因式分解計算題專項訓練(8大題型80道)

具計算專項訓練

陰【經(jīng)典計算題一提公因式進行因式分解】

1.因式分解：4(?-b)(2a-3/>)+(3Z)-2a)b2

【答案】(36-2Q)(/+46—4Q)

【分析】本題考查了因式分解，提公因式(3b-2〃)，即可求解.

【詳解】解：4(^-b)(2a-3Z>)+(3b-2a)b2

=(3Z?_2Q)[Z?2

=(3b-2a)僅2+4b_4。)

2.用提公因式法將下列各式分解因式：

(l)4x2^3+8x2y2z-12xy2z；

(2)5x(x-2y)3-20J^(2J/-X)3.

【答案】(1)4初2(孫+2xz-3z)

(2)5(X-2J)3(X+4J/)

【分析】本題考查提公因式法分解因式，熟練掌握提公因式法分解因式是解題的關鍵；

(1)提公因式法提取4肛2分解因式即可求解；

(2)提公因式法提取5(x-2^)3分解因式即可求解；

【詳解】(1)解：4x2y3+8x2y2z-12xy2z

=4xy2(xy+2xz-3z)

(2)解：5x(x—2y)3—20y(2y—

=5x(x-2,)3+20y(x-2y3)

=5(x-2y)3(x+4y).

3.分解因式：

(l)a2x2-ax

(2)-14abc-lab+49ab2c

【答案】⑴"(辦-1)

⑵一7"(2c+1-76c)

【分析】本題考查分解因式；

(1)直接提公因式分解因式即可；

(2)直接提公因式分解因式即可.

［詳解］(1)a2x2-ax=ax^ax-1)；

(2)-14abc-lab+49ab2c=-7ab(2c+l-7bc).

4.運用拆項法因式分解：X3-8X+7;

【答案】(X-1)(X2+X-7)

【分析】此題考查了因式分解.將原式變形為，-x)-(7x-7),再利用提公因式分解即可.

【詳解】解：X3-8X+7

=卜3-x)-(7x-7)

=x(x+l)(x-l)-7(x-l)

=+一7］

=(%-1)卜2+X—7).

5.分解因式：

⑴21xy—14xz+35x2；

(2)15xy+10x2-5x；

⑶(2Q+6)(3Q-2b)-4a(2a+b)；

(4)(%-2)—x+2.

【答案】⑴7%(3y-2z+5x)

(2)5x(3歹+2%-1)

⑶—(2a+Z?)(a+2b)

⑷(X-2)(X-3)

【分析】本題考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的確定是解本題的關鍵；

(1)直接利用提公因式分解因式即可；

(2)直接利用提公因式分解因式即可；

(3)直接利用提公因式分解因式即可；

(4)直接利用提公因式分解因式即可；

【詳解】(1)解：21xy-14xz+35x2

=7x(3歹-2z+5x)；

(2)解：15xy+10x2-5x

=5x(3y+2x-l)；

(3)解:(2a+643a-26)-4a(2a+6)

=(2a+6)(3a-26-4a)

=(2a+6)(-a-26)

=-(2a+6)(a+26)；

(4)解：(x—2)—x+2

=(x—2)~-(x-2)

=(x—2)(x—2-1)

=(x-2)(x-3)；

6.把下列各式分解因式：

(l)-5a2b3+20ab2-5ab;

[2)(x+y)(x-y)-(x+y)2；

(4)x-盯)-(4x2-40).

【答案】⑴-5成(歷2-46+1)

(2)-2y(x+y)

⑶4(%-4(2a+x-y)

(4)x(x-y)(x-4)

【分析】本題考查的是提公因式分解因式，確定公因式是解本題的關鍵;

(1)直接利用提公因式法分解因式即可；

(2)直接利用提公因式法分解因式即可；

(3)直接利用提公因式法分解因式即可；

(4)直接利用提公因式法分解因式即可；

【詳解】⑴解:-5c^b3+20ab2-5ab

=-5ab(ab?-46+1)；

(2)解：(x+力(x-y)-(x+y)”

=(x+y)(x-y-x-y)

=-2y(x+>)；

(3)解：8a(x-v)2-4(j^-x)3

=8a(x-y)2+4(x-?

=4(x-^)2(2(7+x-；

(4)解：x(x2-xy)-(4x2-4xy)

=x2(x-

=x(x-y)(x-4)；

7.用提公因式法分解因式：

(1)6a2(a-b)+6ab(b-a)；

(2)(力-〃b)+c(〃-6).

【答案】⑴6q(q—b)2

(2)(Q_b)(Q+c)

【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法和步驟是解題關鍵.

(1)提公因式6〃(〃-b),即可完成因式分解；

(2)提公因式即可完成因式分解.

【詳解】(1)解：原式=6〃(〃-1)(

=6Q(Q-6)2；

(2)解：原式=Q(Q—b)+c(〃一b)

=(Q-b)(Q+C).

8.將下列各式分解因式：

⑴a1-5a;

(2)ab+ac；

⑶4//一6加0；

(4)x2y-2x2y3-3x3y.

【答案】(l)”(a-5)

(2)a(b+c)

(3)2ab2(2片-36c)

【分析】本題主要考查了因式分解，確定各式的公因式是解題關鍵.

(1)提公因式。，即可完成因式分解；

(2)提公因式。，即可完成因式分解；

(3)提公因式2"2,即可完成因式分解；

(4)提公因式Yy,即可完成因式分解.

【詳解】(1)解：原式=。(。-5)；

(2)解：原式=。伍+c)；

(3)解：原式=2仍2(2/一3兒)；

(4)解：原式=。(1-2/-3x).

9.分解因式：

(l)3x2—6xy

(2)-3m2a—12ma+3ma2

【答案】①3x(x-2y)

(2)-3wa(m+4-tz)

【分析】本題考查了用提公因式法分解因式，一個多項式有公因式首先提取公因式.

(1)直接提公因式分解即可；

(2)直接提公因式分解即可.

【詳解】(1)解：3x2-6xy=3x(x-2y)；

(2)解：一3加?。-12機a+3機a。

=-3ma(m+4-a).

10.計算：-4x2y+6xy2—2xy.

【答案】-2xy(2x-3y+l)

【分析】本題考查了因式分解中的提公因式法.提公因式法是指如果一個多項式的各項有公因式，可以把

這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.提出公因式-2肛，即可求解.

【詳解】解：-4x2y+6xy2-2xy

=-2孫(2%-3)+1)

墨【經(jīng)典計算題二運用乘法公式進行因式分解】

11.分解因式：

(l)9x-x3

(2)4-12(x-y)+9(x-y)2

【答案】(l)x(3+x)(3-x)

(2)(2-3x+3y)2

【分析】本題考查的是綜合提公因式與公式法分解因式;

(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；

(2)直接利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：9x-x3

=x(3+x)(3-x)；

(2)解：4-12(%-歹)+9(X-歹『

=22_2x2x3(x-y)+[3(x-y)]2

=[2一3(x-y)]2

=(2-3x+3y)2.

12.分解因式：

(1)nvc2-6mx+9m.

(2)/(無一力+16(x-y).

(3)a2b2-ab-6.

22

⑷(爐+力2-4xy.

【答案】(1)加(X-3)2

⑵(X-7)(/+16)

⑶(。6-3)(々6+2)

⑷(x-y)2(x+y『

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是關鍵.

(1)先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式分解即可；

(2)提取公因式分解即可；

(3)利用十字相乘法分解因式即可；

(4)先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：mx2—6mx+9m,

-6x+9),

=m(x-3)2；

(2)解：a2(x-y)+16(x-j>),

=(X-J)(CZ2+16)；

(3)解：a2b2-ab-6,

二(qb-3)(q6+2)；

(4)解：(%2+/2)2一4X2,2,

二卜2+/2-2xy^x2+y2+2盯),

=(x-y)2(x+y)2.

13.把下列各式因式分解：

(l)15p(0+q)-10(p+4)；

(2)(x2+y2)2-4x2y2.

【答案】(l)5(〃+q)(3p-2)

⑵(x7)2(x+y『

【分析】本題考查因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

(1)根據(jù)提公因式法進行因式分解即可；

(2)先利用平方差公式進行因式分解，再利用完全平方公式進行因式分解即可.

【詳解】⑴解：15」(p+g)-10(p+g)

=5(p+q)(30-2)；

(2)解：+y2)2-4x2y2

=(/+/-2xy)(x2+/+2xy)

=(x-y『[x+y)2.

14.分解因式：

Wa2-4b2

(2)16X2+24X+9

【答案】(1)(。+26)(。-26)

(2)(4x+3>

【分析】本題主要考查公式法進行因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關鍵.

(1)根據(jù)平方差公式進行因式分解即可；

(2)根據(jù)完全平方公式進行因式分解即可.

【詳解】(1)解：原式=(。+26)(。一26)；

(2)解:原式=(4X+3)2.

15.因式分解：

(1)a(a-6)-26(6-a)

(2)(/+)_4x2

【答案】①("?(a+26)

(2)(X+1)2(X-1)2

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關鍵.

(1)提取公因式(叱6),即可解答；

(2)首先利用平方差公式進行因式分解，然后利用完全平方公式進行因式分解即可.

【詳解】(1)解：a(a-b)-2b[b-a),

=Q(Q-b)+2b(〃-b),

二(Q-6)(Q+26)；

(2)解：(X2+1)2-4X2,

=儼+)_(2x)2,

=(x?+1+2X)(%2+1—2x),

=(x+l)2(x-l)2.

16.分解因式：

⑴-4a;

⑵(八行一…

【答案】(1)〃(防-2)(仍+2)

(2)(x-y)2(x+y)2

【分析】(1)先提取公因式，再套用公式分解即可.

(2)先運用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可.

本題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式，公式分解是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：a3b2-4a

二〃(//一4)

=a(^ab—2)(ab+2).

(2)解：(J?+,2)2一4%21

2

=(X+y2—2切)卜2+)?+2切)

=(x-y)2(x+y『.

17.因式分解

(l)a2(x-v)+^2(y-x)；

(2)(X2-8)2+8(X2-8)+16.

【答案】⑴(x-#(a+6)("6)

(2)(X+2)2(X-2)2

【分析】此題考查因式分解的方法，

(1)先提取公因式，再根據(jù)平方差公式分解因式;

(2)根據(jù)完全平方公式和平方差公式分解因式.

【詳解】(1)解：尸x)

=a2^x-y^-b2(x-y)

=(x-7)(a2-^2)

=(x_y)(Q+b)(Q_b)；

(2)解：(x2-8)2+8(%2-8)+16

=『4丫

=(x+2)2(x-2)'.

18.因式分解

(l}x2y—5xy2+15孫

(2)X2-81

⑶x，-4x

(4)(X-3)(X+1)+4

【答案】⑴孫(龍-5y+15)

⑵(》+9)卜-9)

(3)X(X+2)(X-2)

⑷(I'

【分析】(1)利用提公因式法分解因式即可;

(2)利用平方差公式分解因式即可；

(3)綜合提公因式和公式法分解因式即可；

(4)利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：x2y-5xy2+15xy

=孫(%-5了+15)；

(2)解：x2—81

=(x+9乂x-9)；

(3)解：x3-4x

=1卜2—4)

=x(x+2)(x-2)；

(4)解：(x—3乂x+l)+4

=+x—3x—3+4

=—2x+1

=(1)2?

【點睛】本題主要考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，綜合提公

因式和公式法分解因式等知識點，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

19.把下列各式分解因式：

(l)(m2+5)2-12(m2+5)+36；

(2)(x2+9/)2-36x2/.

【答案】⑴(加+以(加-Ip

⑵(x+3y)2(x-3y)2

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關鍵.

(1)原式先根據(jù)完全平方公式進行因式分解，再根據(jù)平方差公式進行因式分解即可；

(2)原式先根據(jù)進行平方差公式因式分解，再根據(jù)完全平方公式進行因式分解即可.

【詳解】(1)解:(蘇+5>-12"+5)+36

=(機2+5-6)2

={m2-1)2

=(w+1)2(zw-1)2.

(2)解：(尤2+9/7-36尤2y2

=(尤②+獷)，_(6砂)2

=(1+9/+6xy)(V+9/-6xy)

=(x+3yf(x-3y)2.

20.分解因式：

(1)12X2-3/

(2)(a+b)(i+b—12)+36

【答案】(l)3(2x+y)(2x-歹)

(2)(〃+6—6/

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關鍵.

(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；

(2)先變形，再利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：12/-3/

=3(4，一力

=3(2x+y)(2x-y)；

(2)(a+6)(a+6-12)+36

+12(〃+b)+36

=(Q+6-6『.

國【經(jīng)典計算題三乘法公式在有理數(shù)簡算中的應用】

21.簡便計算

(1)1992-199x400+2002

(2)202-192+182-172+162-152+...+22-I2

【答案】⑴1

(2)210

【分析】本題考查了完全平方公式與平方差公式的計算；

(1)根據(jù)完全平方公式進行計算即可求解.

(2)根據(jù)平方差公式進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：1992-199x400+2002

=(199-200)2

=H)2

=1

(2)202-192+182-172+162-152+...+22-I2

=(20+19)(20-19)+(18+17)(18-17)+---(2+1)(2-1)

=39+35+31+…+3

=(39+3)x5

=210

22.簡便計算：

(1)21x3.14+62x3.14+1.7x31.4；

20253-20252-2024

,20253+2025?-2026?

【答案】(1)314

【分析】本題考查因式分解在有理數(shù)簡便運算中的應用，

(1)先提出公因式數(shù)3.14,然后在進行計算即可；

(2)先將分子和分母分別進行因式分解，再進行計算即可;

利用提公因式法進行因式分解是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：21x3.14+62x3.14+1.7x31.4

=3.14x(21+62+17)

=3.14x100

=314；

(2)20253-20252-2024

20253+20252-2026

20252x(2025-1)-2024

-20252x(2025+1)-2026

2024X(20252-1)

一2026X(20252-1)

1012

"1013,

2

23.(1)因式分解：x(y-4)-9(^-4);

(2)利用因式分解計算：2022+202X196+982.

【答案】

(1)(y-4)(x+3)(x-3)(2)90000

【分析】本題主要考查了因式分解及其應用，

對于(1),先提出公因式3-4),再根據(jù)平方差公式分解；

對于(2),根據(jù)完全平方公式分解，再計算即可.

【詳解】解:(1)原式=-4)一95一4)

=(j-4)(x2-9)

=(J-4)(X+3)(X-3)；

(2)原式=2022+2x202x98+982=(202+98『

=30()2

=90000.

24.利用乘法公式計算：20242-4048x2014+2014z.

【答案】100

【分析】本題考查完全平方公式，利用完全平方公式進行簡算即可.掌握完全平方公式，是解題的關鍵.

【詳解】解：原式=20242-2x2024x2014+20142

=(2024-2014)2

=102

=100.

25.簡便計算：

⑴9999x10001-1000()2；

(2)999992+199999.

【答案】⑴-1

(2)10000000000

【分析】本題考查了因式分解的應用，平方差公式.

(1)利用平方差公式進行計算，即可解答；

(2)利用因式分解進行計算，即可解答.

【詳解】(1)解：原式=(10000-l)x(10000+l)-100002

=100002-12-100002

=-1;

(2)解：原式=99999?+99999+100000

=99999x(99999+1)+100000

=99999x100000+100000

=100000x(99999+1)

=100000x100000

=10000000000.

26.利用乘法公式簡便計算.

(1)2020x2022-20212

(2)3.6722+6.3282+6.328x7.344

【答案】⑴-1

(2)100

【分析】本題主要考查了因式分解的應用，熟知平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵.

(1)把原式變形為(202l-l)x(2021+l)-202『，再利用平方差公式進行求解即可；

(2)原式根據(jù)完全平方公式變形為(3.672+6.328y，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：原式=(2021-1)x(2021釗-202F

=20212-12-20212

=-1;

(2)解：原式=3.6722+6.3282+2x6.328x3.672

=(3.672+6.328)2

=102

=100.

27.(1)利用因式分解計算：21x3.14+62x3.14+17x3.14

(2)分解因式：3ax2+6axy+3ay2

【答案】(1)314；(2)3a(x+y)2

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法和步驟是解題的關鍵.

(1)提取公因式3.14,再進行計算即可；

(2)先提取公因式3a,再根據(jù)完全平方公式即可進行因式分解.

【詳解】(1)解：21x3.14+62x3.14+17x3.14

=3.14x(21+62+17)

=3.14x100

=314；

(2)解：3ax2+6axy+3ay2

=3a(x2+2犯+/)

28.簡便計算：20II2-2007x2015

【答案】16

【分析】本題考查了平方差公式因式分解；根據(jù)平方差公式去括號化簡即可.

【詳解】解：原式=201f-Qoi1-4)(2011+4)

-20112-(20112-16)

=16.

29.請你參考黑板中老師的講解，用乘法公式進行簡便計算：利用乘法公式有時可以進行簡便計算.

例1：1012=(100+1)2=1002+2x100x1+1=10201；

例2：17x23=(20-3)(20+3)=202-32=391.

(1)992；

(2)20222-2021x2023.

【答案】⑴9801；

(2)1；

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

(2)根據(jù)平方差公式即可求出答案.

【詳解】(1)原式=(100-1)2

=1002-2xl00xl+l

=10000-200+1

=9801；

(2)20222-2021x2023

=2022?-(2022-1)x(2022+1)

=2022Z-20222+1

=1.

【點睛】本題考查了用完全平方公式和平方差公式進行簡便運算，解題關鍵根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇適當公式進

行計算.

30.利用因式分解計算：

(l)76x20.22+43x20.22-19x20.22；

(2)3.14x8.75?-3.14x7.752；

⑶50x9.52-100x9.5x7.5+50x7.52.

【答案】(1)2022

(2)51.81

⑶200

【分析】(1)提公因式后再進行計算即可；

(2)提公因式后，再用平方差公式計算即可;、

(3)提公因式后，再用完全平方公式進行計算即可.

【詳解】(1)解：76x20.22+43x20.22-19x20.22

=20.22x(76+43-19)

=20.22x100

=2022；

(2)3.14X8.752-3.14X7.752

=3.14X(8.752-7.752)

=3.14x(8.75+7.75)x(8.75-7.75)

=3.14x16.5x1

=51.81；

(3)50x9.#-100x9.5x7.5+50x7.52

=50x(9.52-2x9.5x7.5+7.52)

=50x(9.5-76)2

=50x4

二200.

【點睛】此題主要考查了因式分解的應用，熟練掌握利用因式分解進行計算是解題的關鍵.

q【經(jīng)典計算題四十字相乘法】

31.閱讀下列材料：

將V+2X-35分解因式，我們可以按下面的方法解答:

解：步驟：①豎分二次項與常數(shù)項：x2=x.x,-35=(-5)x(+7).

②交叉相乘，驗中項：

=^1x-5x=2x-

③橫向寫出兩因式：—+2x-35=(x+7)(x-5).

我們將這種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.

試用上述方法分解因式：

(l)x2+5x+4；

⑵--6%-7;

【答案】(l)(x+l)(x+4)

(2)(x+l)(x-7)

【分析】本題考查分解因式一十字相乘法，

(1)根據(jù)十字相乘法分解因式即可；

(2)根據(jù)十字相乘法分解因式即可；

掌握十字相乘法分解因式的步驟是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：①豎分二次項與常數(shù)項：，=x-x,4=(+1)X(+4),

②交叉相乘，驗中項：

/+1

=>4x+x=5x，

、+4

③橫向寫出兩因式:X2+5X+4=(X+1)(X+4)；

(2)①豎分二次項與常數(shù)項：x2=x.x,一7=(+l)x(-7).

②交叉相乘，驗中項：

X、/+1

③橫向寫出兩因式：X2-6X-7=(X+1)(X-7).

32.【閱讀理解】用"十字相乘法"分解因式2x?-x-3.

I.次項系數(shù)2=1x2.

n.常數(shù)項-3=-1x3=1x(-3),驗算："交叉相乘之和"

①lx3+2x(-1)=1,②lx(-l)+2x3=5,

③1x(-3)+2xl=-l,@lxl+2x(-3)=-5.

m.發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和"的結果等于一次項系數(shù)-1,

即(x+l)(2x-3)=lx1-3x+2x—3-2x2-x-3,

貝l]2X2-X-3=(X+1)(2X-3).

像這樣分解因式的方法叫做十字相乘法.

【遷移運用】仿照此方法，分解因式：

(l)x2-5x+6；

⑵#+2x-8.

【答案】⑴(X-2)(X-3)

(2)(3%-4)(x+2)

【分析】本題考查的是利用十字乘法分解因式.

(1)直接利用十字乘法分解因式即可；

(2)直接利用十字乘法分解因式即可.

【詳解】(1)解：X2-5X+6

=(x-2)(x-3)；

(2)解：3X2+2X-8

=(3x-4)(x+2).

33.利用整式的乘法運算法則推導得出：3+b)(cx+d)=ac/+(qd+6c)x+bd.我們知道因式分解是與整

式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得以￡+(ad+6c)x+6d=(ox+6)(cx+d).通過觀察可把

以力+伍4+慶口+加中看作以》為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式，此種因式分解是把二次三項

式的二次項系數(shù)ac與常數(shù)項6d分別進行適當?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù).分解過程可形象地表述為“豎乘得

首、尾，叉乘湊中項”，如圖1,這種分解的方法稱為十字相乘法.例如：將二次三項式2x?+1lx+12的二

次項系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當?shù)姆纸猓鐖D2,則2/+1卜+12=(尤+4)(2x+3).

ab14

J72/'3

a'xd+c'Xb=ad+bc1x3+2x4=11

圖1圖2

根據(jù)閱讀材料解決下列問題:

⑴用十字相乘法分解因式：尤2+6尤-27；

⑵用十字相乘法分解因式：6-—7x-3；

⑶結合本題知識，分解因式：20(x+y)2+7(x+y)-6.

【答案】(1)X2+6X-27=(X—3)(X+9)

⑵6--7x-3=(2x-3)(3x+1)

(3)20(x+y)2+7(x+j)-6=(4x+4y+3)(5x+5y—2)

【分析】本題主要考查多項式乘多項式，因式分解，解答的關鍵是對相應的知識的掌握與運用.

(1)利用十字相乘法進行求解即可；

(2)利用十字相乘法進行求解即可；

(3)先分組，再利用十字相乘法進行求解即可.

【詳解】(1)解：X2+6X-27

=(x-3)(x+9),

lX9+lX(-3)=6

(2)解：6--7尤一3

=(2x-3)(3x+l),

23

\<x

；

2Xl+3X(-3)=-7

(3)解：20(x+y)2+7(x+y)-6

=[4(x+y)+3][5(x+y)-2]

=(4x+4y+3)(5x+5y-2),

4X(-2)+5X3=7

34.閱讀材料

材料1將一個形如+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足0="機且。=加+〃，則可以把

x2+px+q因式分解成(x+加)(x+〃).

例：(T)x2+4x+3=(x+l)(x+3)；

②x2-4x-12=(x-6)(x+2).

材料2因式分解：(x+y)2+2(x+y)+l.

解：將"x+y"看成一個整體，令無+、=/,則原式=1+2/+1=(/+1)2,

再將""還原，得原式=(x+y+l)2.

上述解題用到“整體思想"，整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：

⑴根據(jù)材料1，把f-6x+8分解因式；

(2)結合材料1和材料2,完成下面小題：

2

①分解因式：(x-y)+4(x-v)+3;

②分解因式：(m2+2m)(m2+2m-3)-4.

【答案】⑴M-4)(X-2)

(2)(l)(x-_v+3)(x-y+l)；②(加2+2m-4^)(w+l)2

【分析】本題主要考查了因式分解的應用，

對于(1),根據(jù)材料一可知-6=(-2)+(-4),8=(-2)x(-4),即可分解；

對于(2)①，令x-y=/,再結合材料一分解，可得答案；②令加2+2加=8,展開并整理，結合材料一

分解，整體代入可得答案.

【詳解】(1)解：x2-6x+8.

=x2+[-4+(-2)]x+(-4)x(-2),

=(x-4)(x-2)；

(2)解：①令x-y=N,

二.(尤一+4(x—y)+3,

=A2+4A+3,

=A2+(1+3)A+1X3,

=A2+(1+3)A+1X3,

=(/+3)(/+l).

?/A=x-y,

-e?原式=(x-,+3)(%_〉+1)；

②令m2+2m=B，

{m1+2"7)(蘇+2加-3)-4,

=5(5-3)_4,

=B2-3B-A,

2

=5+(-4+1)J8+(-4)X1,

=(3-4)(8+1).

B=m2+2m，

，原式=(加2+2〃?-4乂加2+2加+1)=(m2+2m-4)(m+l)2..

35.【材料閱讀】某數(shù)學活動小組對多項式乘法進行如下探究：

(1)(X+1)(X+5)=X2+6X+5；

(2)(x-3)(x-2)=x~-5x+6；

(3)(y+4)(y-2)=/+2_y-8.

我們發(fā)現(xiàn)，形如(x+P)(x+q)的兩個多項式相乘，其結果一定為/+(°+4卜+取(p,q為整數(shù)).因式分

解是與整式乘法方向相反的變形，故有V+[p+q)x+pq=(x+p\x+q),即可將形如/+(p+g)x+H的

多項式因式分解成((x+p)(x+q)(p,q為整數(shù)).

【初步應用】

(1)用上面的方法分解因式：a2+2a-3=;

【類比應用】

(2)規(guī)律應用：若/+(2加-4”-8可用以上方法進行因式分解，求整數(shù)加的所有可能值；

【拓展應用】

(3)分解因式：(a+b)+3(a+6)—10.

【答案】(1)(a+3)(a-1)；(2)加=3或m=l；(3)(a+b+5)(a+6—2)

【分析】本題主要考查了分解因式：

(1)根據(jù)3+(-1)=2,3x(-1)=-3結合題意分解因式即可；

(2)把-8分解成兩個整數(shù)的乘積形式，再根據(jù)題意可得2加-4的結果等于分解成的兩個整數(shù)的和，據(jù)此建

立方程求解即可；

(3)把。+6看做一個整體，再仿照題意因式分解即可.

【詳解】解：(1)3+(-1)=2,3x(-1)=-3,

.*.a~+2a—3=(a+3)(a—1)；

(2)v-8=-1x8=-2x4=-4x2=-8x1,

2m—4=-1+8=7或2機一4=—2+4=2或2??—4=—4+2=—2或2m—4=—8+1=—7,

解得機=5.5(舍去)或加=3或〃?=1或機=-1.5(舍去)；

(3)(a+b)2+3(a+b)-10

=[(Q+b)+5][(〃+b)—2]

=(4+6+5)(Q+6-2).

36.閱讀理解題：我們知道因式分解與整式乘法是互逆的關系，那么逆用乘法公式

(%+〃)(％+6)=工2+(〃+b)x+〃b,即工2+(〃+b)x+Qb=(x+〃)(x+b)是否可以分解因式呢？當然可以，而且

也很簡單.如+5X+4=%2+(I+4)X+1X4=(X+1)(X+4)；

x2-3x-4=x2+(l-4)x+lx(-4)=(x+l)(x-4).

請你仿照上述方法，把下列多項式分解因式：

(l)x2+7x+6;

⑵/+3x-10；

(3)%2-10x+16;

(4)%2-7X-18.

【答案】⑴(x+l)(x+6)；

(2)(x+5)(x-2):

⑶(X-2)(X-8)；

⑷(X-9)(X+2).

【分析】本題考查因式分解一十字相乘法，

(1)把6分成1x6,1+6=7是一次項系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；

(2)把-10分成-2x5,5-2=3是一次項系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；

(3)把16分成-2x(-8),_2-8=-10是一次項系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；

(4)把-18分成2x(-9),-9+2=-7是一次項系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；

弄清閱讀材料中的方法是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：x2+7x+6=x2+(l+6)^+lx6=(x+l)(x+6)；

(2)廠+3x—10=x~+(5—2)x+5x(—2)=(x+5)(x—2)；

(3)x~—lOx+16=x?+(-2-8)x+(-2)x(-8)=(x-2)(x-8)；

(4)x?-7x-18=工2+(-9+2)x+(-9)x2=(x-9)(x+2).

37.因式分解：x2y2+9xy+8.

【答案】(制+1)(冷+8)

【分析】本題考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可.

【詳解】解：x2y2+9xy+S

=(初)~+9xy+8

=(孫+1)(孫+8)；

38.因式分解：(x?-2)+5(x2-2)x-6x2.

【答案】(Y+6x-2)(x-2)(x+l)

【分析】本題考查了因式分解.先將(爐-2)看作整體，利用十字相乘法分解，再對(/-2-x)利用十字相

乘法繼續(xù)分解即可.

【詳解】解：(/-2)2+512-21-6/

=(廠—2+6x)(x-_2_x)

=(X1+6x-2)(x-2)(x+l).

39.閱讀理解

閱讀材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元)，不僅可以

簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因

式分解的方法稱為“換元法"，這種解題思想叫做"整體思想”.

下面是小亮同學用換元法對多項式(f+4x+l)(x2+4x+7)+9進行因式分解的過程.

解:設一+4尤=型,則原式=(y+l)(y+7)+9(第一步)

=/+8了+16(第二步)

=8+4)2(第三步)

故原式=(/+4X+4)2(第四步).

=0+2)4；(第五步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

⑴初步理解：

小亮同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的;

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)嘗試應用：

請你用換元法對多項式卜2-2“，-2》-2)-3進行因式分解；

⑶靈活運用：

請你將多項式x(x+3)(x-l)(x-4)+36進行因式分解

【答案】⑴C

(2)(x-3)(x+l)(x-l)2

⑶(X+2)2(X-3)2

【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

(1)根據(jù)完全平方公式即可解答；

⑵設x2_2x=y,貝h原式=y(y-2)-3,再因式分解即可得到答案；

⑶先將原式變形為(一一“12-x-12)+36,設％2-》=了，則原式=y(y一i2)+36=(y-進而得到原式

=(x+2)2(x-3)2.

【詳解】(1)解：運用了完全平方公式法，

故選：C；

(2)解：設/-2x=y,

二原式=y(y-2)-3

=y2-2y-3

=(y-3)(y+l)

=(X2-2X-3)(X2-2X+1)

=(x-3)(x+l)(x-l)2；

(3)解：原式=x(x—l)(x+3)(x—4)+36

=y_%)卜2_1_]2)+36,

設/,

「?原式=雙尸12)+36

=/-12y+36

=(y-6)2

=(x1-x-6)2

=(X+2)2(X-3)2.

40.睿睿自學人教版八年級上冊數(shù)學教材第121頁的"閱讀與思考”內容介紹，在因式分解中有一類形如二次

三項式x2+(p+q)x+/q=(x+p)(x+4)的分解因式的方法叫"十字相乘法例如：將二次三項式x?+7x+10

因式分解，這個式子的二次項系數(shù)是1,常數(shù)項10=2x5,一次項系數(shù)7=2+5,則

x+7x+10=(x+2乂x+5),如圖所示，仿照上述解決下列問題：

X；

⑴因式分解：f+6x+8;

睿睿做了如下分析：

一次項為：。+口=6,則常數(shù)項為：00=8；

貝|]Q=；口=；

x2+6x+8=(x+)(x+)

(2)因式分解：x2-5x+6:

【答案】⑴2,4,2,4

⑵(x-3)(x-2)

【分析】本題主要考查了因式分解的應用，靈活運用十字相乘法進行因式分解成為解題的關鍵.

(1)利用十字相乘法分解因式即可；

(2)利用十字相乘法分解分解可得.

【詳解】(1)解：一次項為：2+4=6,則常數(shù)項為2x4=8,則0=2；口=4；

所以x+6x+8=(x+2)(x+4).

故答案為：2,4,2,4.

(2)解：一次項為：(-3)+(-2)=-5,則常數(shù)項為(-3)x(-2)=6,

貝x?—5x+6=(x—3)(x—2).

以【經(jīng)典計算題五分組分解法】

41.八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2“+3成-4-68分解因式.

【觀察】經(jīng)過小組合作與交流，小明得到了如下的解決方法：

原式=(2。-4)+(3"-66)

=2("2)+36(°-2)

=(a-2)(2+3Z7)

【類比】(1)請用分組分解法將/-/+x+a分解因式.

【挑戰(zhàn)】(2)請用分組分解法將ax+a2-2M-〃分解因式.

【答案】(1)(x+a)(x-a+l)；(2)(a-b^x+a-b)

【分析】本題考查的是利用分組分解法分解因式；

(1)把原式化為卜2―/)+?+4,再進一步分解因式即可；

(2)把原式化為(辦-區(qū))+(/-2"+從)，再進一步分解因式即可；

【詳解】解：(1)-Q2+X+Q

=仁—Q2)+(X+〃)

=(X+Q)(X-Q)+(X+Q)

=(X+〃)(X-Q+1)；

(2)ax+a2—lab—bx+b2

=(QX-6X)+(Q2一2。6+/)

=x(〃-b)+(Q-b『

二(a-b)(x+Q-6)；

42.在〃探究性學習〃小組的甲、乙兩名同學所進行的因式分解:

甲：x2-xy+4x-4y乙：a2-b2-c2+2bc

222

=(x2-xy)+(4x-4j)(分成兩組)=a-{b+c-2bc)(分成兩組)

=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)=a2-(/)-c)2(直接運用公式)

=(x-y)(x+4),=(Q+6-C)(Q-6+C)

請你在他們的解法的啟發(fā)下，解答下面各,題：

⑴因式分解：4a2-b2+1+4Q；

(2)已知。-萬=3,。-。=-5,求式子力-ac-ab+be的值.

【答案】⑴(2a+l+?(2〃+l—6)

(2)-15

【分析】本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是明確題意，巧妙的運用分組分解因式解答問題.

(1)4/—〃+1+4。分組后，可先利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；

(2)———必+成分組后，再次提公因式后代入數(shù)值計算即可.

【詳解】(1)解：4〃一〃+i+4a

=(4/+4°+1)-〃

=(2〃+1)2一從

=(2〃+1+6)(2久+1-6)

(2)a2-ac-abbe

-(Q2-帥)+[be-QC)

=a^a-b^-c^a-b^

=(〃_，(〃一0)

當"6=3,Q_C=_5時，

原式=(Q—6)(?！猚)=3x(—5)=—15

43.分解因式：

(1)mn2-2mn+2〃一4；

(2)4X2-4X-/+4J-3；

⑶4〃+4?！?a2b2-b2-4ab2+1.

【答案】⑴("2)(加〃+2)

(2)(2x~y+1)(2%+y—3)

⑶(2a+1>(1+6)(1-6)

【分析】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

(1)先分組，再利用提公因式進行因式分解即可；

(2)先分組，再利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解即可；

(3)先分組，再利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解即可；

【詳解】(1)ft?：mn2-2mn+2n-4

mn2-2mn

=-2)+2(?-2)

=(n-2)(m?+2).

(2)解：4x2-4x-y2+4y-3

=4x2-4x+l-y2+4y-4

=(21)2-3-2)2

=(2x-l—y+2)(2x-1+y-2)

=(2x-y+l)(2x+y-3)；

(3)解：4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1

22

=(4/+4a+1)-+b+4ab)

=(2a+l)2-62(2a+l)2

=(2a+l)2(l-〃)

=(2fl+l)2(l+6)(l-/7).

44.先閱讀，再解決問題：

將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式分解的方法叫分組分解法.

例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+?/)+/7(m+m)=(m+?)(?+/>).

⑴分解因式：ab-2a—2b+4；

2

(2)若加2+2mn+2n-6n+9=0,求加和〃的值.

【答案】⑴("2)伍-2)

【分析】本題主要考查了因式分解的應用、分組法因式分解等知識點，靈活運用分組法進行因式分解成為

解題的關鍵.

(1)先將原式分組后進行因式分解即可；

(2)先將原式分組后進行因式分解，然后根據(jù)非負數(shù)的性質列二元一次方程組求解即可.

【詳解】(1)解：ab-2a-2b+4

二〃9-2)-2伍-2)

=("2)9一2).

(2)解:m2+2mn+2n2—6M+9=0,

(〃/+2mn+/J)+(/-6〃+9)=0,

(m+n)2+(力-3)2=0,

\m+n-0\m——3

a「,解得：a-

[”-3=0[n=3

45.(1)將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.

例如:am+an+bm+bn={<am+an^+{bm+bn)=a{m+n)+b{m+n)=^a+b)(m+n).

①分解因式：ab-3a-3b+9；

②若M=a6-34-36+9.a,“a<b)都是正整數(shù)且M=4,求3a+b的值；

(2)若a,b為實數(shù)且滿足而-2a-6-l=0,=a2+3ab+b2-4a-lb,求整式N的最小值.

【答案】(1)①(。-3)伍-3)；②19；(2)-2

【分析】本題考查因式分解，完全平方公式的應用：

(1)①參照題干，利用分組分解法求解；②由。，都是正整數(shù)，得。-3,b-3都是整數(shù)，且

a-3<6-3,結合4=lx4=(-l)x(-4)求出.，6的值，代入計算可得答案；

(2)將=0變形為ab=2a+b+l,代入N=a2+3ab+b2-4a-1b得N=(a+1)~+(b-2)~-22-2,

可得答案.

【詳解】解:(1)①成一3a-3b+9

=(a6-3a)-(36-9)

=a(b-3)-3(b-3)

=(a-3)(b-3)；

(2)'''M—ab—3a—3b+9=4,

(a-3)(/?-3)=4,

■.-a,6(a<6)都是正整數(shù)，

a-3,6-3都是整數(shù)，且"3<Z>-3,

又4=1X4=(-1)X(-4),

[a—3=1j—3=—4

-%_3=4'或4-3=-l'

[a=4[a=-1

解得八7或八.(不合題意，舍去)，

[b=/[b=2

???34+6=3x4+7=12+7=19；

(2),*,ab—2a—b—1=0,

，ab=2a+b+l,

，N=a2+3ab+b2-4a-lb

=/+3(2。+6+1)+〃-4。-7b

—a2+6Q+3b+3+/-4Q-7b

—/+2q+/—4b+3

=(Q2+2Q+1)+僅2_必+4)—2

=(a+l)2+(Z,-2)2-2,

???(a+1)2>0,(Z?-2)2>0,

^=(O+1)2+(ZJ-2)2-2>-2,

???整式N的最小值為-2.

46.將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見的分

組分解法的形式有：“2+2"分法、"3+1"分法、"3+2”分法及"3+3”分法等.如“2+2”分法：

ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+>)=(、+>)(a+b).再如"3+1"分法：

x2-2xy+j2-16=(x2-2xy+y2)-16=(x-7)2-42=(x-y+4)(x-y-4).利用上述方法解決下列問題：

(1)分解因式：

(1)9x2-6xy+y2-16.

②4a2+4a-4a2b-b-4ab+1?

(2)已知：a、b、c為△4BC的三條邊，a2+b2+c2-4a-4b-6c+\l=0,求△/BC的周長.

【答案】⑴①(3X7+4)(3X7-4)；②(2a+l)2(l")

(2)7

【分析】本題考查因式分解，利用分組分解法時，要明確分組的目的，是分組分解后仍能繼續(xù)分解，還是

分組后利用各組本身的特點進行解題.

(1)①根據(jù)"3+1”分法即可得出答案；②根據(jù)"3+3”分法即可得出答案；

(2)運用完全平方公式進行分解因式，得出(a-2y+(6-2)2+(c-3)2=0,即可得出答案.

【詳解】(1)解：(1)?9x2-6xy+y2-16,

22

=(9x-6xy+y)-16f

=(3x-y+4)(3x--4)；

②44+4(2-4a2b-b-Aab+1>

—4Q2+4a+1-(4Q2/>+4ab+b),

=4/+4Q+1-b(4/+4。+1),

=(4/+4a+l)(l—b),

=(2a+l)2(l-6)；

(2)解：片+/+。2一4。一4％一6。+17=o,

t?-4。+4+〃―46+4+。2-6。+9=0,

(Q_2)2+(6-2)2+(0—3)2=0,

.,.々—2=0,6—2=0,c—3=0,

..a=b=2,c=3,

:.“BC的周長=2+2+3=7.

47.因式分解課后，老師給同學們布置了如下作業(yè).

因式分解:(x+y)2+2(x+y)+l.

小明：將"+了"看成整體，^x+y=A,則原式=I+2/+i=(/+i『，再將還原，可以得到原式

張老師：上述解題用到的是“整體思想"，整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方法，請大家仿照小明的做

法完成下列題目.

⑴因式分解：x2+2xy+y2.

(2)因式分解：a2-9-2ab+b2.

⑶因式分解：(a2-4a+l)(a2-4fl+7)+9.

【答案】⑴(x+y)2

(2)(a—，+3)(a—b—3)

⑶(a*

【分析】本題考查了因式分解，解題的關鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法.

(1)直接利用完全平方公式進行因式分解即可；

(2)分組后然后利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解即可；

(3)將/一4a看成整體，令/-4a=8,進行因式分解，再將"B"還原代入，再次因式分解即可.

【詳解】(1)解：x2+2xy+y2=(x+j/)2

22

(2)解：a-9-2ab+b

=(<7-6)2_22

=(a-Z>+3)(a-6-3)；

(3)解：令aJa=B,

則—4a+l)(a?—4a+7)+9

=(B+l)(B+7)+9

=52+85+16

=(3+4)2.

將2=/一4。代入，得

原式