專題05線段垂直平分線的性質(zhì)（2知識點+7大題型+2大拓展訓(xùn)練+過關(guān)測）內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：7大核心考點精準練+2大拓展訓(xùn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點1：線段的軸對稱性1.線段的軸對稱性：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸；2.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；3.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上.線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心——外心.【即時訓(xùn)練】A．12 B．10 C．9 D．8【答案】C【詳解】解：∵垂直平分，故選：C．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】解：∵垂直平分，垂直平分，故選：C．(1)求的長；(2)試判斷點O是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．(2)點在邊的垂直平分線上，理由見解析【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）垂直平分，（2）點在邊的垂直平分線上，理由：連接，，，與是，的垂直平分線，點在邊的垂直平分線上．知識點2：線段垂直平分線的畫法（尺規(guī)作圖）2.過C、D兩點作直線（直線CD就是線段AB的垂直平分線）.【即時訓(xùn)練】(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖，作的垂直平分線交于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握線段垂直平分線的做法以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：垂直平分線即為所求：（2）解：∵為的垂直平分線【答案】見解析【分析】作出線段的垂直平分線，與的交點就是所求點．本題考查了線段的垂直平分線基本作圖，熟練掌握作圖的基本步驟是解題的關(guān)鍵．故點D為線段的垂直平分線與的交點就是所求點，如圖，則點D為所求作的點．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊上作一點P，使點P到點B、點C的距離相等（保留作圖痕跡，不寫作法）；【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．（1）作線段的垂直平分線交于點P，點P即為所求；【詳解】（1）解：如圖，線段的垂直平分線交于點P，∴點P到點B、點C的距離相等，∴點P即為所求；∵點P到直線、的距離也相等，故答案為：30．【題型1垂直平分線的基本概念】A．三條角平分線的交點 B．三邊垂直平分線的交點C．三條高的交點 D．三邊中線的交點【答案】B【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定定理，熟練掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)線段垂直平分線的判定定理判斷即可．【詳解】解：∵到三角形的一邊的兩端點距離相等的點在這邊的垂直平分線上，∴到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，故選：B．A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．以上說法都正確【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟知到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．∴垂直平分，根據(jù)現(xiàn)有條件，無法證明垂直平分，故選A．

C．點P在邊的垂直平分線上 D．點P在邊的垂直平分線上【答案】C【分析】根據(jù)垂直平分線的判定即可解答．∴P在線段的垂直平分線上．故選C．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的判定，掌握到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上是解答本題的關(guān)鍵．【答案】①/1【分析】本題考查了線段的垂直平分線及其性質(zhì)：線段垂直平分線的點到線段兩個端點的距離相等，熟記相關(guān)結(jié)論即可求解．【詳解】解：線段垂直平分線上任一點到線段兩端的距離相等，故①正確；因為垂直平分線不一定被線段本身平分，所以線段上任一點到垂直平分線兩端的距離不一定相等，故②錯誤；經(jīng)過線段中點的直線有無數(shù)條，故③錯誤；過線段的中點才能作這條線段的中垂線．故⑤錯誤；故答案為：①【答案】MN【分析】根據(jù)到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上，可得點M、N都在AB的垂直平分線上．∴點M在線段的垂直平分線上，∴點N在線段的垂直平分線上，即點M、N在線段的垂直平分線上．故填M、N、AB．【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線定理，掌握到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解答本題的關(guān)鍵．【題型2垂直平分線的判定】【答案】見解析∴點A在的垂直平分線上，∴點D在的垂直平分線上，∴是線段的垂直平分線，∵點E在上，【答案】見解析【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟練掌握垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直平分線上的點到兩端點的距離相等證明即可．點D在邊的垂直平分線上．(2)請判斷點是否也在邊的垂直平分線上？并說明理由；(3)由（1）（2）你能得出什么結(jié)論？（寫一條即可）【答案】(1)見解析(2)點P在邊的垂直平分線上，理由見解析(3)①三角形三邊的垂直平分線相交于一點．②三角形三邊垂直平分線的交點到三頂點距離相等．③三角形一邊的垂直平分線也必過其它兩邊垂直平分線的交點．【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．（2）運用垂直平分線的判定定理即可解答；（3）運用(1)中的結(jié)論以及確定圓的條件，綜合(1)(2)的結(jié)論，即可得到相應(yīng)的結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵點P是的垂直平分線上的點，（2）解：點P在邊的垂直平分線上．∴點P在邊的垂直平分線上；（3）解：由（1）、（2）可得：①三角形三邊的垂直平分線相交于一點．②三角形三邊垂直平分線的交點到三頂點距離相等．③三角形一邊的垂直平分線也必過其它兩邊垂直平分線的交點．【答案】證明見解析(3)是否垂直平分，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(3)垂直平分，理由見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定：（3）解：垂直平分，理由如下：、∴點O和點E都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．【題型3利用垂直平分線的性質(zhì)求角度】A． B． C． D．【答案】C本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握作圖的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故選：C．A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題意可得：直線垂直平分線段，故選：D．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵垂直平分，故選：A．(1)試判斷點O是否在的垂直平分線上，并說明理由；【答案】(1)點O在的垂直平分線上，理由見解析(2)【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）點O在的垂直平分線上，理由如下：∴點O在的垂直平分線上；【題型4利用垂直平分線的性質(zhì)求長度】A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【詳解】解：為的中點，故選：C．

A． B． C． D．【答案】D∵是的垂直平分線，故選：D．【答案】【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴是的垂直平分線，故答案為：．【答案】【詳解】解：交于點，交于點，交于點，交于點，故答案為：．(2)猜想、、的數(shù)量有什么關(guān)系？并證明你的猜想；【答案】(1)見解析(3)2【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．【詳解】（1）證明：如圖，連接、，故答案為：2．【題型5利用垂直平分線的性質(zhì)解決面積問題】A．5 B．17 C．21 D．22【答案】D【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的面積計算，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．∵是邊的中垂線，∴E是的中點，故選：D．

A．9 B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接，，

∵的垂直平分線分別與、交于點D、E，的垂直平分線分別與、交于點F、G，故選：D．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線，三角形的面積公式，掌握線段的垂直平分線的定義以及三角形的面積是解題的關(guān)鍵．

【答案】6故答案為：．【點睛】本題考查角平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【答案】2【詳解】過點C作CF⊥BE于F，∵是的垂直平分線，∴BE=AE=4，∴CF=CH=1，故答案為：2．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟記各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．．【答案】(1)見詳解(2)8本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6線段垂直平分線的實際應(yīng)用】【答案】該斜拉索橋符合修建規(guī)定，理由見解析【詳解】解：該斜拉索橋符合修建規(guī)定，理由如下，∴是線段的垂直平分線，即兩根斜拉索的長度相等．

(1)猜想箏形的對角線與有什么位置關(guān)系？并證明你的猜想；【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，求三角形面積：∴垂直平分，28．如圖，網(wǎng)格中有1個四邊形和2個三角形．(1)請你畫出3個圖形關(guān)于點O的中心對稱圖形；(2)將（1）中畫出的圖形與原圖形看成一個整體圖形，這個整體圖形有條對稱軸，畫出這個整體圖形的對稱軸．【答案】(1)見解析(2)4，作圖見解析【分析】本題借助于作圖復(fù)習(xí)了軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形關(guān)于這條直線對稱(軸對稱)，這條直線就是對稱軸．（1）根據(jù)軸對稱圖形的作法即可完成解答；（2）結(jié)合（1）中所得圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找對稱軸，只要連接兩組對應(yīng)點，作出對應(yīng)點所連線段的兩條垂直平分線即可得到對稱軸的條數(shù)．【詳解】（1）畫出中心對稱圖形如圖；（2）這個整體圖形有4條對稱軸，畫出這個整體圖形的對稱軸如圖．故答案為：4．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點到線段兩個端點的距離相等，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．

(2)請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡:【答案】(1)8(2)見解析【分析】（1）利用分割法求解即可．故答案為8．（2）①如圖，線段，線段即為所求．③如圖，射線即為所求．

【點睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【題型7尺規(guī)作垂直平分線】(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖，作的垂直平分線交于點；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握線段垂直平分線的做法以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：垂直平分線即為所求：（2）解：∵為的垂直平分線32．如圖，，，三點均為方格中的格點（方格的邊長是），按要求畫圖并填空．(1)過點畫出線段的垂線交于點；(2)畫出線段的垂直平分線交于點；(3)點到直線的距離是線段_____的長度(4)點到直線的距離是線段_____的長度，點到直線的距離是_____．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)(4)，4【分析】本題考查了點到直線的距離，線段垂直平分線的性質(zhì)，畫垂線，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合網(wǎng)格特征，過點作線段的垂線，即可作答．（2）結(jié)合網(wǎng)格特征，過線段的中點，作線段的垂線，即可作答．（4）結(jié)合網(wǎng)格特征以及垂線段的長度即為該點到線段的距離，據(jù)此即可作答．【詳解】（1）解：線段的垂線，如圖所示：（2）解：線段的垂直平分線，如圖所示；（3）解：點到直線的距離是線段的長度，故答案為：；故答案為：，4．33．某社區(qū)經(jīng)業(yè)主商討決定在街道m(xù)上建一個垃圾站點D和鮮奶站E，按要求完成下列作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．(1)如圖1，小區(qū)A，B在街道m(xù)的異側(cè)，要使垃圾站點D到小區(qū)A，B的距離相等，請確定垃圾站點D的位置（要求利用尺規(guī)作圖）；(2)如圖2，小區(qū)A，C在街道m(xù)的同側(cè)，要使鮮奶站E到小區(qū)A，C的距離之和最短，請確定鮮奶站E的位置．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱一最短路線問題，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，交直線m于點D，則點D即為所求．（2）取點C關(guān)于直線m的對稱點，連接交直線m于點E，則點E即為所求．【詳解】（1）解∶如圖1作線段的垂直平分線，交直線m于點D，則點D即為所求．34．電信部門要在高速公路n上修建一座電視信號發(fā)射塔P，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等．請在圖中作出發(fā)射塔P的位置．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】此題考查了垂直平分線的作圖和性質(zhì)，作線段垂直平分線交n于點P即可．【詳解】解：如圖，點P即為所求，【答案】(1)作圖見詳解；(2)證明見詳解．【分析】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作；也考查了三角形全等的判定．（1）作線段的垂直平分線，交直線l于點，點即為所求．【詳解】（1）解：連接，作線段的垂直平分線，交直線l于點，點即為所求．【拓展訓(xùn)練一線段垂直平分線輔助線添加問題】【分析】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，涉及三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)，添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．∴是的垂直平分線，∵D為中點，【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．(1)求的長；(2)試判斷點是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．(2)點在邊的垂直平分線上，理由見解析本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分，（2）解：點在邊的垂直平分線上，理由，∵垂直平分，垂直平分，∴點在邊的垂直平分線上．【答案】證明見解析【詳解】證明：如圖，連接，點為的中點，【答案】(1)8(2)5【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．（2）解：連接、、，∵、分別垂直平分和，【拓展訓(xùn)練二垂直平分線的判定與性質(zhì)綜合】（2）判斷E是否為線段的中點，并說明理由；【答案】（1）見解析；（2）為線段的中點，理由見解析；（3）6【分析】本題主要考查角平分線性質(zhì)定理與判定定理、線段垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．為的中點，（2）解：為線段的中點；理由：過點作的垂線，交的延長線于點，交于點，如圖，為線段的中點；42．八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．(2)證明見解析∴垂直平分，延長交于，【點睛】本題是三角形綜合題，考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的定義，三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角的關(guān)系等知識．通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．43．（1）閱讀理解：（2）問題解決：（3）問題拓展：（2）見詳解∵是邊上的中線，∵D是邊上的中點，【點睛】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．∵點是的中點，∵點是的中點，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角形中線、垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．②作點關(guān)于直線的對稱點，在圖1中找出與線段相等的線段，并證明．故答案為：20；證明：如圖1，連接，，【點睛】本題在三角形背景下考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，屬于三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．A．1.5cm B．3cm C．2cm D．4cm【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，先求出，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是垂直平分線，故選：D．A．25 B．45 C．50 D．55【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，【詳解】解：∵垂直平分，故選：C．A．3 B．2 C．4 D．5【答案】C故選：C．4．有三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點位置上，他們玩搶凳子游戲，三角形區(qū)域內(nèi)放一張木凳，誰先搶到凳子則獲勝，為使游戲公平，最適當放凳子的位置是三角形（

）A．三條高的交點 B．三條角平分線的交點C．三邊的垂直平分線的交點 D．三條中線的交點【答案】C【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上．【詳解】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點上．故選C．A．2 B．2 C． D．3【答案】B∵是的垂直平分線，故選：B．【答案】C【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)全等三角形的對應(yīng)