】根據(jù)角平分線畫法逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A：所作線段為邊上的高，選項錯誤；

2：做圖痕跡為邊上的中垂線，CZ)為邊上的中線，選項錯誤；

C：CO為/AC3的角平分線，滿足題意。

D：所作線段為A2邊上的高，選項錯誤

故選：C.

【點撥】本題考查點到直線距離的畫法，角平分線的畫法，中垂線的畫法，能夠區(qū)別彼此之間的不同是解

題切入點.

8.D

【分析】由尺規(guī)作圖可知AD是回CAB角平分線，DE0AC,由此逐一分析即可求解.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，AD是回CAB角平分線，DE0AC,

在IBAED和EIABD中：

ZAED=ZAB￡)=90

=ABAD,00AED0BABD(AAS),

AD=AD

0DB=DE,AB=AE,選項A、B都正確,

又在RtfflEDC中，0EDC=9O°0C,

在RtEIABC中，0BAC=9O°0C,

fflEDC=EBAC,選項C正確，

選項D,題目中缺少條件證明，故選項D錯誤.

故選：D.

【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖角平分線的作法，熟練掌握常見圖形的尺規(guī)作圖是解決這類題的關(guān)鍵.

9.1

【分析】根據(jù)作圖可得AD為-C鉆的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點。作DE上于點E,依題意￡>E=1,

根據(jù)作圖可知AD為NCAB的角平分線,

S1DC±AC,DE.LAB

iaCD=DE=l,

故答案為：1.

【點撥】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.58

【分析】由作圖得EG平分ZBE尸，再根據(jù)平行線的性質(zhì)"兩直線平行，內(nèi)錯角相等〃易得

ZBEG=ZEGF=29°,即可獲得答案.

【詳解】解：由作圖得：EG平分ZBEF,

旦NBEF=2NBEG,

SAB//CD,

@NBEG=NEGF=29°,

0Z.BEF=2Z.BEG=58°.

故答案為：58.

【點撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖基本作圖以及平行線的性質(zhì)，由作圖得到EG平分ZB所是解題關(guān)鍵.

11.30

【分析】由作圖可知OC是-493的角平分線，根據(jù)角平分線的定義即可得到答案.

【詳解】解：由題意可知，0C是/AO3的角平分線，

0ZAOC=-ZAOB=-x6O°=3O°.

22

故答案為：30

【點撥】此題考查角平分線的作圖、角平分線相關(guān)計算，熟練掌握角平分線的作圖是解題的關(guān)鍵.

12.55

【分析】首先根據(jù)題意得到AO是NBAC的角平分線，進(jìn)而得到/剛后=/。4￡=3/加。=55。.

【詳解】回由作圖可得，AD是ZBAC的角平分線

0NBAE=NCAE=-ABAC=55°.

2

故答案為：55.

【點撥】此題考查了作角平分線，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

13.8

【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到CF=GE,然后求出△班G的周長即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，

在AABC中，ZC=90°,AC=BC,

由角平分線的性質(zhì)，得CF=GF,

回△BPG的周長為：

BG+BF+FG=（AB-AG）+BC=AB-AC+BC=AB=8；

故答案為：8

【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì).

14.1

【分析】作。F1AC于點R由角平分線的性質(zhì)推出=Z）E=1,再利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：如圖，作O尸于點產(chǎn)，

回AO平分，54C,DEJ.AB,DFJ.AC,

國DF=DE=L

0SACfl=|AC-DF=|x2xl=l.

故答案為：L

【點撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，通過作輔助線求出三角形AC。中AC邊上的高是解題的關(guān)鍵.

15.15

【分析】根據(jù)ON_L3C,OM±AB,OM=ON判斷OB是/A3C的角平分線，即可求解.

【詳解】解：由題意，ON1BC,OMLAB,OM=ON,

即點。到8C、AB的距離相等，

團(tuán)08是/ABC的角平分線，

0ZABC=30°,

0ZABO=-ZABC=15°.

2

故答案為：15.

【點撥】本題考查角平分線的定義及判定，熟練掌握"到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上"

是解題的關(guān)鍵.

16.60

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB〃CD,故可得出財8。的度數(shù)，由角平分線的定義求出團(tuán)E3F的度數(shù)，

再由跖是線段的垂直平分線得出SEES、回2所的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

0AB//CD,

0ZA5D=ZCDB=60°,

由尺規(guī)作圖可知，BE平分0A8Z),

0ZEBF=-ZABD=1x60°=30°,

22

由尺規(guī)作圖可知跖垂直平分8。，

aa￡FB=90o,

0NBEF=90°-/EBF=60°,

00a=E,B￡F=6Oo.

故答案為：60。.

【點撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖基本作圖、角平分線以及垂直平分線的知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握5種

基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平

分線；過一點作已知直線的垂線）.

17.V3

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，即可求得.

【詳解】如圖，過D作。則。到AC的距離為。E

?.?AD平分NC4B,ZB=90°,BD=y/3,

DE=BD=y/3

???點。到AC的距離為VL

故答案為6.

【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點到直線的距離等知識，理解點到直線的距離的定義，熟知角平分

線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

18.2.4

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DE=L6,再根據(jù)線段的和差即可得.

【詳解】解：平分/BAC,NC=90。，DEJ.AB,DE=1.6,

CD=DE=1.6,

?.?3C=4,

BD=BC-CD=4-1.6=2.4,

故答案為：2.4.

【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.見解析

【分析】分別以點B、C為圓心，大于BC長的一半為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，然后再以點8

為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB、于點M、N,以點M、N為圓心，大于長一半為半徑畫弧，

交于一點。，連接2Q，進(jìn)而問題可求解.

【詳解】解：如圖，點P即為所求：

【點撥】本題主要考查角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖是

解題的關(guān)鍵.

20.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）利用角平分線的作圖步驟作圖即可；

（2）證明△班E/Z\/ME（SAS）,即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，

(2)證明：EIAE平分/54C,

OZBAE=ZDAE,

0AB=ADiAE=AE,

ElABAE/ADAE(SAS),

國DE=BE.

【點撥】此題考查了角平分線的作圖、全等