2023?2024學(xué)年上一階考試數(shù)學(xué)試卷

滿分：150分時間：120分鐘

一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列五個寫法:①{0}e{123}；②0a{0}；③{0,1,2}口{1,2,0}；@OG0.⑤010=0,其中

錯誤寫法的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)“e”用于元素與集合，“n”用于集合與集合間判斷出①⑤錯，根據(jù)。是不含任何元素的集合

且是任意集合的子集判斷出②④的對錯；根據(jù)集合元素的三要素判斷出③對.

【詳解】對于①，“e”是用于元素與集合的關(guān)系，故①錯；

對于②，0是任意集合的子集，故②對；

對于③，根據(jù)集合中元素的無序性可知兩個集合是同一集合，任何一個集合都是它本身的子集，故③對；

對于④，因為0是不含任何元素的集合，故④錯；

對于⑤，因為“n”用于集合與集合，故⑤錯.

故錯誤的有①④⑤，共3個，

故選：C.

2.設(shè)全集為R,集合Z={x[0<x<2},5=|x|x>l},則/（"13理）=

A.|x|0<x<l}B.1x|0<x<l}C.|x|l<x<2}D.1x|0<x<2}

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：由題意首先求得。8,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可得：QS={x|x<l）,

結(jié)合交集的定義可得:zn（CM）={o<x<i}.

本題選擇3選項.

點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

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3.命題“*eR,――2X+2W0”的否定是（

A.eR,x2-2x+2>0B.3xeR,x2-2x+2>0

22

C.VxeR,X-2X+2<0D.VxeR,x-2x+2>0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)特稱命題的否定直接得出答案.

【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，

所以命題“*eR,――2x+2?0”的否定是為：VxeR,2x+2〉0，

故選：D.

4.定義N?3=1x|x=:,加若/={124},5={2,4,8}則“03中元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)新定義中運(yùn)算的性質(zhì)，求出集合中的元素即可.

【詳解】因為2?8=1x|x=：,加且/={1,2,4},5={2,4,8},

當(dāng)加=1時，〃可能為2,4,8,此時x的取值為：

248

當(dāng)加=2時，〃可能為2,4,8,此時x的取值為：1,-,-；

24

當(dāng)加=4時，〃可能為2,4,8,此時x的取值為：2,1,-；

2

綜上可知：A0B={-,-,-,l,2）,所以集合Z區(qū)8中元素個數(shù)為5,

842

故選：D.

5.設(shè)集合/={—1,0/},集合5=卜卜〉/},若/cB=0,則實數(shù)/的取值范圍為（）.

A.t<lB.t>l

C.t<\D.t>\

【答案】B

【解析】

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【分析】直接根據(jù)交集為空集得到答案.

【詳解】集合/={—1,0/},集合8={小>小若4c8=0,故/21.

故選：B.

6.設(shè)集合2=卜|/+》一6=0},5={x|wx+l=0},則B是A的真子集的一個充分不必要的條件是

A.meB.m^O

C.0,-VD.me<0,^-

I23

【答案】D

【解析】

A-|x|x2+x—6=o}={2,—3}

【詳解】

若加=0,則8=。,B<^A,

若機(jī)=-；,則8={2}]A,

若加=；,則3={—3}]A,；.5^A的一個充分不必要條件是加［0,；}.

7.若不等式辦2+bx+c〉0的解集為{x|—l<x<2},則不等式a(x?+l)+b(x—l)+c〉2ax的解集是

()

A.]x0<x<

Cx|l<X<3}D.|x|-l<x<3}

【答案】A

【解析】

J

【分析】由題知《°,a<0,進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為V—3x<0,再解不等式即可.

-=-2

4

【詳解】解：由+l)+b(x-l)+c〉2ax,整理得+(6-2a)x+(a+c-6)>0①.

又不等式ax2+Zzx+c〉0的解集為{x|-1<x<2},

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J

(-1)+2=--

a日口a

所以a<0,且<，即＜②

(-1)x2=--=-2

a

將①兩邊同除以〃得:

將②代入③得：X2-3X<0，解得0<X<3.

故選：A

8.設(shè)。為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式/-辦+7之0在區(qū)間（2,7）上有實數(shù)解，則。的取值范圍是（）

A.B.（-oo,8]C.（-叫26）D.1-00,5J

【答案】A

【解析】

【分析】參變分離，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合能成立問題求最值即可.

【詳解】由題意，因為xe（2,7）,故+?在區(qū)間（2,7）上有實數(shù)解，則。<x+2，又

XI"max

g（x）=x+2在（2,⑺上單調(diào)遞減，在（J7,7）上單調(diào)遞增，且g（2）=2+；=:,

77

g⑺=7+,=8〉g(2),故<8.故a<x+—在區(qū)間（2,7）上有實數(shù)解則a<8.

XX

故選：A

二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）

9.下列敘述中正確的是（）

A.若2口3=2,則Z=8；B.若xe/PlB,則xe/UB；

ba

C.已知a,beR,貝上一〈一”是"a<6<0"的必要不充分條件；D.命題“VxeZ,/>0”的是真命題.

ab

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)交集、并集的定義判斷A,B,根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷C,利用特例判斷D；

【詳解】解：對于A：若幺口3=2,則2=8,故A正確；

對于B：若xeZPlB，則xe/且所以故B正確；

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9工八4b/bab2-a2（b-a）（b+a）

對于C：由一<一,即-----=-------二-----------<0,所以a>b>0或Q<6<0或人>一?！?

abababab

或—b〉a〉0,故充分性不成立，由a<6<0可以得到2<q,故"2<@”是，，。<6<0"的必要不充分

abab

條件，故C正確；

對于D：當(dāng)x=0時，%2=0>故D錯誤；

故選：ABC

10.設(shè)集合""={x|x=6左+1,左ez},N={x|x=6k+4,左ez},0={x|x=3左一2,左ez},則下列

說法中正確的是（）

A.M=NUPB.（MUN）Op

C.McN=0D.bpM=N

【答案】CD

【解析】

【分析】

求出集合MUN=尸以及ATN,可判斷出各選項的正誤.

【詳解】：Af={x|x=66+1,1eZ}=|x=3-（2k+1）-2,keZ1,

N={x|x=6k+4,左eZ}={xk=3-（2k+2）-2,左eZ）,

當(dāng)上eZ時，24+1為奇數(shù)，2k+2為偶數(shù),

則ATN,M\JN=P,MCN=0,QPM=N.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于將集合M、N分別變形為初=3卜=3?（2左+1）-2,左eZ卜

N==3-（2A;+2）-2,A;GZ,結(jié)合兩個集合中元素的表示形式來進(jìn)行判斷.

11.若“ceR,則下列命題正確的是（）.

A.若abW0且。<b,則一〉不B.若0<a<l,則/<a

ab

C.若H>6>0,則---->—D.若c<6<Q且。。<0,則cb2<ab2

a+1a

【答案】BC

【解析】

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【分析】舉反例得到AD錯誤，若0<a<i,則/<4，B正確，要使空>2,即ab+a>ab+3,C正

(7+1a

確，得到答案.

【詳解】對選項A：取。=一1,b=l,滿足且a<6,則［<［,錯誤；

ab

對選項B：若Ova<l,貝！J/<a，正確；

對選項C:<3>Z?>0,要使---—,即++即a>6,正確；

對選項D：取。=1,b=0,。=一1,滿足條件，此時cZ?2=a〃，錯誤；

故選：BC.

12.下列各說法中正確的是().

x

A.“孫〉0”是“一〉0”的充要條件

y

7X2+9+.1

B.的最小值為2

C.:"的最小值為2

正+4

D.不等式(x+1)(2-其〈0的解集是{x|x<-l或x>2}

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)充要條件的定義判斷A正確，解不等式得到D正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值確定BC錯

誤，得到答案.

xx

【詳解】對選項A：xy>0,一〉0均表示X/同正同負(fù)，“砂〉0”是“一〉0”的充要條件,

JJ

正確；

對選項B：設(shè)/=6+9,tN3,/(7)=/+：在［3,+8)上單調(diào)遞增，

故函數(shù)最小值為/(3)=與，錯誤；

對選項C：/-=Nx2+4T—I,設(shè)/=J*+4,Z>2,

yjx2+4Vx2+4

g(/)=/+,在［2,+“)上單調(diào)遞增，故函數(shù)最小值為g(2)=g,錯誤；

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對選項D：等式(x+1)(2-x)<0的解集是{x|x<-1或x>2},正確;

故選：AD.

三、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.集合{(x,y)|x+y=4,xeN*/eN*}用列舉法可表示為.

【答案】{(1,3),(3,1),(2,2))

【解析】

【分析】直接列舉得到答案.

【詳解】{(x/)|x+y=4,xeN*/eN*}={(l,3),(3』),(2,2)}.

故答案為：{(1,3),(3,1),(2,2)}.

V—1

14.不等式一^>0的解集為_________.

x+2

【答案】{x|x>l或x<—2}

【解析】

【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)分式不等式解法可知—>0等價于(x-1)(x+2)>0,

?X十N

由一元二次不等式解法可得X>1或x<-2；

所以不等式臺|〉0的解集為{x|x>l或x<-2}.

故答案為：{%比>1或》<一2}

15.已知命題“X/xeR,4/+(。-2)x+：〉0”是假命題，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(一叫0/[4,+8)

【解析】

71

【分析】根據(jù)命題為假，得到A=(a—2)——4x4x720,解得答案.

【詳解】命題“X/xeR,依+⑺―2.+京〉0”是假命題，故A=(a—2)——4x4xy0,

解得。24或a〈0.

故答案為：(一℃,0]U[4,+oo).

16.已知ae[-1,1],不等式f+(a-4)x+x-2a>0恒成立，則x的取值范圍.

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【答案】x<1-百或x>2+

【解析】

【分析】根據(jù)給定的不等式，構(gòu)造一次型函數(shù)，再利用函數(shù)的圖象特征列出不等式組求解即得.

【詳確軍】不等式+(Q—4)X+X—2Q>0等價于(％—2)。+12-3x〉0,令/(a)=(x-2)tz+x2-3x,

0[/(-1)>0

依題意，Vtz€[-1,1],f(tz)=(x-2)a+x2-3x>0,于是<,

x?—4x+2>0,—1—

即V2cCC，A?X2-4X+2>0,得x<2—收或x>2+行，

x—2x—2〉0

Wx2-2x-2>0>得x<l-V3或x〉1+y/3>

因此x<l—6或x〉2+C，

所以x的取值范圍是x<l-G或》〉2+也.

故答案為：x<1-或x〉2+行

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知全集。=R,集合Z={x[—5?x<—1},集合3={x|x+4N0}.求：

(1)AuB；

(2)令(ZcB).

【答案】⑴[-5,+8)

(2)(-oo,-4)u(-l,+oo)

【解析】

【分析】(1)利用交集概念及運(yùn)算即可得到結(jié)果；

(2)先求交集，進(jìn)而求補(bǔ)集即可.

【小問1詳解】

?.?集合/={x|—5VxW—1},集合5={x|xN-4}.

B=[-5,+8)；

【小問2詳解】

,集合Z={x|—5<x<—l},集合3={x|x2—4}.

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JnS=[-4,-l],

2(/c8)=(—oo,—4)D(—1,+oo).

18.某企業(yè)為積極響應(yīng)國家垃圾分類號召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，新上一個把廚余垃圾加工

處理為可重新利用的化工產(chǎn)品的項目.已知該企業(yè)日加工處理量x(單位：噸)最少為70噸，最多為100

噸.日加工處理總成本(單位:元)與日加工處理量x之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為了=；X2+40X+3200,

且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為110元.

(1)該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸

廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？

(2)為了使該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進(jìn)行財政補(bǔ)貼，補(bǔ)貼方案共有兩種：

①每日進(jìn)行定額財政補(bǔ)貼，金額為2300元；

②根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財政補(bǔ)貼，金額為30x元.如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得最大利潤，你會選

擇哪種補(bǔ)貼方案？為什么？

【答案】(1)日加工處理80噸時平均成本最低，處于虧損狀態(tài)；

(2)選擇方案二，日獲利較多.

【解析】

【分析】(1)利用基本不等式計算比較即可；

(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論計算比較即可.

【小問1詳解】

2OAA

由題意可得，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本為-=-+40+,70<x<100,

x2x

又土+%+40“小型￡+40=120,當(dāng)且僅當(dāng)3=%即*=80時，等號成立，

2xV2x2x

所以每日處理廚余垃圾80噸時，平均成本最低，

又110<120,所以此時處理廚余垃圾處于虧損狀態(tài)；

【小問2詳解】

若該企業(yè)采用第一種補(bǔ)貼方案，設(shè)企業(yè)每日獲利為％元，

由題意可得必=110x—j；x2+40x+320()j+2300=—；x2+70x—900=——70)2+1550,

因為70<x<100,所以當(dāng)x=70時，企業(yè)每日獲利最大，%為1550元,

若該企業(yè)采用第二種補(bǔ)貼方案，設(shè)該企業(yè)每日獲利為必元，

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由題意可得%=140%—1萬*+40x+3200J=—5(x—100)+1800,

因為70<x<100,所以當(dāng)x=100時，企業(yè)每日獲利最大，%為1800元，

顯然1550<1800,如果我是決策者，我會選擇方案二，企業(yè)每日獲利較大.

21,

19.(1)若正實數(shù)滿足x,y滿足一+丁=1,求研的最小值.

x4y

(2)若。,6>0,且ab=a+26+4,求a+6最小值.

【答案】(1)2⑵3+2a

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出研的最小值.

(2)變形給定等式，再利用基本不等式求解即得.

八八2112~FFTC211

【詳解】(1)因為x>0/>0,貝打=—+一22]-------=1—,解得期》2,當(dāng)且僅當(dāng)一=丁=彳

x4y\x4y\xyx4y2

時取等號，

所以x=4,y=1■時，xy的最小值為2.

(2)由ab=a+26+4,^ab-a-2b=4,即(a—2)(6—1)=6,

6〃+4

顯然6=1+、一=^—,而。,6>0,于是a>2]>l,

a—2a—2

因此6=(a—2)3—l)<("2124)2,解得a+623+2指，當(dāng)且僅當(dāng)a—2=6—1時取等號，

由a—2=6—1,且(a—2)(6—1)=6,a-2+V6,b—\+V6，

所以當(dāng)4=2+遙力=1+逐時，a+6的最小值為3+2指.

20.已知關(guān)于x的不等式以2一3》+2>0的解集為{x|x<l或x>6}.

(1)求。，b的值；

ab

(2)當(dāng)x>0,>>0且滿足一+—=1時，有2x+yN/+左+2恒成立，求上的取值范圍.

xy

【答案】(1)a—\,b=2

⑵[-3,2]

【解析】

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【分析】（1）由不等式"2_3x+2>0的解集為{x|x<1或x>6},得到1和6是方程a/一3x+2=0的

兩個實數(shù)根求解.

12（12、v4x

（2）根據(jù)?=1,由2x+y=（2x+y）x—I—=4H--x---1-----，利用基本不等式求得最小值即可.

%vvyJy

【小問i詳解】

解：因為不等式ax--3x+2>0的解集為{x|x<1或x>6},

所以1和6是方程af—3》+2=0的兩個實數(shù)根，且。>0,

}+h=-

a<7=1

所以《解得《

b=2

l-b=-

a

即a=1,b=2.

【小問2詳解】

[a=112

由（1）知],于是有一+一=1,

b=2xj

故2x+y=（2x+y）[L+2]=4+上+把三4+2?=8,

y）XV

y4x121[x=2

當(dāng)且僅當(dāng)二=——，結(jié)合一+—=1,即時，等號成立,

xyxy[v=4

依題意有（2x+y）1ranNF+k+2,即82/+左+2,

得/+k-6V0,5P-3<k<2,

所以上的取值范圍為卜3,2].

21.設(shè)集合Z={x|X2-3X+2=0},B={XIx2+2（a+l）x+a2-5=0}

（1）若/08={2},求實數(shù)a的值；

（2）若U=R,/n（令8）=4求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）-1或—3；（2）aw-1且aw—3且a7—1土

【解析】

【分析】

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(1)由條件可知集合8中包含元素2,所以代入求。，并驗證是否滿足條件；(2)由條件得/C5=0,

分/<0和A>O,A=O三種情況討論，得到a的取值范圍.

【詳解】(1)A={1,2},

由/c_S={2}可知，2~+4(a+1)+—5=0,

即。2+4。+3=0,解得：。=-1或。=-3,

當(dāng)a=_l時，4=0nx=±2,此時8={-2,2},滿足Nc3={2},

當(dāng)°=一3時，X2-4X+4=0=>X=2>此時8={2},滿足/c5={2}.

所以實數(shù)。的值是-1或-3；

(2)VU=R,4n(華R)=4,；.4口0B,則/c5=0

①當(dāng)A=4(a+1『—4(6—5)=8。+24<0,即a<—3時，此時5=0,滿足條件；

②當(dāng)△=()時，a=—3,即3={2},Ar^B={2},不滿足條件；

③當(dāng)A〉0時，即。>一3時，此時只需2史B,

將2代入方程得。=一1或。=一3,將1代入方程得q2+2a_2=0，得a=—1土g，

綜上可知，。的取值范圍是aw-1且aw—3且aw-1土造’

【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：1.當(dāng)集合的元素是方程的實數(shù)根時，根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)時，注意回代檢驗,

否則會造成增根情況，當(dāng)集合是區(qū)間形式表示時，注意端點(diǎn)值的開閉；

2.當(dāng)集合的運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系時，注意討論空集情況，容易忽略這一點(diǎn).

22.已知°為常數(shù)，二次函數(shù)/(x)=x2—ax+a+3.

(1)若該二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)已知/(x)?4,求x的取值范圍；

(3)若對任意的實數(shù)xe[2,4],/(x)?0恒成立，求