重點(diǎn)培優(yōu)課3導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)構(gòu)造及指、對(duì)同構(gòu)問(wèn)題第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用√題型一導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造函數(shù)考向1

利用f(x)與x構(gòu)造[典例1]

(1)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(

)A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)

(0，2)

[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．已知偶函數(shù)f(x)(x≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿(mǎn)足f(－1)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，2f(x)＞xf′(x)，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是_______________．

(－1，0)∪(0，1)

∵f(x)為偶函數(shù)，y＝x2為偶函數(shù)，∴F(x)為偶函數(shù)，∴F(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增．根據(jù)f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)F(x)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知f(x)＞0的解集為(－1，0)∪(0，1)．]√考向2

利用f(x)與ex(或enx)構(gòu)造[典例2]

(1)(2025·江蘇常州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f(1)＝e，且對(duì)任意的x滿(mǎn)足f′(x)－f(x)<ex，則不等式f(x)>xex的解集是(

)A．(－∞，1)

B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)(2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)是其導(dǎo)函數(shù)，若f(x)＋f′(x)>0，f(1)＝1，則不等式f(x)>e1-x的解集是(

)A．(0，＋∞)

B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，1)√

[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，則不等式f(x)＞e2x的解集為_(kāi)________．

(0，＋∞)

√

√

√√

名師點(diǎn)評(píng)

當(dāng)要比較的各數(shù)為某些函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要仔細(xì)觀察這些數(shù)值的共同之處，構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)函數(shù)，使要比較的數(shù)成為所構(gòu)函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?/p>

√e3＜π3＜3π

√

√

名師點(diǎn)評(píng)

地位同等同構(gòu)策略對(duì)于含有地位同等的兩個(gè)變量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果進(jìn)行整理(即同構(gòu))后，等式或不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決．常見(jiàn)的同構(gòu)類(lèi)型有：原式轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)f(x1)－f(x2)＜kx1－kx2構(gòu)造y＝f(x)－kx，為增函數(shù)

√

√√(1)B

(2)C

[(1)由已知aea<blnb，則ealnea<blnb．設(shè)f(x)＝xlnx，則f(ea)<f(b)．∵a>0，則blnb>0，則b>1．當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)＝lnx＋1>0，則f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴ea<b．故選B．(2)∵ex－a≥lnx＋a，∴ex－a＋x－a≥x＋lnx，∴ex－a＋x－a≥elnx＋lnx．設(shè)f(t)＝et＋t，則f′(t)＝et＋1>0，∴f(t)在R上單調(diào)遞增，

題優(yōu)訓(xùn)練(三)導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)構(gòu)造及指、對(duì)同構(gòu)問(wèn)題√

題

[由恒等式x＝lnex可得ax＝lneax，所以ax＋eax＞ln(bx)＋bx可變形為lneax＋eax＞ln(bx)＋bx，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝lnx＋x，可得f(eax)＞f(bx)．故選A．]√題/p>

題/p>

√題/p>

題/p>

√題號(hào)135246879104．已知a＝e-0.02，b＝0.01，c＝ln1.01，則(

)A．c＞a＞b

B．b＞a＞cC．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a題/p>

√題/p>

題/p>

題題號(hào)135246879106．設(shè)x>0，y>0，若ex＋lny>x＋y，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A．x>y

B．x>lnyC．x<y D．x<lny題

[不等式ex＋lny>x＋y等價(jià)于ex－x>y－lny，令f(x)＝ex－x，x>0，則f(lny)＝elny－lny＝y(tǒng)－lny，∴不等式ex－x>y－lny等價(jià)于f(x)>f(lny)，∵f′(x)＝ex－1，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴若y∈(1，＋∞)，則lny∈(0，＋∞)，由f(x)>f(lny)有x>lny；若y∈(0，1]，則lny≤0，由x>0，有x>lny．綜上所述，x>lny．故選B．]√題二、多項(xiàng)選擇題7．已知函數(shù)f(x)為定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，若當(dāng)x<0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，且f(1)＝0，則(

)A．2f(e)>ef(2)B．當(dāng)m<2時(shí)，f(m)>mf(1)C．3f(－π)＋πf(3)<0D．不等式f(x)>0的解集為(－1，0)∪(1，＋∞)√題/p>

題/p>

√題/p>

ACD

[設(shè)f(x)＝ex－x(x>0)，則f′(x)＝ex－1>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(y)，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正確；令x＝e，y＝1，則lnx－lny＝1，而x－y＝e－1，所以lnx－lny<x－y，B不正確；√√題/p>

題、填空題9．對(duì)于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋