四川省射洪中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)「則z的共軟復(fù)數(shù)為（)

Z—J

A.3+iB-3-iC--3-iD.-3+i

2.一個球的表面積是16兀，則它的體積是（)

A64兀?！?2兀

A.B64D,犯

3

“—，，Un

3.設(shè)扇不為兩個非零向量，則a=2025b是at!b的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1-1Z

4.已知復(fù)數(shù)2二」，則復(fù)數(shù)的虛部為（)

1+1

A.1B.2C.0D--1

忖=6,向量J-'f的夾角為?印則“f在-

5.已知e為單位向量,e上的投影向量是

A-2屈B-6C-3>/2eD--2屈

6.把函數(shù)/（X）圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的《，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右

TT71

平移§個單位長度，得到函數(shù)了二點!!X--的圖象,則（）

試卷第11頁，共33頁

D.cosQx-^^

7.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為由，則圓錐的體積為

()

A-2扃B.3扃C.6扃D.9后

8.己知ae0,|,0c-^,0,且滿足cos(a+萬)=%,則201cos20的最大值為

()

A.-B.；C.1D.也

8422

二、多選題

9.在VC中，AB=O,AC=g,B=三,則角0的可能取值是()

4

A.-B,-C.—D.—

6336

10.函數(shù)/(x)=/sin(ox+0)(/>0,。>0,即|<?的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的

是()

試卷第21頁，共33頁

A./（x）=2sin（2x--）B.的圖象關(guān)于直線、=后對稱

63

C."X）關(guān)于點（考,0）中心對稱D.函數(shù)"X）在區(qū)間[0,等）上有5個零點

1，12

11.在邊長為2的正方形/8CO中，P,。在正方形（含邊）內(nèi)，滿足刀=x：^+y石，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點尸在8。上時，則x+y=l

B.x+y的取值范圍為[],2]

C.若點尸在8。上時，AP.AC=4

D.若尸，。在線段2。上，且歸@=2,則方,而的最小值為1

三、填空題

12.如圖所示為一個水平放置的矩形4BC。，在直角坐標(biāo)系xQy中，點2的坐標(biāo)為（4,2），

則用斜二測畫法畫出的該矩形的直觀圖中，頂點9到X，軸的距離為——?

A_______

~OCx

試卷第31頁，共33頁

13.2cos215O-e°-—+—i=---

22

14.在銳角V4BC中，角4BC的對邊分別為a、bc，已知6=3,c=6,點。在3c上,

ND是/歷IC的平分線，則的取值范圍為-.

四、解答題

15.如圖所示，長方體/BQ)一4坊。]。|的底面4s8是邊長為2的正方形，其體積為

16.

AG

(1)求三棱錐D[-ADC的體積;

(2)求三棱錐D.-ADC的表面積.

16.已知向量萬=(T2),問=2遙.

⑴若出區(qū)，求3的坐標(biāo)；

⑵若(5,+可，@-?求方與B夾角的余弦值?

17,已知函數(shù)/(x)=sinxcosx-；^cos2x?

⑴求/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

試卷第41頁，共33頁

(2)當(dāng)xe時，求的值域.

18.在V/8C中，角4民。所對的邊分別為。,仇~請從下列條件中選擇一個條件作答:

（注：如果選擇多個條件分別作答，則按第一個解答計分）

①si/Nnsi/B+si/CTinfisinC,②加0$2+加in^=c,③

2

2asiib4=（2/?-c）sinB+（2c-Z?）sinC

⑴求A的大??；

（3）若V4s0為銳角三角形，求生小的取值范圍.

19.定義非零向重=（4,6）的“相伴函數(shù)”為/（%）=公加+反05%（工￡可，向堇

。法=（4,6）稱為函數(shù)/（1）=公加+床05%（工￡區(qū)）的“相伴向量”（其中。為坐標(biāo)原點），

記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為短

⑴設(shè)/z(x)=6cosX（xeR）,試求函數(shù)〃（X）的相伴向量的;

⑵記向量函=（1，6）的相伴函數(shù)為/（X）,求當(dāng)〃x）=g且XC.sinx,,/土

時n，的值;

（3）已知點”（a，。）滿足：-6（0,V3L向量。河的“相伴函數(shù)”/（X）在X=%處取得最大

值，求tan2%的取值范圍?

試卷第51頁，共33頁

《四川省射洪中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月期中數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案ADADCBBBBCAC

題號11

答案ACD

1.A

【分析】由共輾復(fù)數(shù)的定義求解即可.

【詳解】復(fù)數(shù)z=3-i的共輾復(fù)數(shù)為3+「

故選：A.

2.D

【解析】根據(jù)球的表面積可得球的半徑，再由體積公式即可得解.

【詳解】一個球的表面積是16無，設(shè)球的半徑為五,球的表面積公式為s=4%代，

代入可得16萬=4/,解得火=2，

所以球的體積為憶=3"斤=3%乂23=—,

333

故選：D.

【點睛】本題考查了球的表面積和體積公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【分析】先根據(jù)向量共線得充分性成立，再由向量共線不一定有兩向量的數(shù)量關(guān)系成立,

即必要性不成立.

【詳解】因為@=20256所以同向共線，故,//小

因為1//B，所以不同向共線或反向共線，所以不一'定能推出］=2025$，

所以“12025廠是“以/廠的充分不必要條件?

故選：A.

4.D

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的定義即可得出答案.

答案第11頁，共22頁

【詳解】z=l-l+"2iji.

-1+i(l+i)(l-i)1-i22

故復(fù)數(shù)z的虛部為

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)投影向量定義計算即可.

【詳解】工為單位向量，貝I付=1,

則向量.在向量e上的投影向量為同cosO￡=6cos型3=-3亞乙

同4

故選：C.

6.B

【分析】利用反推法和三角函數(shù)的圖象變換求解即可.

【詳解】由題意可知，要得到了卜)，要將y=sin(x-弓］向左平移三個單位長度，得到

y=sinx+三=sinxH----，

I12

再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，得到/(x)=sin—X+一71

212

故選：B

7.B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為八根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑『的方程，求出解

后可求圓錐的體積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為。則圓錐的母線長為戶i，

答案第21頁，共22頁

而它們的側(cè)面積相等，所以2而城=即26=歷7，

故'=3,故圓錐的體積為：塊xC研.

3

故選：B.

8.B

【分析】設(shè)工=35（。_尸），由三角函數(shù)的性質(zhì)求出1,1]，將所求式化為

cos2acos2^=x2--,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

4

【詳解】因為cos.+0=；,

sr、l+cos（2a+20）1-cos（2a-20）

因m為cos2（a+^）-sin2（a-/3）=--------1——乙------]——匕

_cos（2tz+2/?）+cos（2a—2夕）_coslacos2^0-sin2asin2/?+cos2acos2+sin2asin2

2―2

=cos2acos2P，

)；2一)，

所以cos2acos2夕=cos2(a+P-sin2(a-/?)=-sin(a0

設(shè)x=c°s（，m,因為夕￡-pO，所以—夕￡0弓

即1一尸G[0,71],所以％=戊＞5(。一夕)￡[一1,1]，

則sin(a-0)—1-x,所以cos2acos2/?=；-sin2(tz-p)=；-(l—x2)=x2一1,

答案第31頁，共22頁

當(dāng)工=±1時，c°s2&cos2萬的最大值為

故選：B.

9.BC

【分析】由正弦定理解出sMC，結(jié)合大邊對大角判斷出解的個數(shù).

ACV3_V2,

【詳解】由正弦定理有sinC-sinB,即擊了=正，解得smC=可，

V

注意到從而。>8=工，所以角0的可能取值是巴，女.

433

故選：BC.

10.AC

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點法作圖求出解析式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項判

斷.

【詳解】對于A,觀察函數(shù)的圖象，得”=2,最小正周期2還少.(------),解得°=2,

CD1212

由/哈)=0,且自在函數(shù)/⑴的遞增區(qū)間內(nèi)，得2x^+0=2依，八Z，|夕|<3，

則"°,(p=~—,因此/(%)=2sin(2x—工)，A正確；

66

對于B,/(-|5=2sin(-2----)=-l^-2,函數(shù)小)的圖象關(guān)于直線不對稱，B錯

誤；

對于C,/(-—^=2sin(-2——-)=0,"幻關(guān)于點(一差0)中心對稱，C正確；

答案第41頁，共22頁

對于D,當(dāng)尤直0,”王）時,2x-^[--,47t）,由、㈤為,得2x-]e{0,兀,2兀,3嗎，

17660

因此函數(shù)"X）在區(qū)間[0,等）上有4個零點，D錯誤.

故選：AC

11.ACD

【分析】利用向量共線定理推論可判斷A,利用向量的線性運算幾何表示可判斷B,利用

向量的數(shù)量積的定義及運算律可判斷C,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及二次函數(shù)的性質(zhì)可

判斷D.

【詳解】當(dāng)點尸在5。上時，因為彳=+，所以x+y=l，故A正確；

因為尸在邊長為2的正方形48CQ（含邊）內(nèi)，且萬=工商+'方，

所以x￡〔0,1]/￡[0,1]，則％+y?0,2「故B錯誤;

當(dāng)點P在AD上時，^AP=xAB+yAb=xAB+（\-xyAD'AC=AB+AD,

所以/尸/0=口/3+(1-》)/1))(48+/0)=》/3-=4,故c正確;

若P，。在線段瓦?上，且「°|=2,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)尸(a,2-a),則一啦-a),ae[o,2_亞],

答案第51頁，共22頁

2

(2"

=2/-(4-2@a+4-20=2

I2J+1

.?.當(dāng)a=2—收時,萬?而有最小值為i,故D正確.

2

故選：ACD.

12.交

2

【分析】畫出直觀圖，根據(jù)斜二測畫法規(guī)則計算可得結(jié)果.

【詳解】直觀圖如圖所示，則OW=QC=1,^'c'x'=45°>

故"到"軸的距離為今

故答案為：e

2

13.0

【分析】由二倍角的正弦公式和復(fù)數(shù)的模長公式化簡即可得出答案.

22

【詳解】2cos15°-e°--+—i=2cos15°-l-4M+f—=cos30°--=0.

22I2J2

故答案為：0

答案第61頁，共22頁

14.(2A/2,2A/3)

【分析】根據(jù)角平分線定理可得2。和℃的關(guān)系，設(shè)℃=》，利用余弦定理，結(jié)合銳角

三角形的性質(zhì)確定/的取值范圍，再次利用余弦定理建立方程可得=即可求

解.

【詳解】因為是48/c的平分線，由角平分線定理得

BDABC?,?DC=X.BD=2xa=BD+DC=3x

—=—=-=2,設(shè)，貝m!I，所以

DCACb

因為V/2C為銳角三角形，則《?力＞0,（：058＞0,＜；05。＞0,

由余弦定理得cos/=廿+￡一片=?+3晨91)0,解得,<5

2bc36

a?+/—/9%2+36—9?名刀,日9->—27,后寸_1

cosBD=-----=——---->0,解得怛成乂r；

COSC12+/-C2=9X2+9-36>O,解得/>3.

綜上，3＜X2＜5-

在△"網(wǎng)＞中，由余弦定理得?osABACC2+AD2-BD236+必一4%2

22c-AD12AD

答案第71頁，共22頁

在A'C"中，由余弦定理得COSABACb2+AD2-cD29+4。2一）2

22bAD6AD

36+加一4%29+4。2一%2

所以

12AD6AD

整理得AD=118-2x2G（2血,26）,

故答案為：（20,26）

15.（1）|

⑵16

【分析】（1）先由柱體的體積公式求出QD，再由錐體的體積公式求解即可;

（2）由三棱錐的表面積公式求解即可.

【詳解】（1）"=22乂2。=16，，。1。=4，

“11-2211…8

Vr>.Ar.r=—x—x2xD.D=—x—x4x4=一；

4-血321323

（2）記三棱錐，一/。。的表面積為S,則5=59詡+$*c+SADC+S0"

幾何體ABCD-4BQR為長方體，

△型M,DtDC,4DC均為直角三角形，ADMC為等腰三角形，

???AD=DC=2,D,D=4>

DXA=RC=245,AC=2V2'

SAD1a<=S=]X2x4=4,S=—x2x2=2,

答案第81頁，共22頁

SA“C=；X2/x7(2A/5)2-(V2)2=；x20x3近=6,

???8=5的詡+8DiDC+S?+S/c=4+4+2+6=16?

16.(14=(_2,4)或坂=(2,—4)

1

⑵w

【分析】⑴設(shè)彼=布=(一九24),代入W=2行求值即可；

(2)由(53+辦3-彼)=0,得小彼=9,利用向量數(shù)量積和向量的模，求夾角的余弦.

4

【詳解】(1)由a?設(shè)石=篦=(-九2；1),網(wǎng)=2石，7A2+(2A)2=275,

.?.4=±2，.i=(_2,4)或3=(2,-4)?

(2)同=石，N=26,

??,(55+B)_L(2-B)'/.(5a+b)-(a-b)=09

5a2-4a-b-b2=0.r_5

4

ab05

設(shè)與的夾角為,則cos"小"_W一1.

\a\\b\V5x2>/58

’"與"的夾角°的余弦值為。.

O

答案第91頁，共22頁

左兀龍

17.(1)55+—左￡Z

【分析】(1)利用三角恒等變換的化簡計算可得/(x)=sin2x-g，結(jié)合整體代換法計

算即可求解;

(2)由不等式的性質(zhì)可得-工咚5》——4一，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.

333

【詳解】(1)因為/(x)二sinxcosx-]^cos2x=-sin2x-^cos2x=sin12x-一

223

所以2左2——<27^—<k+—左eZ,

232

角牟得：lau^—^x<k+—keZ,

1212

即其值域為1

2，

7T

18.⑴44

答案第101頁，共22頁

（2）2A/3

（3）（2,5）

【分析】（1）選①，利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求解即可；選②，利用正弦定

理邊化角、再由二倍角的余弦公式以兩角和的正弦公式求解即得；選③，利用正弦定理邊

化角，再利用余弦定理求解即得.

（2）利用三角形的面積公式求出加=8,再由余弦定理即可得出答案；

（3）利用正弦定理邊化角，再利用差角的正弦公式求出g=1x—匚+工，結(jié)合正切函數(shù)

b2tan52

的性質(zhì)求出范圍.

【詳解】（1）選①：即/=/+/_歷，

由余弦定理得cos/=1+'2一/=’,又°欣”<,

2bc2

所以/=9;

3

選②：在V4'。中，由加058+加足且=°及正弦定理得，

2

siir4cos5+siii^sin—=sinC=sin（4+5）=sin4cos5+cos/sinS

則sin3sin4=cos/sin5,又840,兀JmB指,于是sin?■二cos/=l—ZsirW,

222

而sin2>0,解得sid」，又/￡（0,兀,）且J,-Y則碧,

222V72V2J26

所以，三；

答案第111頁，共22頁

選③：在V49C中，由2asin/l=（2b-c）sinS+（2c-b）sinC及正弦無理得，

得2a2=（26-c）b+（2c-b）c，Wa2=b2+c2-be9

b2+c2-a21V0加4<

由余弦定理得cosZ=一,

2bc2

所以,十

（2）YS—BC=^bcs\nA=2\/3,/.be=S,

?.0a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be=（b+c）2-3bc=12，

/.a=2A/3?

（3）在v/5c中，由正弦定理得:

sinfy-S

—cosB+-s\nB

csinC22=且「+「

bsin5siaSsinS2tanB2

27r9jr

由（1）知8+C=~^~,即C=&由V/'C為銳角三角形,

3

7171八

。<*—<B<—烹€（。，伺

即于是

得62,

八2兀?！?/p>

0<------B<—

32

所以旦，+'

2，即"的取值范圍為（g,2）,

2tan52I2

所以生『=/le（2,5）.

答案第121頁，共22頁

19.(1)(^3,3)

4-3百

⑵-10-

⑶(-00,0)U［省,+00)

【分析】(1)依題意，由兩角和與差的余弦公式和輔助角公式可化為

Mx)=6siru+3cosx，再結(jié)合相伴向量的定義即可得出答案；

(2)由“相伴函數(shù)”的定義可得sinjc+gcosx=g,由此可得si“x+m=二，再由同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的余弦公式求解即可；

(3)由“X)=+4sin(x+伊)可求得x0=^-(p+2k,kGz時〃x)取得最大值，其中

cos。

tanx——,+8又tan2/=r一二7,換元求得'=7一的范圍，即可求得

0sin。G

tanx0

tan2%的范圍.

【詳解】(1)因為〃(x)=V§cos(x+即+3cos(§-x)

G兀兀兀兀?^.

3cosxcos----sinxsin—+3cos—cosx+sin—sinx

[66{33

=V3cosxcos——密isnxsin—+3cosxcos—+3sinxsin—

6633

=—cosx------sirixH-------sinx+—cosx=VJsinx+3cosx'

2222

答案第131頁，共22頁

所以，函數(shù)“（X）的相伴向量加=（g，3）.

8

令f(x)=sinx+V3cosx