專題08相似三角形重要模型一線三等角模型

相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈

現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再

遇到該類問題就信心更足了.本專題就一線三等角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.一線三等角模型（相似模型）

【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形

的“一對角相等”，再利用平角為180。，三角形的內(nèi)角和為180。，就可以得到兩個三角形的另外一對角

也相等，從而得到兩個三角形相似.

1）一線三等角模型（同側(cè)型）

（銳角型）（直角型）（鈍角

條件：如圖,Nl=/2=/3,結(jié)論：AACEsABED.

2）一線三等角模型（異側(cè)型）

條件：如圖，Z1=Z2=Z3,結(jié)論：AADEsABEC.

3）一線三等角模型（變異型）

B圖1。圖2

①特殊中點型：條件：如圖1,若C為的中點，結(jié)論：AACEsABEDsAECD.

②一線三直角變異型1：條件：如圖2,NABD=/AFE=NBDE=90°.結(jié)論：

AABCsABDEsABFCs4AFB.

③一線三直角變異型2：條件：如圖3,NA3￡）=NACE=NBDE=90°.結(jié)論：AABM^/\NDE^/\NCM.

例1.（2023?山東東營,統(tǒng)考中考真題）如圖，"BC為等邊三角形，點￡分別在邊5C,A5上，ZADE=60°f

若BD=4DC,DE=2A,則AZ）的長為（）

C.3D.3.2

【答案】C

4

【分析】證明根據(jù)題意得出進而即可求解.

【詳解】解：回為等邊三角形，回N6=NC=60。，

OZADB=ZADE+ZBDE=NC+ZDAC,ZADE=60°,

ADAC

⑦NBDE=/DAC,回/\ADCSADEB回一=一

DEBD

BC5

4ADAC

國BD=4DC^\BD=-BC,回---=----4

DEBD

0DE=2.40AD——xDE=3,故選：C.

4

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是

解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，CA±AD,ED±AD,點3是線段AD上的一點，且防.已

知AB=8,AC=6,DE=4.

C

（1）證明：△ABCSADE3.⑵求線段8。的長.

【答案】⑴見解析⑵應(yīng)》=3

【分析】（1）根據(jù)題意得出4=/D=9O°,NC+ZABC=9O。，ZABC+ZEBD^90°,則NC=N￡BD,即

可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】（1）證明：SAC±AD,ED±AD,QZA=ZD=90°,ZC+ZABC=90°,

國CE上BE,0ZABC+ZEBD=90°,

⑦NC=NEBD,國公ABCS^DEB；

ABAC

(2)回Z\ABCs/\DEB，團---=---

DEBD

回AB=8,AC=6,OE=4,0-=—,解得：BD=3.

4BD

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022?河南新鄉(xiāng)?九年級期中）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形相似時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.

AR

（1）如圖1,在“2C中，MAC=90。，—^k,直線/經(jīng)過點A,B/期直線/,CE上直線/,垂足分別為

ZlCz

八下卡工BD

D、E,求證：---=k.z

AE

（2）組員小劉想，如果三個角都不是直角，那么結(jié)論是否仍然成立呢？如圖2,將（1）中的條件做以下

修改：在AABC中，—=k,D、A、E三點都在直線/上，并且有aBD4=0AEC=aBAC=a,其中a為任

AC

意銳角或鈍角.請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,在AABC中，沿△

AC1

ABC的邊A3、AC向外作矩形A8DE和矩形ACPG,——===￡,AH是BC邊上的高，延長H4交EG

AEAG2

于點/.①求證：/是EG的中點.②直接寫出線段8c與A/之間的數(shù)量關(guān)系：.

【答案】（1）見解析（2）結(jié)論還成立，證明見解析（3）①見解析②BC=A/

【分析】（1）由條件可證明財友）盟C4E,可得空=絲=后

AEAC

（2）由條件可知回BA￡>+EICAE=：180°-a,且回。54+團￡4￡>=180°-（1,可得EIOBA=E]CAE,結(jié)合條件可證明

EL4BZMECAE,同（1）可得出結(jié)論;（3）①過點G作GM〃4E交4/的延長線于點連接證明SABCSSiGMA,

再得到四邊形AGME是平行四邊形，故可求解；②由①得到3。=萬4加，再根據(jù)四邊形AGME是平行四

邊形得到2c=4,故可求解.

【詳解】（1）如圖1,回以龍直線/,C瓦直線/,EHBZM=I3C￡A=9O°,

釀5AC=90°,釀3A0+回CAE=90°釀助。+朋3。=90°,^\CAE=^ABD^\

團胤430=回CAE,^\BDA=^CEA,團團A0B團團CEA,回處二組=匕

AEAC

(2)成立，證明如下：如圖2,

回團3DA=?BAC=a,mDBA+^BAD=^BAD+0CAE=180°-a,^\DBA=^\CAE,

回胤43。=團CAE,^\BDA=^CEA^\ADB^CEA,團處=4￡=心

AEAC

(3)①過點G作GM〃AE交4的延長線于點M,連接EM

團四邊形AG/C是矩形，加GAU90。

又AH^\BC^\AHC=90°回回5+回CA〃=回4+回CAH=90°團團5二團4

團團二團AHB=900團團2+團BAH二團1+團84”=90°團團2二團1

又GM〃A石回回3二團2團國3二團1團團A3C0團GM4

AC生二任又回絲=如1ACBCABAB

回一回一==-^\GM=AE

GAAMGMAEAG2GA~AMGM~AE2

又回GAOA比四邊形AGME是平行四邊形^\EI=IG故/為EG的中點;

z-\,z^x,BCACABAB11…

②由①矢口----=----=----=----=—^1BC=—AM

AMAGGMAE22

團四邊形AGME是平行四邊形朋/=7MM/=J_AM0BC=A/

2

回線段BC與A/之間的數(shù)量關(guān)系為BC=A/故答案為：BC=AI.

【點睛】此題考查相似三角形的判斷與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相似三角形，列出比例式求解.

例4.(2022?四川?一模)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形：

(1)如圖1,已知：在0ABe中，AB=AC,O、A、E三點都在直線機上,并且有NBQ4=NA￡C=NBAC=(z.試

猜想。E、BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請證明你的結(jié)論；

（2）老師鼓勵學(xué)習(xí)小組繼續(xù)探索相似的情形.于是，學(xué)習(xí)小組又研究以下問題：如圖2,AABC中，

ZB=ZC=a（0<cr<60°）.將一把三角尺中30。角頂點尸放在2c邊上，當P在BC邊上移動時，三角尺中

30。角的一條邊始終過點A,另一條邊交AC邊于點Q,P、。不與三角形頂點重合.設(shè)NCPQ=/3.當月在

許可范圍內(nèi)變化時，a取何值總有△42P0APCQ?當a在許可范圍內(nèi)變化時，月取何值總有AAB尸回△QCP?

（3）試探索有無可能使AABP、△。尸C、AABC兩兩相似？若可能，寫出所有夕、夕的值（不寫過程）；若

不可能，請說明理由.

【答案】（1）DE=AE+AD=BD+CE；證明見解析；（2）a=30°；，=75。；（3）可能；1=30°,2=30。

或a=52.5。，￡=75°.

【分析】（1）證明EIADBEECEA（AAS）,由全等三角形的性質(zhì)得出AE=B。，AD=CE,則可得出結(jié)論；

（2）由夕=回2或01=回（?0尸，即回2=30°+由x=S，解得a=30°,即可求解;由夕=如或回2=回（7。尸，同理可得：夕=75°,

即可求解；（3）①當a=30°,尸=30。時，則!32=ElB=a=30°,即可求解;②當￡=75°,a=52.5。時，同理可解.

【詳解】解:（1）如圖1,SZBDA=ZBAC=a,

^ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\^0-a,^\ZDBA=ZCAE,

ZDBA=ZEAC

在團和I3CEA中，■NBDA=NAEC,S^ADBBSCEA(A4S),

BA=AC

SAE=BD,AD=CE,^\DE^AE+AD=BD+CE

(2)在IMB尸中，ZAPC=ZB+Z2=a+Z2=30°+^,回/1=150。-4，

同理可得：/2=30。+4-a；由〃=N2或N1=NCQP,

即42=30。+/?-G=耳，解得￡=30°,則EIABPEHPC。；

團當夕在許可范圍內(nèi)變化時，￡=30。時，總有財8/班1尸。。；

由〃=N1或N2=NCQP,同理可得：￡=75。.

團當a在許可范圍內(nèi)變化時，夕=75?？傆?ABpEBQCP；

（3）可能.①當a=30°,￡=30°時，貝!|N2=NB=a=30。，貝ijElABPEBPCQfflBCA；

②當月=75°,c=52.5。時，

同理可得：/1=150。-/=75。=4，/2=30。+4-。=52.5。=",^ABPfmCQFmBCA.

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌

握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例5.（2022?山西晉中?一模）閱讀材料：

我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得三垂

直模型"如圖①，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,分別過A、6向經(jīng)過點C直線作垂線，垂足分別

為D、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：△ADC2△CEB.

（1）探究問題：如果AC/8C,其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；AADCMCEB.請你說明理由.

（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線y=gx與直線交于點〃（2,1）,且兩直線夾角為

a,且tana=],請你求出直線CD的解析式.（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,

點E為BC邊上一個動點，連接AE,將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，點A落在點P處，當點尸在矩形

ABC。外部時，連接尸C,PD.若為直角三角形時，請你探究并直接寫出BE的長.

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到N3CE=/ZMC,然后利用AA定理判定三角形相似；

（2）過點。作ONLOM交直線8于點N,分別過河、N作MELx軸，NFLx軸，由（1）得

NFOFNO

△NFOsAOEM,從而得到k=K=然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出NF=3,

OEMEMO

3

OF=：,從而確定N點坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

2

（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當E1PDC=9O。時.②如圖2中，當EIDPC=90。時，作PFE1BC于F,PHECD

于H,設(shè)BE=x.分別求解即可.

【詳解】解：（1）SZACB=90°,SZACD+ZBCE=90°

又回ZADC=9000ZACD+ADAC=90°EZBCE=ADAC

SZADC=ZBEC=90°.SAADC^ACEB

(2)如圖，過點。作ONLOM交直線8于點N,

分別過“、N作ME_Lx軸，NF_Lx軸

由(1)得乙NFOS^OEM0—=——=——

OEMEMO

EIA1坐標(2,1)0OE=2,ME=1

3ON33<3

團tana二三團也;1解得：NF=3,OF=-02V--,3

2OM22I2

設(shè)直線8表達式為>=區(qū)+"代入"(2,1),吊-加

4

2k+b=lk

7415

得3,心。，解得VJ,團直線C。表達式為丁=-尹十］

——k+b=37

[2b

7

(3)解：①如圖1中,當團PDC=90。時，

釀ADC=90°,團團ADC+團PDC=180°,團A、D、P共線，

團EA二EP,0AEP=9O°,回團EAP=45°,團團BAD=90°,

團團BAE=45°,團回B=90°團團BAE二團BEA=45°,回BE=AB=3.

②如圖2中，當團DPC=90°時，作PF團BC于F,PH團CD于H,設(shè)BE=x,

團團AEB+團PEF=90°,團AEB+團BAE=90°,團團BAE二團PEF,

ZBAE=NPEF

在團ABE和團EFP中，<ZB=ZF=9(T[M1ABE回回EFP,

AE=EP

團EF二AB=3,PF=HC=BE=x,團CF=3(5x)=x2,

團團DPH+團CPH=90°,團CPH+團PCH=90°,

團團DPH二團PCH,團團DHP二團PHC,

團團PHD的CHP,回PH?=DH?CH,團(x2)2=x(3x),

^7+77^7-717(舍棄)，0BE=7+V7；

444

綜上所述，當團PDC是直角三角形時，BE的值為3或2±立.

4

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型.

例6.(2023?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖，在矩形ABC。中，E為AD的中點，小EC交48于尸，延長

EE與直線C￡)相交于點G,連接PC(AB>AE).

⑴求證：^AEF^SDCE；(2)她所與Mb是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；

⑶設(shè)黑=%，是否存在這樣的人值，使得0AEF與SBFC相似？若存在，證明你的結(jié)論并求出左的值；若不

BC

存在，請說明理由.

【答案】⑴見解析⑵相似，證明見解析⑶存在，k卷

【分析】(1)由題意可得0A￡F+E1DEC=9O。，又由0AEF+EAPE=9O。，aS^DEC=SAFE,據(jù)此證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意可證得R?4EfW?/0OEG(ASA),可得EF=EG,^AFE=SEGC,可得CE垂直平分FG,0CGF

是等腰三角形，據(jù)此即可證得0AE尸與aECF相似；

⑶假設(shè)0AEP與SB”相似，存在兩種情況：①當0ApE=aBCK可得M/C=90。，根據(jù)題意可知此種情況

不成立；②當她在=回2/(7,使得她所與國2尸。相似，設(shè)BC=a,則AB=hz,可得BF^-ka,

再由EAEEaaOCE,即可求得上值.

【詳解】(1)證明：0EM3EC,E0FEC=9O°,0EIAEF+ED￡C=9OO,

ffl0AEF+EL4FE=9O°,0E￡>EC=EL4FE,

又甌A=I3E￡>C=9O°,EEAEZ回aDCE；

(2)解：SAEF^SECF.理由：團￡為A。的中點，SAE^DE,

0EIA￡F=0D￡G,0A=0￡DG,EEL4￡fl30D￡G(ASA),

SEF=EG,SAFE=QEGC.

又回班3CE,I2CE垂直平分尸G,

EHCGF是等腰三角形.0[3AFE=0EGC=0EFC.

又回她=回尸￡。=90°,SS\AEF^3iECF；

(3)解：存在左邛使得朋EF與物C相似.

理由：假設(shè)S4E尸與SBFC相似，存在兩種情況：

①當她尸石;鼬。尸，則有EABE與MFC互余，于是EIEFC=90。，因此此種情況不成立；

②當她尸￡=回由(，使得EAM與相似，

設(shè)3C="，則A8=faz,

/A]?D,

^\AEF^\BCF團-——,回A_F=—kci,BF——kct,

fBFBC233

11,

APApa2bl20

^AEF^DCE,回一=一,即W—二二一，解得，攵=浮.

DCDEka2

2a

團存在k吟使得財EF與ELBEC相似.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定與及性質(zhì)，等腰三角形的

判定及性質(zhì)，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵.

例7.(2023?江蘇南京??？既?某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做

了如下探究：

BBC

圖1圖2

圖3圖4

【觀察與猜想】⑴如圖1,在正方形ABC。中，E,歹分別是AB,AQ上的兩點，連接DE,CF,若DELCF,

DE

則"的值為___________;（2）如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,E是池上的一點，連接CE,

CF

CF

BD,若CELBD,則二的值為；

【類比探究】⑶如圖3,在四邊形ABCD中，ZA=ZB=90°,E為AB上一點，連接過C作DE的

垂線交ED的延長線于G,交AD的延長線于尸，求證：DEAB^CFAD；

【拓展延伸】⑷如圖4,在曲AABD中，ZBAD=90°,AD=15,將△ABD沿即翻折，A落在C處，得

r）ps

到"BD,尸為線段AD上一動點，連接CF,作DELCF,交45于E,垂足為G,連接AG.若=,

CF3

則AG的最小值為.

【答案】（1）1⑵金⑶見解析.⑷ST

72

【分析】（1）可證明AAED會ADFC,即可得到答案.（2）可證明ABDCSACED,即可得到答案.

（3）過點尸作3c的垂線，交BC于點,N,可得到AB=NV,然后證明△NFCs^ADE,可得

DEFN=CF-AD,問題即可得證.（4）過點C作AD的垂線，交AD于點N,取8的中點為“，連接40,

取以AO的中點K,連接CK.可先證△皿SAKVC,得到NC的長度，進而求得NK,CK,AAf的長度.根

據(jù)題意可知，點G在以CD的中點M為圓心，gcO長度為半徑的圓上，可知AG+GM2A”,當

AG=AM-GM時，AG取得最小值，即可求得答案.

【詳解】（1）解：???四邊形ABCD為正方形，

:.AD=DC,NA="DC=90。.ZAED+ZADE=90°.

-.-DELCF,:.ZDFC+ZADE=90°.:.ZAED=ZDFC.

ZA=ZFDC

在△AED和ADFC中，＜NAED=NDFC.^AED^DFC.

AD=DC

;.DE=CF.故答案為：1.

CF

（2）解：,四邊形ABCD為長方形，:.ZADB+ZBDC=90°.

\CEYBD,ZADB+ZCED=90°.:.Z.BDC=ACED.

CFCD44

又/BCD=Z.CDE,:.ABDCSACED.==—.故答案為：一.

BDBC77

(3)解：如圖，過點尸作3c的垂線，交BC于點、N.

由題意知四邊形ABNF為矩形,

:"DFN=90。，AB=FN.ZNFC+ZGFD=90°.

?.?CG_LEG,:.ZGDF-^ZGFD=90°.:.ZNFC=/GDF.

又/GDF=ZADE,:.ZNFC=ZADE.

又ZA=NFNC=9伊,:.4NFCsAADE.

.:.DEFN=CFAD.DEAB=CFAD.

CFFN

(4)解：如圖，過點C作AD的垂線，交AO于點，取CO的中點為連接AM,取以AD的中點為K,

連接CK,連接GM.

由軸對稱圖形的性質(zhì)可知CK=AM,AD=CD=15.

-.-CFIDE,ZBAD=90°,ZAFG+ZAEG=180°.

XZAFG+ZNFC=180°,:.ZAEG=NNFC.

又NEAD=ZFNC=90°,：.&EAD^FNC.

DEAD53,八3-3c

CFNC355

DN=y/CD--NC2=7152-92=12.NK=DN-DK=12-^-=-.

:.CK=‘NC?+NK。=卜+?=竽.AM=^-.

根據(jù)題意可知，點G在以CD的中點〃為圓心，gc。長度為半徑的圓上，且GMngcDn11.

?■-AG+GM>AM,^AG>AM--,.,.當AG=AM-"時，AG取得最小值.

22

:一當?”故答案為：31

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對稱圖形的性質(zhì)等，

牢記全等三角形的判定定理及性質(zhì)、相似三角形的判定定理及性質(zhì)、勾股定理及軸對稱圖形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023?黑龍江綏化?校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形ABC。，E為的中點，F(xiàn)是AD邊上的一個動點，

連接K尸將沿所折疊得AHEF,延長交BC于點V,現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①△EFM一定是

直角三角形；②ABEM-HEM；③當M與C重合時，有:。尸=A尸；④平分正方形A5CD的面積；

@4FHMH=AB2.則正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】如圖1中，證明ZA=ZB=90。，EA=EB,可得RQEMH冬RtAEMB（HL）,可得ZMEH=ZMEB,

ZFEM=^（ZAEH+ZBEH）=90°,可得①②正確，如圖2中，當M與C重合時，設(shè)AE=3E=2a.則

AP4772a

AB=BC=CD=AD=4a,證明△AEPSABCE,可得=,即=—,可得AF=a,可得③）正確，

BEBC2a4a

如圖3中，當點尸與點。重合時，顯然直線M尸不平分正方形的面積，可得④錯誤，如圖1中，EHVFM

于H,ZFEM=90°,同理可得：XEHFSIJ^HE，可得EH?=HF.HM，結(jié)合=可得⑤正確.

【詳解】解：如圖1中,

圖1

回四邊形ABCD是正方形，

團ZA=NB=90。，

回石為A3的中點，

^\EA=EB,

由翻折可知：FA=FH,EA=EH,ZA=ZFHE=9Q09

團/EHM=NB=90。，EM=EM,EH=EB,

0Ru￡MH^RtA￡MS(HL),

^ZMEH=ZMEB,

?NFEH=NFEA,

=^(ZAEH+ZBEH)=90°

團/FEM=ZFEH+/MEH

故①②正確,

如圖2中，當M與。重合時，^AE=BE=2a.貝UAB=5C=CD=AD=4a,

圖2

團NA=/B=NFEC=90。，

國NAEF+NBEC=90。=NBEC+NBCE,

國NAEF=NBCE,

團AAEF^ABCE,

AFAEAF2a一‘口，口

團---=---9nBrPt----=-—，可倚AF=a，

BEBC2a4a

團DF=3a,

H|DF=AF,故③正確,

如圖3中，當點F與點。重合時，顯然直線攻不平分正方形的面積，故④錯誤，

D(F)?

M

B

如圖1中，EI￡H_LRW于ZFEM=90°,

同理可得：AEHFSAMHE,

EHHF

團---=---,

MHHE

=HF.HM，

^\EH=-AB,

2

^AB2^HF-HM.故⑤正確，

故選：C.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈

活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

2.(2023?浙江?九年級專題練習(xí))如圖，四邊形ABCD中，AB0CD,13c=90。，AB=1,CD=2,BC=3,點P

【答案】1或2

【分析】設(shè)BP=x,則PC=3x,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得相=90。，根據(jù)同角的余角相等可得I3CDP=I3APB,即可

證明回CDP幽BPA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出X的值即可得答案.

【詳解】設(shè)BP=x,則PC=3x,

0AB0CD,0C=9O°,

fflB=180°EC=90°,

團團B二團C,

團AP團DP,

釀APB+回DPC=90°,

回團CDP+團DPC=90°,

團團CDP二團APB,

團團CDP團團BPA,

ABPB

團---=---，

PCCD

團AB=1,CD=2,BC=3,

解得：X1=1,X2=2,

0BP的長為1或2,

故答案為：1或2

【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例列方程是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，AB=8,AO=4,E為邊上一個動點，連接BE,

取BE的中點G,點G繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到點R連接CF,在點E從A到。的運動過程中，點G的

運動路徑=，ACEF面積的最小值是.

【分析】連接2。，取8。的中點A2的中點N,連接MN,因為GN為HABE的中位線，故G的運動路

徑為線段MN；過點/作的垂線交的延長線于點尺則aFEHfflEBA,設(shè)可得出回CEB面積

與%的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)求得最小值.

【詳解】解：連接80,取8。的中點M,的中點N,連接MN,

SE為邊A。上一個動點，點E從A到。的運動，G是BE的中點

團當E在A點時，BE與重合，G與A8的中點N重合，

當E運動到O點時，BE與BD重合,G與的中點M重合,

SE在從A到。的運動過程中，MN為0ABE的中位線，

^MN=-AD=2.

2

故G的運動路徑=2,

過點尸作AD的垂線交的延長線于點H,

EEIA=EIH=90°,0F￡B=9O°,

S!3\FEH=90°SBEA^EBA,

^SiFEHSEEBA,

HFHEEF

回---=----=---,

AEABBE

?「G為班1的中點，

:.FE=GE=-BE,

2

回_H_F_—HE.EF—_1

AEABBE2"

設(shè)AE=X9^1AB=8,AD=4,

^\HF=—x,EH=4,

2

/.DH=AE=x,

…S"EF=SDHFC+S^cED—LEHF

=；x（gx+8）+[x8（4一%）

1,

=—x9+4x—16—4x—x

4

12%

=—x—x+lo,

4

x=-^-=21

回當c1時，EICEF面積的最小值=—x4-2+16=15.

2x—4

4

故答案為：2,15.

【點睛】本題通過構(gòu)造K形圖，考查了三角形的中位線和相似三角形的判定與性質(zhì)，建立國CEP面積與AE

長度的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?廣東梅州?九年級?？茧A段練習(xí)）已知AABC是等邊三角形，AB=6,點D,E,F點分別在邊

AB,BC,AC±.,BD-.BE=2:3,/汨同時平分ZBEF和ZfiDF,則3。的長為.

14

【答案】y

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到團BDE二團FDE,朋ED二團FED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到回DBE二團DFE,BD=DF,

BE=EF,由等邊三角形的性質(zhì)得到團A二團ABC二團060。，求得團DFE=60。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，，BE同時平分々及1和40。

:.ZBDE=ZFDE,ZBED=ZFED,

ZBDE=ZFDE

在ABDE與AFDE中,<DE=DE,

/BED=/FED

:.ABDEMAFDE(ASA),

.\ZDBE=ZDFE,BD=DF,BE=EF,

???AABC是等邊三角形，

:.ZA=ZABC=ZC=6Q°,

:.NDFE=6。。,

.\ZADF+ZAFD=ZAFD+ZCFE=nO0,

.\ZADF=ZCFE,

:.^ADFsbCFE,

.ADDFAF

一序一百一五’

BD:BE=2:3,

：.^BD=DF=2x,BE=EF=3x,

AD=6—2x,CE=6—3x,

6—2x2xAF

-CF-五一6-3%'

CF=9—3x,AF=4—2%,

???AF+CF=6,

..9—3x+4—2x=6,

7

x=—,

5

/.BD=2x=—.

5

14

故答案為：—.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的畫

出圖形是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCQ中，點E是邊。。上一點，連結(jié)跖，將△3CE沿班對

折，點。落在邊池上點尸處，題與對角線AC交于點連結(jié).若RW〃CD,BC=4.則AF=.

【答案】26-2

【分析】由折疊的性質(zhì)可得回BCM二團BFM,BC=BF,再由FM0CD,可得團BFM二團ABF,從而得回ABFIM1BCA,由

相似三角形的性質(zhì)求得AB,進而由勾股定理可求解.

【詳解】解：?.,四邊形ABC。是矩形，

回ABC二團BAD=90°,AB團CD,

???FM//CD,

，F(xiàn)M回AB,

??.團BFM二回ABF,

由折疊的性質(zhì)可得：回BCM二團BFM,BC=BF=4,

回ABF二回ACB,

???回ABF團團BCA,

,ABBF

-BC-CA?

.L4AB2_16

"4VAB2+42>16AB2+42'

AB2=8^-8,

AF=\lBF2-AB2=J16-8/+8=也4-8/=Q（2下一2^=2小一2；

故答案為2百-2.

【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明三角

形的相似，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解.

6.（2023?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，在0ABe中，AB=AC=10,點。是邊BC上一動點（不與3、C重

合），SADE=SB=a,DE交AC于點E,且cos!3a=g,下列結(jié)論：①②當8。=6時，I3ABD

25

與SDCE全等；③SDCE為直角三角形時，8D為8或胃；@0<CE<6.4.其中正確的結(jié)論是_______.（把

8

你認為正確結(jié)論的序號都填上）

【答案】①②④

【分析】①根據(jù)有兩組對應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD=6,則DC=10,然后根據(jù)有兩組對

應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依

據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得.

【詳解】解：①回AB=AC,

團團B=(EC,

又團回ADE=RIB,

麗ADE=[3C,

釀ADE麗ACD,故①正確;

②作AG回BC于G,

B

G

4

團AB=AC=10,回ADE=[UB=a,cosa=y,

回BG=ABcosB,

4

[3BC=2BG=2ABcosB=2xlOxy=16,

團BD=6,

團DC=10,

團AB=DC,

/BAD=NCDE

在回ABD與回DCE中|/B=/C

AB=DC

釀ABD釀DCE(ASA),故②正確；

③當團AED=90。時，由①可知：團ADE團團ACD,

回回ADC=囪AED,

回團AED=90°,

團團ADC=90°,BPAD0BC,

團AB=AC,

團BD=CD,

4

團團ADE=IEB=ci且cosa=g,AB=10,BD=8,

當回CDE=90°時，易回CDE團團BAD,

團團CDE=90°,

回團BAD=90°,

4

回回B=a且cosa=—,AB=10,

AB4

團cosB=——

BD?

75

0BD=y,故③錯誤;

④易證得團CDE皿BAD,由②可知BC=16,

設(shè)BD=y,CE=x,

ABBD

團----=----，

DCCE

____=y

16-yx

整理得：y2-16y+64—64-10x,

即（y-8）2=64-10x,

0O<x<6.4,故④正確；

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角

形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形與全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?廣東,九年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD,回B=EIC=90。,P是BC邊上的一點,I3APD=9O。.（1）

求證：AABP~APCD；（2）若BC=10,CD=3,PD=3若，求AB的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角的和差可得=再根據(jù)相似三角形的判定

即可得證；

（2）先利用勾股定理求出PC的長，從而可得BP的長，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】（1）ZB=ZC=90°,ZAPD=90°,

:.ZBAP+ZAPB=ZCPD+ZAPB=90°,

:.ZBAP=ZCPD,

"BAP=NCPD

在AABP和△尸CD中，\,

IZ-LJ—

:.￡^BP?/CD；

(2)...在R/VPCD中，CD=3,PD=3后,

：.PC=y]PD2-CD2=6，

■.■BC=10,

:.PB=BC-PC=4,

由（1）已證：AABP-APCD,

ABPBAB4

——=—,即1n一=-,

PCCD63

解得AB=8.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

8.(2023?四川?九年級校考階段練習(xí))如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=15,點D為邊BC上一點,

且跳><8,點E為AC中點，ZADE^ZB.

(1)求3。的長.

(2)求證：DA=DE.

【答案】(1)5；(2)證明見解析；

【分析】(1)先證明出得出上|=絲，假設(shè)BD為X,

則DC=15x,代入分式方程求出

DCCE

BD的長；

(2)由(1)可知NB=NC,推出△ABDEIADCE,得出結(jié)果；

【詳解】(1)0AB=AC=1O,EZS=ZC,

0Z4DE=ZB，ffl1800-ZADE=180°-ZB,

^ZADB+ZEDC=ZADB+ZBAD,Z.EDC=Z.BAD,

,ABBD

0AABD0ADCE,回一=一，

DCCE

EIE為AC中點，SCE^-AC=5,

2

EIBC=15,設(shè)BZ)=x,貝l]DC=15—尤，

IQr

即：77^=7-解得：占=5，x2=10,

15-x5

SBD<CD,

0BD=5.

(2)由(1)可知BD=CE=5,0AB=DC=1O,EIZB=ZC,

BD=CE

在△ABD和4DCE中，<ZB=NC,回△AB?；亍鱋CE(SAS)

AB=DC

^\DA=DE

【點睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活運用.

9.(2022春?廣東?九年級專題練習(xí))如圖，在等邊SABC中，尸為BC上一點，。為AC上一點，且0APD=

60°,2BP=3CD,BP=1.(1)求證HABPEBPC。；(2)求EIABC的邊長.

D

60"

BPC

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【分析】（1）由媯3C是等邊三角形，證明回8=團。=60。，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：

^BPA=^\PDC,從而可得結(jié)論；

DpAD

（2）由2gp=38,3尸=1,先求解8,設(shè)AB=3C=x,再利用相似三角形的性質(zhì)可得：卷=器，列

方程，解方程即可得到答案.

【詳解】證明：（1）EEABC是等邊三角形，

0A8=BC=AC,0B=fflC=6O°,

^BPA+SAPD+SDPC=180°且=60°,

00BB4+E￡>PC=12O°

EBOPC+[3C+EIPOC=18O°,

00DPC+[aPDC=12Oo,

^\BPA=SPDC,

fflABPEBPCD；

（2）⑦2BP=3CD,且8P=1,

0CD=-,

3

0EL4BP00PCD

BPAB

"CD~PC'

設(shè)AB=3C=x,則PC=x-l,

1_X

3

21

團一x=x-1,

3

..x-3,

經(jīng)檢驗：x=3是原方程的解，

所以三角形ABC的邊長為：3.

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)